第一章 特殊的平行四边形 单元检测　2022-2023学年北师大版数学 九年级上册(含答案)

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2022-2023北师大版数学 九年级上册第一章 特殊的平行四边形 单元检测一．选择题（共12小题）1．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E、F，连接DF，若∠BCD＝70°，则∠ADF的度数是（　　）A．60° B．75° C．80° D．110°2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD．从中选择两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选③④3．下列判断错误的是（　　）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（　　）A． B． C． D．5．菱形具有而矩形不一定有的性质是（　　）A．对角线互相平分 B．四条边都相等 C．对角相等 D．对边平行6．如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，F是AB上的任意一点，过点F分别作FE∥BD、FG∥AC，FE交AD于E点，FG交BC于G点．则下列结论错误的是（　　）A．BD垂直平分FFG∥ACG B．EF+FG＝AC C．△AFE是等腰直角三角形 D．GC+FG＝AC7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，点G为AB边上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作DE⊥GO，垂足为点E，连接CE，则CE的最小值为（　　）A．2 B．4﹣ C． D．﹣18．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝6，则菱形ABCD的周长为（　　）A．48 B．36 C．24 D．189．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．410．如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（　　）A．四边形BECF为平行四边形 B．当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形 C．当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形 D．四边形BECF不可能为正方形11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（﹣，﹣1）12．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为（　　）A．60° B．75° C．72° D．90°二．填空题（共6小题）13．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝18°，则∠AED等于　   　度．14．如图，正方形ABCD的面积等于36cm2，正方形DEFG的面积等于16cm2，则阴影部分的面积S＝　   　cm2．15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BD＝4，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，则AD＝　   　，AE＝　   　．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为（3，3），（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N．若BN＝2ND，则点D的坐标为 　   　．17．如图，正方形ABCD边长为4，E为CD边中点，P为射线BE上一点（点P不与点B重合），若△PDC为直角三角形，则BP的长是 　   　．18．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为（﹣2，﹣1）、（2，3）、（2，﹣1），则其第四个顶点的坐标为　   　． 三．解答题（共5小题）19．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．（1）求证：矩形ABCD为正方形：（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．   20．如图，在▱ABCD中，E、F分别是边BC，AD的中点，AC是对角线，过点D作DP∥AC，交BA的延长线于点P，∠P＝90°．求证：四边形AECF是菱形．    21．已知：在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．  22．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．      23．如图，四边形ABCD为矩形，连接BD，AB＝2AD，点E在AB边上，连接ED．（1）若∠ADE＝30°，DE＝6，求△BDE的面积；（2）延长CB至点F使得BF＝2AD，连接FE并延长交AD于点M，过点A作AN⊥EM于点N，连接BN，求证：FN＝AN+BN．   参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：连接BF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，∴BF＝DF，∵EF是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，∴DF＝CF，∴∠CDF＝∠DCF＝35°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°，∴∠ADF＝110°﹣35°＝75°，故选：B．2．【解答】解：对于A，由①得四边形ABCD是菱形，由②得进一步可知四边形ABCD是正方形，故A选项不符合题意；对于B，由②可证得四边形ABCD是矩形，而矩形有对角线相等的性质，则结合③条件不能判断平行四边形ABCD是正方形，故B选项符合题意；对于C，由①得四边形ABCD是菱形，结合③可证得四边形ABCD是正方形，故C选项不符合题意；对于D，由②可证得四边形ABCD是矩形，再结合④对角线垂直的条件，可推出四边形ABCD是正方形，故D选项不符合题意．故选：B．3．【解答】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；B．四个内角都相等的四边形是矩形，故B正确，不符合题意；C．两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故C错误，符合题意；D．四条边都相等的四边形是菱形，故D正确，不符合题意；故选：C．4．【解答】解：过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，∵四边形AOCB为矩形，∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝6，AB＝OC，∵∠BAC＝30°，∴AC＝12，OC＝AB＝，由折叠可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，AD＝AB＝，∴∠OAE＝30°，∴OE＝，AE＝，∴ED＝，∵DF∥y轴，∴∠EDF＝∠EAO＝30°，∴EF＝，DF＝3，∴OF＝OE+EF＝，∴D点坐标为（，﹣3），故选：B．5．【解答】解：A．因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线都互相平分，所以A选项不符合题意；B．因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不行等，所以B选项符合题意；C．因为矩形和菱形都是平行四边形，对角都相等，所以C选项不符合题意；D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．故选：B．6．【解答】解：如图，A、由对角线AC、BD互相垂直平分且相等，FG∥AC，可以得出FG∥AC，故命题正确；B、由EF＝AM+CN，FG＝MN，可以得出EF+FG＝AC，故命题正确；C、△ABD为等腰直角三角形，且FE∥BD，可以得出△AFE是等腰直角三角形，故命题正确；D、由②可知，AM+CN＞CG，因此GC+FG＝AC不正确，故命题错误．故选：D．7．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵DE⊥GO，∴点E在以OD为直径的圆上运动，∴当OD中点F，点E，点C三点共线时，CE有最小值，∵正方形ABCD的边长为2，∴OC＝OD＝2，∴OF＝1，∴CF＝＝＝，∴CE的最小值＝﹣1，故选：D．8．【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×6＝12，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∴菱形ABCD的周长＝4×12＝48，故选：A．