高中数学7.2 复数的四则运算测试题

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7.2.1复数的加减运算及其几何意义-----专项检测卷(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则z的虚部是（       ）A． B．1 C． D．i【答案】A【分析】设，根据，求得，即可求得复数的虚部，得到答案.【详解】设，因为，可得，则，可得，所以复数的虚部是.故选：A2.复数(其中是虚数单位)（       ）A．0 B．2 C． D．【答案】D【分析】求出复数的模后由复数的减法运算可得．【详解】．故选：D．3.已知复数的实部为，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C利用的实部为求得，由此求得，进而求得对应的坐标及坐标所在象限.【详解】复数的实部为，则，即.∴，.复数，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C.4.若，，，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，利用复数的减法得到，然后根据求解.【详解】因为，，所以，因为，所以，故选：B5.设复数，满足，，，则（       ）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】先设出复数的代数形式，然后结合已知利用复数的四则运算及复数的模长公式可求得结果【详解】设，因为复数，满足，，，所以，，，所以，所以，所以，故选：C6.复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（       ）A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆【答案】A【分析】设出动点Z坐标为，根据题意列出方程，求出结果.【详解】设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.故选：A7.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意确定出费马点的位置，进而可求得结果.【详解】设，则表示点到三顶点、、的距离之和. 依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则.此时.故选：B.8.的三个顶点所对应的复数分别为中，点O为所在平面内一点，对应复数z，满足，则（       ）A． B． C．6 D．10【答案】B【分析】由复数的几何意义得O为的外心，从而根据三角形外心性质及平面向量数量积的几何意义即可求解.【详解】解：，由复数的几何意义知O到A，B，C三点的距离相等，即O为的外心，过O作交于点，作交AC于点，因为O为的外心，所以，分别为与AC的中点，，由平面向量数量积的几何意义知，,.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（       ）A．点位于第二象限 B． C． D．【答案】BC【分析】由题意画出图形，求出的坐标，得到，然后逐一分析四个选项得答案．【详解】解：如图，由题意，，，，为平行四边形，则，，点位于虚轴上，故错误；，故正确；，故正确；，故错误．故选：． 10.设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（       ）A． B．是纯虚数C．若，则 D．若，则的最大值为2【答案】AD【分析】利用复数的运算法则判断A的正误；复数的解法判断复数是实数，判断B；利用复数的模的运算法则判断C；利用复数模的几何意义判断D．【详解】解：因为复数与其共轭复数为的实部相等，虚部互为相反数，所以，A正确；当为实数时，也为实数，则是实数，B错误；若，则，C错误；若，设，即，则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确，故选：AD． 11.已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（       ）A．若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上B．若复数z满足，则复数C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则【答案】CD根据复数减法的模的几何意义，判断A选项的正确性.设，结合求得，由此判断B选项的正确性.根据复数模的定义判断C选项的正确性.根据复数加法、减法的模的几何意义，判断D选项的正确性.【详解】满足的复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设，则.由，得，解得，B错误；由复数的模的定义知C正确；由的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确.故选：CD 12.已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（       ）A．点在复平面上的坐标为 B．C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABC【分析】A：根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可；B：根据复数的共轭复数的定义进行判断即可；C，D：根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确；复数，所以复数，故B正确；设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径，表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即. 而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误．故选：ABC．  三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知复数，则_____________.【答案】【分析】利用复数减法的运算可得答案【详解】因为，所以故答案为：−1−2i 14.在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________.【答案】【分析】利用复数的几何意义，由求解.【详解】因为向量，对应的复数分别是，，所以故答案为： 15.若且，则最大值是_______________.【答案】3【分析】先分析出z的轨迹可看成圆，根据几何法可以得到表示圆上的点到原点的距离，即可求出最大值.【详解】的几何意义为复平面动点到定点距离为1的点的轨迹，可看成圆，表示圆上的点到原点的距离，所以最大值为圆O1到原点距离加上半径1，即 .故答案为：3. 16.复数，，则复数的模的最大值为________.【答案】先求，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值.【详解】由题意可得，，因为，故的最大值为.故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.设复数，满足.（1）若_________________，求，；（2）若，求.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）【分析】任选一项，利用复数的模长及复数相等得解由已知条件不妨设不妨设得解.【详解】选①，设所以联解得或②，设所以联解得或③，设所以联解得 若，不妨设所以，联解得         18.（12分）根据复数加法的几何意义，证明：．【答案】证明见解析.【分析】设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,分复数，有一个为0，或者均为0，向量，不是零向量且共线以及向量，不是零向量且不共线三种情况分类讨论即可证出结论.【详解】设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,若复数，有一个为0，或者均为0，不等式显然成立；若向量，不是零向量且共线时，显然成立，不等式左侧在两向量共线反向时等号成立，不等式右侧在两向量共线同向时等号成立；若向量，不是零向量且不共线时，如图：由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得成立.综上：. 19.（12分）已知复数，其中，求的最小值.【答案】由题可得,利用,可将转化为关于的函数,进而求解即可【详解】因为,,所以,因为,所以,所以,所以当时, 20.（12分）已知复数，，．（1）求实数的值；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求得，再由虚部为求解实数的值；（2）数形结合求解的取值范围.【详解】（1）因为，，所以．又因为，所以，解得或．又因为，所以．（2）由（1）知，设，由，所以，得，而，∴，∴，故．∴，∵，∴，故．21.（12分）设关于复数x的方程.（1）若，，，求复数x；（2）设，，如果，且方程有实根，求复数a.【答案】（1）；（2）或.【分析】(1)把给定值代入方程，利用配方法解方程即得；(2)设出复数a的代数形式并代入方程，化简整理，借助复数为0列式，结合进行分析求解即得.【详解】（1）若，，，则原方程为，即，解得，所以复数；（2）由已知可得，原方程为，设，且方程的实根为，而，即，又，整理得，因，从而得，若，则，解得，当时，方程无实数解，当时，方程有实数解，于是得，若，则由可知：或2，由方程知：，则有，代入得：，解得，又因，即得，于是有，综上，复数或.  22.（12分）证明等式，对任意复数都成立，并给出这个等式的一个几何意义.【答案】证明见解析；几何意义:平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.设出,根据复数的加减运算表示出,进而由复数模的定义求得与,即可证明相等.其几何意义可根据复数的几何意义判断.【详解】证明：设,则由复数模的定义可得所以几何意义：平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.