人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精练

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4.2.1
等差数列



【知识目录】



1. 等差数列的判定与定义
2. 等差数列的性质及计算
3.递推公式之等差数列
4.等差数列的函数性质和最值范围
5.实际应用题
6.等差数列综合应用
7. 高中联赛、竞赛与自主招生题选
典例分类精讲






Ø 一、等差数列的判定与定义
1. 等差数列判定，可以用定义法。如例题1
2. 等差数列的结构性变化，是否依旧具有等差性质，否定很简单，可以代指否定，否则依旧要用定义来确认。如例题2
3. 判断难点是类似例题3这一类递推型，需要通过构造求出通项公式。通项公式是关于n的一次函数形式，即为等差数列。
4. 注意多个等差数列的“加减乘除”是否具有等差性质，如例题4和5。
一般情况下，以下几条推论成立：
（1）若{an}，是等差数列，则是等差数列
（2）若{an}是等差数列，则每隔k项取出一项，依旧是等差数列（跳棋性质）
若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n－1＋a2n}也是等差数列，公差为4d．
类似这样的规律，可以多举例子（实际授课时，用跳棋来打比方）增加理解，但不要求学生记忆。
5.稍微复杂的递推公式，要在鉴别出“累加法”“累积法”以及“周期数列”的特征基础上，可以推导出等差数列的定义形式，如例题6及本专题对点实战中的题。


【典型例题】
【例1】已知数列是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
A中设数列的公差为，求出的表达式，再根据等差数列的定义判断．BCD中通过特例求出，根据通项公式形式可判断．
【详解】
A．设数列的公差为，由，又由，故数列也一定是等差数列.
若，是等差数列，
B．，不是等差数列，
C．，不是等差数列，
D．，不是等差数列，
故选：A．
【例2】下列说法中正确的是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列，
D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
【答案】C
【分析】
选项A、B、D举反例即可判断，选项C可用等差数列的定义判断
【详解】
对于A选项，成等差数列，但不成等差数列，故A错误；
对于B选项，成等差数列，但为不成等差数列，故B错误；
对于C选项，由于a，b，c成等差数列，故，则，即a+2，b+2，c+2成等差数列，C正确；
对于D选项， 成等差数列，但不成等差数列, 故D错误
故选：C
【例3】若数列满足，，则此数列是（ ）
A．等差数列 B．等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既非等差数列又非等比数列
【答案】A
【分析】
首先判断数列是常数列，求得数列的通项公式后，判断选项.
【详解】
由条件可知，所以数列是常数列，，所以，即，，
所以数列是等差数列.故选：A
【例4】 已知无穷数列和都是等差数列，其公差分别为和，若数列也是等差数列，则（ ）
A． B．
C．，可以是任何实数 D．不存在满足条件的实数和
【答案】B
【分析】
根据题意，得到，整理，即可得出结果.
【详解】
因为无穷数列和都是等差数列，其公差分别为和，且数列也是等差数列，
所以，即，
整理得，即，
即和中有一个等于零，或两者都为零；因此ACD都不正确；
故选：B．
【例5】设公差为-2的等差数列，如果，那么（ ）
A．-72 B．-78
C．-182 D．-82
【答案】D
【分析】
利用等差数列通项公式及性质求得答案．
【详解】∵{an}是公差为﹣2的等差数列，
∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣82．故选：D．
【例6】已知数列满足递推关系：,,则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用数列递推关系,结合等差数列的定义得数列是首项为,公差为的等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可．
【详解】
解：,,又,数列是首项为,公差为的等差数列,即
,即.故选C．

【对点实战】
1.下列命题中正确的个数是
①若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列；
②若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列；
③若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列；
④若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据等差数列的定义，利用列举法和举反例法判断①②④，利用等差中项的性质判断③即可.
【详解】
对于选项①：取，
由等差数列的定义可知，选项①错误；
对于选项②：例如，即与a，b，c都是公差为的等差数列，故选项②正确；
对于选项③：，b，c成等差数列，，即一定成等差数列，故选项③正确；
对于选项④：，即是公差为等差数列，故选项④正确.
故选：C

