高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用复习练习题

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6.4.3.1 余弦定理   -----专项检测卷(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的内角的对边分别为.已知，则的形状是（       ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】首先利用降幂公式化简,再利用余弦定理化简即可.【详解】由再由余弦定理得：故三角形为直角三角形。故选：A 2.在中，其内角，，的对边分别为，，，已知且．若，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合向量运算、余弦定理进行运算，化简求得的值.【详解】∵，∴，∵，∴，由余弦定理，得，∴，∴.故选：B．3.在中，若 ，，，则AB的长度为（       ）A．2 B．4C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理计算可得；【详解】解：在中，，，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）故选：D4.已知是三边长，若满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】变形条件，结合余弦定理，即可求解.【详解】，即，，，所以.故选：A5.在中，，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理：，可得，则，即，再由，求解即可.【详解】由题意，在中，，，，由余弦定理：，故，即，故，即，所以，则.故选：D6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理，转化，结合即得解【详解】由题意，结合余弦定理又。故选：B7.在中， ，，为中点，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由题得,求出，再利用余弦定理求解.【详解】设，由题得,所以.在△中，.故选：A8.已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（       ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.【详解】由余弦定理，可得，整理，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（       ）A．sin(B+C)=sinAB．cos(B+C)=cosAC．若，则为直角三角形D．若，则为锐角三角形【答案】AC【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答.【详解】依题意，中，，，A正确；，B不正确；因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确；因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确.故选：AC10.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（       ）A． B．是钝角三角形C．若，则 内切圆半径为 D．若，则外接圆半径为【答案】ACD【分析】根据正弦定理知A正确，计算最大角为锐角，B错误，根据面积公式得到C正确，根据正弦定理得到D正确，得到答案.【详解】，A正确；，三角形最大角为锐角，B错误；，故，，设内切圆半径为，则，故，C正确；，，D正确.故选：ACD.11.在△ABC中，，，，在下列命题中，是真命题的为（       ）A．若，则△ABC为锐角三角形B．若，则△ABC为直角三角形C．若，则△ABC为等腰三角形D．若，则△ABC为直角三角形【答案】BCD【分析】由，则∠BCA是钝角，可判断A；若，得△ABC为直角三角形可判断B；取AC的中点D，则，所以得△ABC为等腰三角形可判断C；由已知得，由余弦定理可得cos A＝－cos A，得A＝可判断D.【详解】若，则，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；若，则，△ABC为直角三角形，B正确；若，即，所以，，取AC的中点D，则，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；若，则，即，即，由余弦定理可得cos A＝－cos A，即cos A＝0，由，得A＝，即△ABC为直角三角形，D正确.故选：BCD.12.在中，，，为三个内角，，的对边，若，则角（       ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由余弦定理化边为角即得.【详解】由题得根据余弦定理可知，∴或．故选：BD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为______．【答案】5【分析】根据余弦定理角化边得，即，进而求周长即可.【详解】解：，，由余弦定理可得：，整理可得：，解得，则的周长为．故答案为：514.已知为的外心，且，则________.【答案】##【分析】根据向量共线以及余弦定理、诱导公式求得正确答案.【详解】设圆为三角形的外接圆，半径为，由于，所以，.设，则，在三角形中，由余弦定理得.故答案为：.15.如图，在中，，，是边上的点，且，，则等于______.【答案】3【分析】设AD=m，在中利用余弦定理建立三个关系式，联立即可作答.【详解】设AD=m，则有CD=m，BD=2m，BC=3m，中，由余弦定理得：，中，由余弦定理得：，中，由余弦定理得：，消去得：，从而得，解得，所以等于3.故答案为：316.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若a2=b2+bc，且A∈(60°，90°)，则取值范围是____.【答案】()【分析】结合余弦定理和已知条件可表示出，再代入余弦定理的，整理可得，最后结合余弦函数的图像可求得答案.【详解】∵△ABC中，a2=b2+bc，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A，∴b2+bc=b2+c2-2bccos A，整理，得c=b(1+2cos A)，∴a2=b2+b2(1+2cos A)=b2(2+2cos A)，∴，∵A∈(60°，90°)，∴cos A∈，可得2+2cos A∈(2，3)，∴∈()，即∈().故答案为：().四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）关于的二次方程中，、、是钝角三角形的三边，且边最长，求证：该方程有两个不相等的实根．【答案】证明见解析【分析】根据题意利用余弦定理得到，结合判别式，即可求解.【详解】因为边最长且为钝角三角形，可得，则，由余弦定理得，又由，所以该方程有两个不相等的实根．18.（12分）如图，两条笔直的公路相交成60°角，两辆汽车A和B同时从交点O出发，分别沿两条公路行驶．如果汽车A的速度是48km/h，那么汽车B应以多大的速度行驶，才能使这两辆汽车在出发1h后相距43km(结果精确到1km/h)？【答案】或【分析】设1小时后，汽车在点，汽车在点，问题即为，在三角形中，已知，，且，求的长，利用余弦定理，列出的方程，解出即可．【详解】如图：设1小时后，汽车在点，汽车在点，由已知：在中，，，，由余弦定理得，即，化简得，解得或13．∴汽车的速度是，或时，两辆汽车在出发后相距． 19.（12分）(1)在中，已知，，且最大角为，求的三边长.(2)在锐角三角形中，边、是方程的两根，角、满足，求角的度数，边的长度.【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）由已知可得，，由大边对大角可得，再由余弦定理可得的值，进而可得、的值；（2）由根与系数的关系可得，，由已知可得，再由余弦定理即可求解.(1)在中，由，，可得，，所以边最大，角最大，由余弦定理可得：，即，可得：或（舍），所以，，所以的三边长，，(2)由，得，所以因为为锐角三角形，所以，又、是方程的两根，所以，，由余弦定理可得：，所以. 20.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C+cos Acos B=2sin Acos B．（1）求cos B的值;（2）若a+c=2，求b的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值．（2）由（1）可求，又由，利用余弦定理可得，结合范围，利用二次函数的性质可求的范围．【详解】（1）因为cos C+cos Acos B=sin Acos B，所以-cos(A+B)+cos Acos B=sin Acos B，即sin Asin B=sin Acos B，因为sin A≠0，所以sin B=cos B>0，又因为sin 2B+cos 2B=1，解得cos B=.（2）由a+c=2，可得c=2-a，由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(2-a)2-a(2-a)=(a-1)2+，因为0<a<2，所以≤b<2，所以b的取值范围为.21.（12分）已知点，，为坐标原点，函数.(1)求函数的最小正周期；(2)若为的内角，，，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算将表示出来，再用辅助角公式化简，进而利用周期公式求出最小正周期；（2）由已知求出角，再利用余弦定理结合基本不等式即可求解.(1)解：，，函数最小正周期为：(2)解：由余弦定理得：即，当且仅当时取等号周长的最大值为.22.（12分）如图，在中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.【答案】设，由于是的角平分线，.设，则.在与中，分别利用余弦定理可得：，解得.再利用同角三角函数基本关系式和倍角公式可得，利用三角形的面积公式即可得出答案.【详解】解：设，是的角平分线，.设，则.在与中，分别利用余弦定理可得：，.，解得：.，.此三角形的面积为：.