2020-2021学年第二十一章 一元二次方程综合与测试习题

2022秋 人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元检测题

一．选择题（共10小题）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A．x+2＝0 B．y2+2x＝1 C．x2﹣1＝0 D．

2．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣a＝0有一个实数根为﹣1，则a的值（　　）

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4

3．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的二次项系数、一次项分别是（　　）

A．1，﹣2x B．x2，﹣2x C．1，2x D．1，﹣2

4．将方程x2+6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　）

A．（x+3）2＝﹣10 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x﹣3）2＝8 D．（x+3）2＝8

5．用公式法x＝解一元二次方程3x2+5x﹣1＝0中的b是（　　）

A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1

6．如果x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，那么x1•x2的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

7．某中学计划在一个长为26m，宽为20m的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为300m2，设小道的入口宽度为xm，则根据题意可列方程为（　　）

A．（26﹣2x）（20﹣x）＝300 B．（26﹣x）（20﹣2x）＝300 

C．（26+2x）（20+x）＝300 D．（26+x）（20+2x）＝300

8．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　）

A．1或3 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3

9．一元二次方程x2＝7的正数解最接近的整数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．一元二次方程4x2+1＝﹣4x的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

二．填空题（共6小题）

11．若方程（m﹣2）x﹣2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　   　．

12．方程（x+1）（4x+1）＝2x化为一般式是 　   　．

13．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为 　   　，c＝　   　．

14．一个长100m，宽60m的矩形游泳池扩建成一个周长为600m的大型矩形水上游乐场，把游泳池的长增加xm，水上游乐场面积为20000m2，列出方程为 　   　．

15．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（x+m+1）2+b＝0的解是　   　．

16．观察式子特征，并计算：＝　   　．

三．解答题（共6小题）

17．用指定的方法解方程：

（1）x2﹣2x＝0（因式分解法）            

（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法）

（3）2x2﹣9x+8＝0（用公式法）        

（4）（x﹣2）2＝（2x+3）2（用合适的方法）

18．嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：

（1）嘉嘉的解法 　   　；淇淇的解法 　   　；（填“正确”或“不正确”）

（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x（2x+1）＝3（2x+1）．

19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0．

（1）求证：不论m取何实数，若该方程都有两个不相等的实数根；

（2）若x1、x2是这个一元二次方程的两个根，求的最小值．

20．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩．

（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；

（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？

21．金华市区某超市以原价为40元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元/瓶．

（1）求平均每次降价的百分率．

（2）金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液（超过200瓶）．该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元/瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由．

22．仔细阅读材料，再尝试解决问题：

完全平方式x2±2xy+y2＝（x±y）2以及（x±y）2的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：

解：原式＝2（x2+6x﹣2）＝2（x2+6x+9﹣9﹣2）＝2[（x+3）2﹣11]＝2（x+3）2﹣22．

因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0；此时x＝﹣3时，进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22＝﹣22；所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22．

请根据上面的解题思路，探求：

（1）多项式3x2﹣6x+9的最小值是多少，并写出对应的x的取值；

（2）多项式﹣x2﹣2x+6的最大值是多少，并写出对应的x的取值．

2022秋 人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元检测题

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意．

B、该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意．

C、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意．

D、该方程是分式方程，故本选项不符合题意．

故选：C．

2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣a＝0有一个根是﹣1，

∴（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣a＝0，

解得：a＝4，

故选：C．

3．【解答】解：在一元二次方程的一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，

所以x2﹣2x+5＝0的二次项系数、一次项分别是1，﹣2x．故选A．

4．【解答】解：∵x2+6x+1＝0，

∴x2+6x＝﹣1，

则x2+6x+9＝﹣1+9，即（x+3）2＝8，

故选：D．

5．【解答】解：3x2+5x﹣1＝0中的b＝5，

故选：A．

6．【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，

∴根据根与系数的关系即得：x1•x2＝﹣1．

故选：B．

7．【解答】解：设小道入口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（26﹣2x）m，宽为（2﹣x）m的矩形，