2.已知等差数列的公差为，则（为常数且，）是
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．非等差数列 D．公差为的等差数列
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列定义，作差即可判断公差。
【详解】
因为
所以是公差为cd的等差数列，
故选D．
3.已知数列，为常数，那么下列说法正确的是
A．若是等差数列时，不一定是等差数列
B．若不是等差数列时，一定不是等差数列
C．若是等差数列时，一定是等差数列
D．若不是等差数列时，一定不是等差数列
【答案】D
【详解】
当是等差数列时，由等差数列的性质可知，
一定是等差数列，A错；
对于数列：1，2，4，5，令，
则为等差数列，B错；
当时， 0，0，0，0是等差数列，但不是等差数列，C错．
故选：D．
4.数列满足，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由等差中项可知数列是等差数列，利用等差数列通项公式即可求解.
【详解】
由，可知：数列是等差数列，
首项为，公差为：.∴，∴.故选：A
5.已知递增数列中，，且()，则（ ）
A．360 B．362 C．364 D．366
【答案】B
【分析】
根据递推关系可得，从而证明数列是以为首项，1为公差的等差数列，求出通项公式，即可得答案.
【详解】
由，得.
因为数列是递增数列，且，所以得，
所以，即.
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，即，
所以.
故选：B.

Ø 二、等差数列的性质及计算
1. 等差中项既可以作为等差定义用，也可以计算中化简，如例题1
2. “高斯技巧”：（类比高斯的5050数计算原理，也就是“倒序求和”）
若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则__ak＋al＝am＋an_
授课时，要讲清：（1）可以三项对三项；（2）可以是相同项。
“高斯技巧”实质是广义的等差中项。使用“高斯技巧”，可以快速找出数量关系，避免列方程计算，如例题2 和3。
3. 等差数列可推得如下通项公式及推论：。此性质，有经典题型，例题4.
此处建议授课时， 用直线斜率解释。
4. 等差数列满足等式，既可以设首项和公差列方程计算，也可以通过“高斯技巧”简化来计算，如例题5
5. 等差数列，结合定义，可得经验口诀：“等差数列相同结构式子可作差，等比数列可做商”。如例题6.

【典型例题】
【例1】设是与的等差中项，是与的等差中项，则，的关系是（ ）．
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】
直接由等差中项的定义得出，，列出关系式并求解即可得出，的关系.
【详解】
解：由等差中项的定义知，，所以，即，
故或．故选：C.
【例2】等差数列中，，那么关于x的方程（ ）．
A．无实根 B．有两个不等实根
C．有两个相等实根 D．不能确定有无实根
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质可得出方程，即可判断.
【详解】
因为等差数列中，，所以，
∴，∴方程为，，∴方程有两个相等实根．
故选：C.
【例3】已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】
直接利用等差数列的性质进行计算即可
【详解】
由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.故选：B.
【例4】已知m，，，n和m，，，，n分别是两个等差数列（），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等差数列的概念分别表示出两个数列的公差，然后作商即可.
【详解】
设等差数列的公差为，则.设等差数列的公差为，则，所以.
故选：D
【例5】在等差数列中，，则的值为（ ）
A．6 B．12
C．24 D．48
【答案】D
【分析】
由等差数列的性质化简已知条件可得，再由等差数列的通项公式即可求解.
【详解】
在等差数列中，，
所以，
所以，
故选：D.
【例6】等差数列的首项为1，对，满足．则（ ）
A．4042 B．4041 C．4040 D．4039
【答案】B
【分析】
由和差即可求解公差，用通项公式可求解．
【详解】
解：因为等差数列的首项为1，，所以，
两式相减得，所以，则．故选：B．


