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2023昆明师大附中高三上学期适应性月考卷(三)数学试题扫描版含解析
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数学参考答案 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)题号12345678答案ADBDCBCB【解析】1.复数的虚部为,故选A.2.因为,所以.则由,可得,故选D.3.因为为幂函数,所以设,则,所以,,则,故选B.4.因为,所以,则随机抽取该地区1000名成年女性,其中身高不超过的人数服从,所以,故选D.5.因为,所以,又,所以,所以,则,故选C.6.将方程与抛物线方程联立,得,设,则由与抛物线有四个不同的交点可得有两个不等的正根,得即,由抛物线定义可得,故选B.7.表示5个相乘,含的项可以是在5个中选3个2,2个相乘得到,也可以是在5个中选2个2,2个,1个相乘得到,也可以是在5个中选1个2,4个相乘得到,所以含的项为,故选C.8.如图1,取BD的中点M,连接.由,可得为正三角形,且,所以,则.以M为原点,MC为轴,过点M且与平面垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系如图2,则,,,所以.设为三棱锥的外接球球心,则在平面的投影必为的外心,则设.由可得,解得,所以.由张衡的结论,,所以,则三棱锥的外接球表面积为,故选B.二、不定项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)题号9101112答案BDBCABDABC【解析】9.选择自由行的游客人数为,其小于40岁的概率是,故A错误;选择自由行中小于40岁和不小于40岁的人数比为2:1,则按年龄分层抽样抽取的6人中,有4人小于40岁,有2人不小于40岁,设事件A为2人均小于40岁,则2人中至少有1人不小于40岁的概率为,故B正确;因为,所以可推断旅行方式与年龄没有关联,但对零假设犯错误的概率是不可知的,故C错误;因为,所以推断旅行方式与年龄有关联,且犯错误概率不超过0.05,故D正确,故选BD.10.,,则,,,,则,A错误(若在内,则,即);当时,,,,,所以,所以两圆相交,共两条公切线,B正确;,得,即,令解得所以定点为,C正确;公共弦所在直线的斜率为,令,无解,所以D错误,故选BC.11.因为经过点,所以,又在的单调递减区间内,所以①;又因为经过点,所以,,又是在时最小的解,所以②.联立①、②,可得,即,代入①,可得,又,所以,则.的最小正周期为,A正确.向左平移个单位后得到的新函数是,为偶函数,B正确.设在上的6个根从小到大依次为.令,则,根据的对称性,可得,则由的周期性可得,,所以,C错误.作与平行的直线,使其与有公共点,则在运动的过程中,只有当直线与相切时,直线与l存在最小距离,也是点M到直线的最小距离,令,则,解得或,又,所以(舍去),又,令,,,则由可得到直线的距离大于到直线的距离,所以到直线的距离最小时,的横坐标为,D正确,故选ABD.12.由为黄金分割双曲线可得,即,对两边同除以可得,则,A正确;对继续变形得,,,,由射影定理(即三角形相似)可得B正确;设,,,将坐标代入双曲线方程,作差后整理可得,故C正确;设直线,代入双曲线方程,可得,则,,将换成即得,则与,的值有关,故D错误,故选ABC.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)题号13141516答案120【解析】13.不妨设,起点都在原点,设,则为,点分别在所在直线x轴上的投影为点和点,所以在上的投影向量为.14.因为,所以,又,所以在处的切线方程为,即.15.设该四位数为,则,,且.令,,则,且.所以该问题相当于把11个完全相同的小球放入4个不用的盒子,且每个盒子至少放一个小球,采用隔板法:在11个小球的10个空隙中选择3个插入隔板,所以共有种放法.16.设,则,则点在单位圆上,根据三角函数的定义,可设,,则,则由可得,则,所以,则,又,所以当且仅当,即时,.四、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解:(1),,,,,,………………………………(4分),关于的线性回归方程为.………………………………………(6分)(2)令,解得,则该样本中所含的还原糖大约相当于的标准葡萄糖溶液.……………………………………………………………………………………(10分)18.(本小题满分12分)解:(1)成等差数列,,……………………………………………………………………………(1分)又,,,又,,,………………………………………………………………………………………(3分).…………………………………………………………………………………(5分)(2)由题意可得,,即,………………………………………………………………………………………(6分)由余弦定理结合(1)可得,,…………………………………………………………………………………(8分)由正弦定理可得,又,,…………………………………………(10分),又,,为直角三角形. ……………………………………………………(12分)19.(本小题满分12分)解:(1)由题意,当时,,………………………………………………………………………………………(2分)则,………………………………………………………(4分)又,是首项为,公比为的等比数列,,. ……………………………………………………(6分)(2)记为第次射击击中目标,则由题意可得,,,可取到的值为,且,,,则的分布列为:024……………………………………………………………………………………(10分). …………………………………………………(12分)20.(本小题满分12分)(1)证明:平面平面,平面平面,,且平面,平面,又平面,,又平面,平面,,且,平面,平面,又平面,. ……………………………………………………………………………(4分)(2)解:法一(几何法):,,如图3,过点作直线平行于,则,则同时在平面与平面内,是两平面的交线,又由(1)平面,可得,,且,由二面角的平面角的定义可得是平面与平面所成角,………………………………………………………………………………………(8分)设,则,过点作于点,则,且,,,解得. ……………………………………………………………………………(12分)法二(向量法):如图4,以点为原点,分别以,,过点且与平面垂直的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,,则,,,………………………………………………………………………………………(6分)由,可得,,,,………………………………………………………………………………………(8分)设为平面的法向量,则可得一组解为,……………………………………………………(10分)取平面的法向量,则,令,则,化简得,即,.……………………………………………………………………………………(12分)21.(本小题满分12分)(1)解:设点,,则由点G与P,Q两点的距离之和为,可得点G的轨迹是以P,Q为焦点且长轴长为的椭圆,其轨迹方程为.由,可得,代入点G的轨迹方程,可得:,即.…………………………………………………(4分)(第一问也可以利用几何法:由条件可知G为的重心,延长PG,QG,必分别交NQ,NP的中点(分别设为H,I),取,,则,由椭圆定义可得的方程.)(2)证明:设点,则,即,,令,得,,……………………………………………(6分)过作直线ME的垂线,垂足为点T,则要证ER为的角平分线,只需证,又,,………………………………………………………………………(8分),,当且仅当,即时,又在上,则,即,代入上式可得恒成立,为的角平分线得证.……………………………………………………(12分)(第(2)问也可利用二倍角公式,证明)22.(本小题满分12分)解:(1),①当时,在上恒成立,在上单调递减;………………………………………………………………………………………(2分)②当时,在上单调递增,且当时,,当时,,单调递减;当时,,单调递增.………………………………………………………………………………………(4分)(2),若,,与在上恒成立矛盾,,…………………………………………………………………………………(6分)则,令,则由可知在上单调递减,又当时,,,,又,,使得,………………………………(8分),,,且当时,单调递增;当时,单调递减,,……………………………………………………………………………………(10分)又,,解得,令,则在上恒大于0,在上单调递增,.…………………………………………………………(12分)
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