依题意得：（26﹣2x）（20﹣x）＝300，

故选：A．

8．【解答】解：令y＝2x+3，则方程为y2+2y﹣3＝0．

由x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，得y2+2y﹣3＝0的解是y1＝1，y2＝﹣3，

所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3，

所以x1＝﹣1，x2＝﹣3．

故选：D．

9．【解答】解：x＝±，

所以方程的正数解为x＝，

而4＜7＜9，

所以2＜＜3，

所以方程x2＝7的正数解最接近的整数为3．

故选：C．

10．【解答】解：一元二次方程4x2+1＝﹣4x变形为4x2+4x+1＝0，

Δ＝16﹣4×4＝0，

∴方程有两个相等的实数根，

故选：A．

二．填空题（共6小题）

11．【解答】解：∵方程（m﹣2）x﹣2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，

∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2，

解得：m＝﹣2，

故答案是：﹣2．

12．【解答】解：（x+1）（4x+1）＝2x，

4x2+x+4x+1＝2x，

4x2+x+4x﹣2x+1＝0，

4x2+3x+1＝0，

故答案为：4x2+3x+1＝0．

13．【解答】解：根据题意知，x﹣2＝﹣2或x﹣2＝1，

解得x1＝0，x2＝3，

∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，

∴a（﹣2+c）2+b＝0或a（1+c）2+b＝0，

∴（﹣2+c）2＝﹣或（1+c）2＝﹣，

∴﹣2+c+1+c＝0，

解得，c＝0.5，

故答案为：x1＝0，x2＝3；0.5．

14．【解答】解：依题意得：扩大后的长为：100+x，

则扩大后的宽为：600÷2﹣（100+x）＝300﹣100﹣x＝200﹣x，

则可得出方程：（100+x）（200﹣x）＝20000．

15．【解答】解：把方程a（x+m+1）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，

而关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，

所以x+1＝﹣3，x+1＝2，

所以x1＝﹣4，x2＝1．

故答案为x1＝﹣4，x2＝1．

16．【解答】解：观察式子特征可知，的值是一元二次方程x2﹣2016x﹣2017＝0的较小根，

解方程x2﹣2016x﹣2017＝0得，x1＝2017，x2＝﹣1，

∴＝﹣1，

故答案为﹣1．

三．解答题（共6小题）

17．【解答】解：（1）x2﹣2x＝0（因式分解法），

∵x2﹣2x＝0，

x（x﹣2）＝0，

∴x1＝0，x2＝2；

（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法）

∵x2﹣2x﹣3＝0，

x2﹣2x＝3，

x2﹣2x+1＝4，

（x﹣1）2＝4，

∴x﹣1＝±2，

∴x1＝3，x2＝﹣1；

（3）2x2﹣9x+8＝0（用公式法），

∵b2﹣4ac＝81﹣4×2×8＝17＞0

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝；

（4）（x﹣2）2＝（2x+3）2（用合适的方法）

解：（x﹣2）2﹣（2x+3）2＝0，

∴[（x﹣2）+（2x+3）][（x﹣2）﹣（2x+3]＝0，

∴（3x+1）（﹣x﹣5）＝0，

∴x1＝﹣，x2＝﹣5．

18．【解答】解：（1）嘉嘉的解法不正确，琪琪的解法不正确，

正确的解法是：3（x﹣3）＝（x﹣3）2，

移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，

提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，

则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，

解得：x1＝3，x2＝6，

故答案为：不正确，不正确；

（2）4x（2x+1）＝3（2x+1），

4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，

（2x+1）（4x﹣3）＝0，

2x+1＝0或4x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣，x2＝．

19．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4m

＝m2+4m+4﹣4m

＝m2+4＞0，

∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意得x1+x2＝m+2，x1x2＝m，

∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（m+2）2﹣2m＝m2+2m+4＝（m+1）2+3

∴的最小值是3．

20．【解答】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得

100（1+x）2＝196

解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）

答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．

（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克

根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750

整理得，y2﹣4y+3＝0，

解得y1＝1，y2＝3

∵要减少库存

∴y1＝1不合题意，舍去，

∴y＝3

答：售价应降低3元．

21．【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率为x，

依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．

答：平均每次降价的百分率为10%．

（2）设学校购买y（y＞200）瓶洗手液，则选择方案一所需费用为32.4×0.9y＝29.16y元，选择方案二所需费用为32.4×200+32.4×0.8（y﹣200）＝（25.92y+1296）元，

当29.16y＜25.92y+1296时，y＜400，

∴当200＜y＜400时，学校选择方案一更省钱；

当29.16y＝25.92y+1296时，y＝400，

∴当y＝400时，学校选择两种方案所需费用相同；

当29.16y＞25.92y+1296时，y＞400，

∴当y＞400时，学校选择方案二更省钱．

答：当购买数量超过200瓶且不足400瓶时，学校选择方案一更省钱；当购买数量等于400瓶时，学校选择两种方案所需费用相同；当购买数量超过400瓶时，学校选择方案二更省钱．

22．【解答】解：（1）3x2﹣6x+9

＝3（x2﹣2x+3）

＝3（x2﹣2x+1﹣1+3）

＝3（x﹣1）2+6，

∵无论x取什么数，都有（x﹣1）2的值为非负数，

∴（x﹣1）2的最小值为0，此时x＝1，

∴3（x﹣1）2+6的最小值为：3×0+6＝6，

则当x＝1时，原多项式的最小值是6；

（2）﹣x2﹣2x+6，

＝﹣（x2+2x﹣6）

＝﹣（x2+2x+1﹣1﹣6）

＝﹣（x+1）2+7，

∵无论x取什么数，都有（x+1）2的值为非负数，

∴（x+1）2的最小值为0，此时x＝﹣1，

∴﹣（x+1）2+9的最大值为：﹣0+7＝7，

则当x＝﹣1时，原多项式的最大值是7．