人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用练习

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6.4.3.2正弦定理  -----专项检测卷(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.中，内角，，所对边分别为，，，，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用给定条件先求出，再利用正弦定理求解即得.【详解】在中，因，则是锐角，由，解得，由正弦定理得：，所以.故选：D2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2acosB．则△ABC的形状一定为（       ）A．锐角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】首先根据正弦定理，边角互化，再结合两角和差正弦公式化简，即可判断的形状.【详解】，根据正弦定理可知，，，，即，所以，即是等腰三角形.故选：B3.已知的面积为2，其外接圆面积为，则的三边之积为（       ）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】求出外接圆的半径，由弦定理结合三角形的面积公式即可求解.【详解】设外接圆的半径为，由题意可得，所以，在中，由正弦定理可得，由三角形的面积公式可得：，所以，所以的三边之积为，故选：A.4.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．已知，且，则b的值为（       ）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】利用正弦定理余弦定理化角为边，解方程求b.【详解】设△ABC的外接圆半径为R，∵   ，由正弦定理和余弦定理可得 ，∴   ，又，∴ ，故选：C.5.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理，求得，再利用余弦定理，求得，即可求解．【详解】解：在，因为，由正弦定理可化简得，即，由余弦定理得，因为，所以，故选：A.6.在面积为的中；内角、、所对的边分别为、、，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用公式，转化和，得，再根据正弦定理边角互化，转化条件得，即得，再结合余弦定理，代入求值.【详解】由，有，有，有，有，又由，有，有，有，有，有．故选：D7.在中，内角，，的对边分别是，，．若，的面积等于，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知条件可得，结合余弦定理可得，由正弦定理可得，则，再求出的范围，利用三角函数的性质可求得答案【详解】因为的面积等于，所以，由正弦定理得，所以，因为，所以，因为，所以由正弦定理得,可得，所以，因为，所以，所以，所以，所以故选：D8.若△ABC的内角A，B，C满足，则的最大值为（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理进行角化边运算，可得，代入余弦定理结合不等式可求出的范围，判断取最大值时的值，求出，作比求出.【详解】解：由正弦定理可知：等价于则，因为，所以，则，且当时，角B最大，此时，所以.故选：B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的取值可以是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【分析】由三角形三边关系，得到，由，可得，再由余弦定理得到的范围，从而得到答案.【详解】由三角形三边关系，得到；因为，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，因为，所以，且所以，所以，当且仅当时，等号成立，故.故选：BC.10.下列结论正确的是（       ）A．在中，若，则B．在锐角三角形中，不等式恒成立C．在中，若，则是直角三角形D．在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为【答案】ABC【分析】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A；利用余弦定理，即可判断B；首先利用正弦定理得到，即可求出判断C；对选项D，首先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可判断D.【详解】对于A，在中，由，利用正弦定理得，故A正确.对于B，由锐角三角形知，则，，故B正确.对于C，由，利用正弦定理得，即，故，即，则是直角三角形，故C正确.对于D，，解得，利用余弦定理知，所以，又因为，，故D错误.故选：ABC11.在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（       ）A．B．若，则C．D．若，且，则△为等边三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状.【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；B：当时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，正确.故选：ACD12.在，下列说法正确的是（       ）A．若，则为等腰三角形B．若，则必有两解C．若是锐角三角形，则D．若，则为锐角三角形【答案】BC【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B； 由已知得，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.