9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，∵△AEF等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝30°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，故①正确；∵∠BAE+∠DAF＝30°，∴∠DAF+∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°，故②正确；∵BC＝CD，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴AE＝AF，∴AC垂直平分EF，∴EG＝FG，故③正确；∵∠ECF＝90°，EG＝FG，∴CG＝EF，设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，∴CG＝EF＝x＝CE，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共4个．故选：D．10．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴AB＝CD＝3，AC＝BD＝5，BC＝EF＝4，∠A＝∠D，∠ACB＝∠CBD，∠ABC＝∠DCB＝90°，∵O为BC中点，∴BO＝CO，在△BOF和△COE中，，∴△BOF≌△COE（ASA），∴OF＝OE，∴四边形BECF为平行四边形，故A选项不符合题意；当BF＝3.5时，若BE⊥AC，∵，∴BE＝，∴＝＝，∵BF＝3.5，∴CE≠BF，∴BF＝3.5时，四边形BECF不是矩形，故B选项符合题意，∵BF＝2.5，∴CE＝2.5，∴AE＝AC﹣CE＝2.5，∴E为AC中点，∴BE＝CE，∵四边形BECF是平行四边形，∴当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，故C选项不符合题意；当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°，∴四边形BECF不可能为正方形．故D选项不符合题意．故选：B．11．【解答】解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC＝∠ADO＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵A的坐标为（1，），∴AD＝，OD＝1，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，在△OCE和△AOD中，，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE＝AD＝，CE＝OD＝1，∴C（﹣，1）．故选：A．12．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB，∴∠AEB＝∠EAD＝45°，∴BE＝BA．∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，∴∠BAC＝60°，又∵OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴BO＝BA，∴BO＝BE，∴∠BOE＝∠BEO，∵△OAB为等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠OBE＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）÷2＝75°．故选：B．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，∠ABC＝90°．∵∠CBF＝18°，∴∠ABE＝72°，∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝180°﹣45°﹣72°＝63°．∵AE＝AE，∠BAE＝∠DAE，AB＝AD，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AED＝∠AEB＝63°．故答案为：63．14．【解答】解：∵正方形ABCD的面积等于36cm2，正方形DEFG的面积等于16cm2，∴AB＝BC＝CD＝6cm，EF＝ED＝4cm，∴S△EFC＝EF•CE＝×4×（4+6）＝20（cm2），S△ABC＝AB•BC＝×6×6＝18（cm2），∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD+S正方形DEFG﹣S△EFC﹣S△ABC＝36+16﹣20﹣18＝14（cm2），故答案为：14．15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△BAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵在Rt△BAD中，AB＝2，BD＝4，∴AB＝BD，∴∠ADB＝30°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴AE＝AD＝＝，故答案为：2，．16．【解答】解：如图，过点M作MF⊥ON于N，过点D作DE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），∴M（1，1），∴OF＝1，MF＝1，∴∠MON＝45°＝∠OMF，∴∠FMN＝45°＝∠FNM，∴MF＝FN＝1，∴MN＝，∵BN＝2ND，∴BD＝3DN，DM＝DN，∴MN＝DN＝，∴DN＝2，∵DE⊥x轴，∴∠EDN＝∠DNE＝45°，∴DE＝EN，∴DE＝EN＝2，∴EO＝4，∴点D（4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）．17．【解答】解：分三种情况：①如图1，当∠DPC＝90°时，∵E是CD的中点，且CD＝4，∴PE＝CD＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝4，∠BCD＝90°，∴BE＝，∴BP＝2﹣2；②如图2，当∠DPC＝90°时，同理可得BP＝2+2；③如图3，当∠CDP＝90°时，∵∠BCE＝∠EDP＝90°，DE＝CE，∠BEC＝∠DEP，∴△BCE≌△PDE（ASA），∴PE＝BE＝2，∴BP＝4，综上，BP的长是2﹣2或2+2或4；故答案为：2﹣2或2+2或4．18．【解答】解：如图，A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（2，3），∵四边形ABCD为长方形，∴D（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．三．解答题（共5小题）19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，∵AE：EB＝2：1，设AE＝2x，EB＝x，∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，∴AF＝＝x，∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，∴△AEG∽△AFB，∴△AEG的面积：△AFB的面积＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，∵△AEG的面积为4，∴△AFB的面积为13，∴四边形BEGF的面积＝13﹣4＝9．20．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CB∥AD，CB＝AD．AB∥CD，∵E、F分别是边BC，AD的中点，∴CE＝CB，AF＝AD．∴CE＝AF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵∠P＝90°，AB∥CD，CB∥AD，∴四边形CDPA是矩形，∴∠ACD＝90°，在Rt△ADB中∵F为AB的中点，∴AF＝CF＝DF，∵四边形CFAE是平行四边形，∴四边形CFAE是菱形．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AD∥EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE＝DF，由（1）得：四边形DEBF是菱形，∴DE＝DF＝BE，∴AD＝DE，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝DE，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∵DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD＝∠AED＝30°，同理：∠FDB＝∠FBD＝30°，即图2中四个度数为30°的角为∠EDB、∠EBD、∠FDB、∠FBD．22．【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+42＝（12﹣x）2，解得：，∴AQ的长是．23．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∵∠EDA＝30°，∴EA＝ED＝×6＝3，cos30°＝，∴DA＝ED•cos30°＝6×＝3，∴BE＝2DA﹣EA＝6﹣3，∴S△BED＝×BE×DA＝（6﹣3）×3＝27﹣；（2）过B作BH⊥BN，交FN于H，∵∠NBH＝∠ABF＝90°，∴∠NBH﹣∠ABH＝∠ABF﹣∠ABH，∴∠ABN＝∠HBF，∵AD∥BF，∴∠AME＝∠F，∵∠MAE＝∠ANM＝90°，∴∠AMN+∠MAN＝∠ANE+∠NAE＝90°，∴∠NAB＝∠F，∵BF＝2AD，AB＝2AD，∴AB＝BF，在△FHB与△ANB，，∴△FHB≌△ANB（SAS），∴BH＝BN，HF＝AN，∴△HBN是等腰直角三角形，∴NH＝NB，∵FN＝HF+HN，∴FN＝AN+BN．