【对点实战】
1.在等差数列{an}中，a2 018＝log27，a2 022＝，则a2020＝（ ）
A．0 B．7 C．1 D．49
【答案】A
【分析】
由等差中项的性质和对数运算性质计算可得选项.
【详解】
解： .
故选：A.
2.已知是等差数列，且，是函数的两个零点，则（ ）
A．8 B． C．2020 D．
【答案】A
【分析】
由根与系数的关系及等差中项即可求解.
【详解】
因为，是函数的两个零点，
所以，所以.故选：A
3.等差数列中，若，则的值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【分析】
先由等差数列的性质得，再用性质求解
【详解】
解：依题意，由，得，即
所以
故选C
4.方程有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意设4个根组成的等差数列为，，，，根据韦达定理可知，进而可得，求出4个根即可求解.
【详解】
设4个根组成的等差数列为，，，，
则，∴.
又∵，∴，∴，，，
∴，故选：C
5.已知数列对于任意p，有，若，则（）
A． B． C．1 D．4
【答案】D
【分析】
根据已知关系式求出数列的通项公式后可得结论．
【详解】
∵对于任意p，有，令，则，∴，
∴是等差数列，公差为，首项是，∴，
∴．故选：D．
6.在等差数列中，，（、），则的值为______.
【答案】0
【分析】
基本量代换，由，求出公差d，直接用通项公式求出.
【详解】
设的公差为d，则有
∴ ，

故答案为：0


Ø 三、递推公式之等差数列
许多复杂的递推公式，经过化简构造后，发现是等差数列，实际上，这个递推公式源于等差数列定义式子，可以通过换元，得到更复杂的式子。以下总结了一些常见的递推公式，蕴含了“二级形式”的等差数列。授课时要讲清楚，这是经验性递推总结。
1.根号型换元，如例题1
2.系数配凑型，如例题2。这个系数。既可以是乘。也可以是除。
3.指数凑配型，如例题3.实质上是例题2的换元扩展。
4.倒数型。复杂分式，可以适当分离取倒数，得到等差数列，如例题4
5.奇偶等差型。对于这类“和”型，有时候可推出奇数项和偶数项各自独立的成等差数列。在授课时要讲清通项公式推导过程。如例题5
6.结构型，如例题6，这道题具有明显的等差形状，但是如果去分母，这个等差式子隐藏的就比较深了，如后边的高中数学联赛选题，就有这个特征。
7.消常数同除型。如例题7
8.配方型，如例题8.
9.双数列纠缠迭代型，如例题9.



【典型例题】
【例1】在数列中，若，，，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】
由已知得，从而有数列是等差数列，公差，根据等差数列的通项公式可求得答案.
【详解】
解：因为，所以，
所以数列是等差数列，公差，
所以，
所以.
故答案为：.
【例2】已知数列中，，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】
将两边同时除以，进而化为，然后结合等差数列的定义得到答案.
【详解】
由题意，可得，即．又，∴数列是以为首项，为1公差的等差数列，∴，∴．
故答案为：.
【例3】已知数列{an}中，a1＝1，，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】
【分析】
根据已知可得是等差数列，即可求出通项公式.
【详解】
∵，∴两边同除以，得＝＋1.
又a1＝1，∴是以首项为，公差为1的等差数列，
∴＝＋(n－1)×1＝n－，即.
故答案为：.
【例4】数列中，则_____________.
【答案】
【分析】
对两边取到数可得，从而可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，即可求出.
【详解】
因为，所以，即，又，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
【例5】若数列满足：，，则________________.
【答案】.
【分析】
根据写出，相减以后可得，可以判断出数列是等差数列，然后判断出首项和公差，即可得.
【详解】
.
两式相减，得.
.
故是首项为，公差为的等差数列的第项，
故.
故答案为：.