【详解】对于A，由正弦定理可得，，或即，为等腰或直角三角形，故A错误；对于B，，即，必有两解，故B正确；对于C，是锐角三角形，，即，由正弦函数性质结合诱导公式得，故C正确；对于D，利用二倍角的余弦公式知，即，即，，即C为锐角，不能说明为锐角三角形，故D错误.故选：BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.在中，已知，，，则________．【答案】【分析】利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理即可求解.【详解】在中，已知，，由余弦定理可知再利用正弦定理，即，解得故答案为：14.在中，角所对的边分别为，，则______【答案】【分析】利用正余弦定理求、，结合二倍角正弦公式即可求.【详解】由题设，，而，∴.故答案为：15.设在中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由余弦定理化角为边，变形后再由正弦定理化边为角，利用三角函数恒等公式得出，然后把展开代入，最后由基本不等式得最大值．【详解】因为，所以，，由正弦定理得，又，所以，为三角形内角，，所以，即，，整理得．显然是锐角，，，当且仅当，即，时等号成立．故答案为：．16.△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为_____________.【答案】【解析】【分析】连，由正弦定理得，利用三角形内角和性质得，进而利用积化和差公式、诱导公式得，同理求、，即可求值.【详解】连，则，∴，同理可得：，.∴，即.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在中，(1)已知，，，求c，B；(2)已知，，，求a，C；(3)已知，，，求最小的内角.【答案】(1)，(2)，(3)30°【分析】（1）先用余弦定理求出c,进而用正弦定理求出B；（2）先用余弦定理求出a,进而用正弦定理求出B，进而求出C；（3）根据大边对大角，再结合余弦定理即可得到答案.(1)由余弦定理，，由正弦定理，，因为c>b，，所以.(2)由余弦定理，，由正弦定理，，因为b<a，，所以，所以.(3)由大边对大角可知，C最小，由余弦定理，，，即最小的内角为30°. 18.（12分）在△ABC中，已知c= ，A=45°，试判断当a分别取10，5，时，角C的解的个数．【答案】答案见解析【分析】根据给定的每一个a值，利用正弦定理解“已知两边及一边的对角解三角形”的方法逐一计算判断作答.【详解】(1)当a=10时，因c=，A=45°，有a>c，则角C比角A小，角C是锐角，所以角C有一解；(2)当a=5时，因c=，A=45°，有c>a，则，而，则，所以角C有一解；(3)当时，因c=，A=45°，有c>a，则，而，则或，所以角C有两解；(4)当时，因c=，A=45°，有c>a，则，无解，所以角C无解.19.（12分）已知分别为三个内角的对边，.（1）若是上的点，且平分角，，，求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）通过正弦定理进行角化边，然后结合余项定理，化简后再进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式进一步化简，得到A,B的关系，最后结合条件和余项定理解得答案；（2）根据（1），结合二倍角公式求出sinA,sinC，然后通过正弦定理求出a，最后用面积公式求出答案.【详解】（1）因为，所以.又因为，所以，即.所以，因为,所以，，则，所以，或（舍），所以，，所以，因为A,B,C为三角形ABC的内角，所以，，故.（2）因为，所以，，则.所以.所以.因为，所以，所以三角形ABC的面积为. 20.（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，．（I）求角A的值；（Ⅱ）求的范围．【答案】（I）；（Ⅱ）.【分析】（I）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理可得解；（Ⅱ）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质求值域即可得解.【详解】（I）由，利用正弦定理可得，即故，又，（Ⅱ），，利用正弦定理故，在中，，故，，所以的范围是21.（12分）如图，等腰直角三角形地块，，为了美化环境，现对该地块进行改造，计划从的中点引出两条成角的射线，分别交，于点，，将四边形区域改造为人工湖，其余区域为草地，设.（1）当时，求草地的面积；（2）求人工湖的面积的取值范围.【答案】（1）； （2）【分析】（1）先根据正弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求解；（2）利用正弦定理以及三角形面积公式分别求出三角形和三角形的面积，根据 ，求出的表达式，再根据的范围即可求解.【详解】解：（1）当时，在中，，由题意知：，由正弦定理得：，；（2）由题意知：   在中，，由正弦定理得：，在中，， ，由正弦定理得：，， ，   ，，，，，  22.（12分）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．（1）若R＝1，且满足，求的取值范围；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得，进而得到的大小；由正弦定理和三角恒等变换得到，从而根据的范围求出即可；（2）由题意得出，，然后化简，从而利用基本不等式求最小值.【详解】（1）因为，所以由正弦定理，得，又由余弦定理，得，所以，即，所以，又因为△ABC为锐角三角形，所以，所以 ，因为△ABC为锐角三角形，所以 ，即，所以，所以，即，所以，所以，即的取值范围为.（2）因为，所以，即，又因为△ABC为锐角三角形，所以，所以，所以由正弦定理，得，又因为，所以，所以，即,两边同时除以，得，因为且△ABC为锐角三角形，所以，所以 所以，所以，令，则，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.