2021学年7.3* 复数的三角表示课时训练
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7.3 复数的三角表示式及运算 本节课知识点目录:1、复数的代数式化三角表示式;2、复数的三角表示式化代数形式。3、复数乘法的三角形式运算4、复数除法的三角形式5、复数的辐角6、复数的辐角主值7、探究与发现:地墨菲定理8、复数三角形式的综合应用9、联考与联赛题选 一、复数的代数式化三角表示式复数的三角式:z=r(cosθ+isinθ)特征:(1).r≥0;(2).相同角θ,θ为辐角但不一定是辐角主值;(3).cosθ与isinθ之间用“+”号连接. 【典型例题】【例1】将下列复数化为三角形式:(1);(2);(3);(4). 【例2】把下列复数化为三角形式:-3,. 【例3】把下列复数表示成三角形式,并画出与它们对应的向量.(1)(2)(3)(4)(5)2(6)(7)2i(8) 【例4】利用,,把复数表示成三角形式. 【例5】下列复数是不是三角形式?如果不是,把它们表示成三角形式.(1);(2);(3);(4). 【例6】下列复数是不是三角形式?如果不是,把它们表示成三角形式.(1); (2). 【例7】复数的三角形式为( )A. B.C. D. 【对点实战】1.把下列复数表示成三角形式;(1)(2)(3)(4)13 2.把下列复数表示成三角形式:(1)﹣2(cosπ+isin);(2)sinicos;(3)(sin5)•(cosisin). 3.将下列复数代数式化为三角式:(1); (2). 4.复数的三角形式为( )A. B.C. D. 二、复数的三角形式化代数形式 【典型例题】【例1】分别指出下列复数的模和辐角的主值,并将复数表示成代数形式.(1)4;(2)2 【例2】把下列复数的三角形式化成代数形式.(1);(2). 【例3】将复数化成代数形式,正确的是( )A.4 B.-4 C. D. 【例4】.复数的代数形式是_____________. 【例5】将复数化为代数形式为___________ 【例6】将复数z=3化成代数形式为_____;|z|=_____. 三、复数乘法的三角形式 复数乘法运算三角表示的几何意义:复数z1,z2对应的向量为,,把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,得到向量,表示的复数就是积z1z2. 【典型例题】【例1】______________. 【例2】如图,向量与复数对应,把按逆时针方向旋转120°,得到.求向量对应的复数(用代数形式表示). 【例3】将复数对应的向量按顺时针方向旋转,求所得向量对应的复数. 【例4】求证:(1)(2) 【对点实战】1.在复平面内,把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,求与所得的向量对应的复数(用代数形式表示). 2.计算:(1);(2);(3);(4). 3.已知z1=,z2=6cos+isin,计算z1z2,并说明其几何意义. 四、复数除法的三角形式复数除法运算三角表示的几何意义:复数z1,z2对应的向量为,,把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2,再把它的模变为原来的,得到向量,表示的复数就是商. 【典型例题】【例1】______. 【例2】_______________. 【例3】_______________. 【例4】复数z的辐角,则对应的点位于第______象限. 【例5】若,且为负实数,则复数__________. 【对点实战】1.化简:(1)(2) 2.计算:(1)(2)(3)(4) 3.求证:. 五、复数的辐角辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边,以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角,显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角,因而一个复数的辐角主值只有一个.θ=2kπ+arg z,k∈Z. 【典型例题】【例1】求复数的模与辐角. 【例2】复数的一个幅角为( )A. B. C. D. 【例3】“复数的模与辐角分别相等”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例4】若复数的辐角为,的辐角为,则______. 【例5】把复数3-i对应向量按顺时针方向旋转π,所得向量对应复数为( )A.2 B.-2iC.-3-i D.3-i 【例6】设复数在复平面上对应的向量为,将绕原点逆时针旋转个角后得到向量,向量所对应的复数为,若,则自然数的最小数值为___________ 【例7】已知复数的辐角为,的辐角为,则复数等于( )A. B. C. D. 六、辐角的主值 规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作arg z,即0≤arg z<2π.【典型例题】【例1】任意复数(、,为虚数单位)都可以写成的形式,其中该形式为复数的三角形式,其中称为复数的辐角主值.若复数,则的辐角主值为( )A. B. C. D. 【例2】已知复数则( )A. B. C. D. 【例3】.求下列复数的模与辐角主值:(1)(2)(3)(4) 【例4】已知(1)当为何值时,取得最大值,并求此最大值;(2)若,求(用表示).注:是辐角主值. 【例5】求复数的模与辐角主值. 【例6】已知复数和的辐角主值分别为、,则等于( )A. B. C. D.1 【例7】设复数z的辐角是,实部是-2,则z=________. 【例8】设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i则argz1+argz2+argz3=( )A. B.C. D. 【对点实战】1.画出下列复数所对应的向量,并用三角形式表示(辐角取主值):(1)4;(2)﹣2i;(3)﹣2+2i;(4).2.已知复数,求复数的辐角主值. 3.复数的辐角主值为A. B. C. D. 4.当实数m=________时,复数(m2-m-2)+(2m2-3m-2)i的辐角主值是π. 5.已知复数满足,且,则的三角形式为__________. 6.复数的辐角主值为__________. 7.如果非零复数有一个辐角为,那么该复数的( )A.辐角唯一 B.辐角主值唯一C.辐角主值为 D.辐角主值为 七、探究与发现:棣莫弗定理棣莫佛定理:复数的n(n∈N*)次幂的模等于这个复数的模的n次幂,它的辐角等于这个复数的辐角的n倍.即[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ) 【典型例题】【例1】棣莫弗定理:若两个复数,,则,已知,,则的值为( )A. B. C. D. 【例2】已知:棣莫弗公式(为虚数单位),则复数在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 【例3】已知复数满足且,则的值为( )A. B. C. D.【例4】,则__________. 【例5】已知复数,若(,且),则的最小值为__________. 【例6】复数是方程的一个根,那么的值等于________. 【例7】设是正整数,分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与.若存在,当取遍集合中的元素时,所得的不同取值个数有5个,则的值可以是( )A.6 B.5 C.4 D.3 【对点实战】÷()=_____. 2.复数经过次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,求的值. 在复数范围内,验证,,1,2,…,为方程的n个根,并给出几何解释. 八、复数三角形式的综合应用【典型例题】【例1】利用复数证明余弦定理. 【例2】在复平面内,设为坐标原点,点所对应的复数分别为,且的辐角主值分别为,模长均为1.若的重心对应的复数为,求. 【例3】已知复数满足,则的最大值为( )A. B. C. D. 【例4】已知复数满足,则的最大值是__________. 【例5】设复数,满足,,则__________. 【例6】已知,,其中,且,,求的值. 【例7】已知,且,若.(1)求复数的三角形式,并且复数的辐角主值;(2)求. 【例8】如图,若与分别表示复数Z1=1+2i,Z2=7+i,求,并判断的形状. 【例9】已知是实数,是非零复数,且满足,.(1)求;(2)设,若,求的值. 九、联赛、联考与自主招生题选【例1】对任意三个模长小于1的复数,,,均有恒成立,则实数的最小可能值是______.上海市高三数学竞赛试题 【例2】已知复数列,,…,,…满足,,,,n=1,2,...则在圆的内部所含有的的个数是______________.全国高中数学联赛广西赛区初赛试题 【例3】复数,满足,,则______.2021年浙江省数学夏令营测试题
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