【例6】已知数列中，，，若，则______．
【答案】19
【分析】
先由，
再求得，从而就容易求出结果了.
【详解】
由，令，
数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，
变形可得，
由累加法得，
所以
，
所以，故数列是公差为的等差数列，
则的公差，所以．
故答案为：19.
【例7】设数列满足，则数列的前2020项和为______．
【答案】
【分析】
由递推关系式可得，根据等差数列通项公式可求出，由裂项相消法求和即可.
【详解】
，，
，
的前2020项和为，
故答案为：
【例8】已知单调递增数列满足，，则________．
【答案】
【分析】
根据题意，求得，由于数列是递增数列，可知，且，由，可得出，再根据定义法证明出数列是首项为0，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式求出，即可得出.
【详解】
解：，，即，所以，
由于数列是递增数列， 则，且，∴，
由于，则，即，，
而数列是递增数列，则，，
数列是首项为0，公差为1的等差数列，，.
故答案为：.
【例9】已知正项数列和满足：①，；②，.则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】
根据条件②，联立化简得数列是等差数列，再根据条件①可得的通项，再代入②即可得数列的通项公式.
【详解】
，，，，则时，，
时，，即，数列是等差数列.
又，，，首项，公差，
.，.
，其中适合此式，.故答案为：.

【对点实战】
1.已知数列满足.若点在直线上，则___________.
【答案】
【分析】
由已知得，故而有数列为等差数列，且公差，根据等差数列的通项公式可求得答案.
【详解】
解：由点在直线上，得，即，
∴数列为等差数列，且公差.
又，∴，即.
故答案为：.

2.在数列中，设，若数列是等差数列，则______
【答案】
【分析】
由数列是等差数列，结合已知求得，然后利用累乘法求得结果.
【详解】
因为数列是等差数列，所以公差，所以
则，，，，由累乘法可得：，
故答案为：
3.如果数列满足，且，则这个数列的第项等于___________.
【答案】
【分析】
由，化简得，则为等差数列，结合已知条件得．
【详解】
由，化简得，且，，
得，所以是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即
故答案为：
4.在数列中，，，，则_______________.
【答案】240
【分析】
由已知可得，即是以2为首项，4为公差的等差数列，由此可求出的通项公式，得出所求.
【详解】
，
，则数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
，，
.
故答案为：240.
5.已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________.
【答案】2
【分析】
将已知等式化为，根据数列是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式，将不等式化为恒成立，求出的最大值即可得解.
【详解】
因为时，，所以，而，
所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.
又因为恒成立，即恒成立，所以.
由得，得，
所以，所以，即实数的最小值是2.
故答案为：2
6.数列满足，，则的通项公式为________．
【答案】
【分析】
先根据条件得隔项成等差数列，再根据等差数列通项公式得结果.
【详解】

相减得
所以当为奇数时，
当为偶数时，
因此
故答案为：
7.数列满足：，且 ，则数列的通项公式是=______________．
【答案】
【分析】
将等式化简，拆分等号右侧式子，可构造等差数列，由等差数列通项公式的求法求出数列的通项，进而求出的通项公式.
【详解】
原等式可化简为：，所以数列为以3为首项，2公差的等差数列，
则，所以.
8.已知数列中，，且，数列满足，则的通项公式是_____.
【答案】
【分析】
根据已知，利用作差法求易判断为等差数列，写出通项公式即可.
【详解】
∵，
∴，
又，则，
∴数列是首项为，公差为1的等差数列，
∴.
故答案为：.



Ø 四 、等差数列的函数性质和最值范围
1. 最常见的最值题型，就是把数列通项化归为对应的各种函数求最值，需要注意此时是离散型函数。如例题1。
2. 等差数列中比较常见的最值范围，是以首项或者公差为变量，构造不等式（组）求范围，如例题2
3. 对于首项和公差的双变量，可利用三角换元求最值。如例题3
4. 等差数列是关于n的一次型，就是存在正负项的分界点，利用正负分界研究范围最值，如例题4和5
5. 借助于“高斯技巧”和均值不等式求最值，如例题6
6. 借助于等差数列的“斜率性质”求最值，如例题7，是比较好的关于等差数列最值范围的一道类型题。
7. 与函数结合，运用函数的图像，值域，以及等差数列的定义等，如例题8，是一道等差数列和函数的综合题型。
8.

【典型例题】
【例1】已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
转化条件为，结合等差数列的性质可得，即可得解.
【详解】
因为，所以，
又，所以，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，
所以，，，当时，，所以中最小的一项是.故选：B.

【例2】已知等差数列的首项为，且从第10项开始均比1大，则公差d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
易得，结合通项公式，解关于的不等式即可.
【详解】
由题意得所以解得.故选：D

【例3】已知等差数列的公差为，，那么的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先利用等差数列的通项公式，得，，代入条件，得，再设为参数方程的形式，利用三角函数的有界性求最小值.
【详解】
，则，设(为参数)，
，其中，
最小值为.故选:A．

【例4】在等差数列中，.记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】C
【分析】
根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果.
【详解】
依题意可得公差，，
所以当时，，当时，，
因为，，，
，，
，
又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增，
所以数列无最大项，数列有最小项.
故选：C
【例5】已知数列是等差数列，若，则使得成立的最小正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设等差数列的公差为，根据，利用“”求解.
【详解】
设等差数列的公差为，因为，所以，所以，
故，所以使得成立的最小正整数的值为．故选：C
【例6】等差数列满足，且，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】
由等差数列的性质求得，然后由基本不等式得结论．
【详解】
等差数列满足，则，所以，
所以，所以，当时等号成立．
故选：A．

【例7】已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是（ ）
A．d的最大值是6 B．
C．一定是奇数 D．137一定是数列中的项
【答案】ABD
【分析】
推导出，的最大值为6，，当时，，从而一定是等差数列中的项.
【详解】
因为无穷等差数列的公差，且是中的三项，所以设，
解得，所以的最大值为，故A正确；因为，，所以，故B正确；
因为，所以时，，数列可能为故C错误；
因为，所以一定是等差数列中的项，故D正确.故选：ABD.
【例8】设函数，数列满足，若是等差数列.则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
作出函数图象，讨论的范围，根据，再讨论公差的范围，判断是否满足等差数列，得出答案.
【详解】
画出函数的图象如如图所示.

当时，，，…
数列是首项为，公差为-4的等差数列，符合题意；
当时，因为是等差数列，若其公差，则，使得，这与矛盾；
若其公差，则，解得或.则当时，为常数列.
当时，为常数列，此时为等差数列，符合题意；
若其公差，则，使得且，则等差数列的公差必为-4，因此，∴，解得(舍去)或.
又当时，这与是等差数列矛盾.
综上所述，的取值范围是.故答案为：.
【对点实战】
1.已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】
转化条件为，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解.
【详解】
因为，所以，
又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，
所以，所以，
令，解得，
所以，其余各项均大于0，
所以.
故选：A.
2.数列是等差数列，，公差，，且，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用等差数列通项公式推导出，由，，能求出实数取最大值.
【详解】
数列是等差数列，，公差，，且，
，解得，，，是减函数，
时，实数取最大值为.故选：D.
3.已知数列中，，，且，则数列的最大项的值是　　
A．225 B．226 C．75 D．76
【答案】B
【分析】
由且，变形为，又．利用等差数列的通项公式可得，再利用累加求和法与等差数列的求和公式即可得出结果．
【详解】
解：且，，即，
又，数列是等差数列，首项为29，公差为，，
当时，

也满足上式 ，
数列的通项，
由二次函数的知识知当时，取得最大值．故选：．
4.已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为　　
A．16 B．9 C．5 D．4
【答案】A
【分析】
根据题意，由等差中项的定义分析可得1，进而分析可得a+9b＝（a+9b）（）＝10，由基本不等式的性质分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则21；
则a+9b＝（a+9b）（）＝1010+216；当且仅当，即=时取到等号，
∴a+9b的最小值为16；故选A．
5.已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的 , 都有成立, 则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足.
若对任意的, 都有成立,所以恒成立，
所以则实数的取值范围是，故选A．
6.已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为－4 B．最小值为4 C．最小值为－4 D．最大值为4
【答案】B
【分析】
利用等差数列的通项公式可得d=，由a3=a1+2d=，利用基本不等式即可求解.
【详解】
解：∵递增等差数列{an}中，a1a2=﹣2，∴a1(a1+d)=﹣2，且d>0，∴d=，∴a1