必修 第二册8.1 基本立体图形达标测试

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8.1基本立体图形
-----典例精讲

本节课知识点目录：
1、 棱柱的概念和结构特征；
2、 棱锥的概念和结构特征。
3、 棱台的概念和结构特征
4、 圆柱的概念和结构特征
5、 圆锥的概念和结构特征
6、 圆台的概念和结构特征
7、 球的概念和结构特征
8、 简单组合体的结构特征
9、 空间几何体的面展开
10、 表面最短距离

一、棱柱的结构特征
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
【典型例题】
【例1】下列命题正确的是（       ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形

【例2】下列关于棱柱的说法中不正确的是（       ）
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行

【例3】看图阅读：

底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体（parallelopiped），侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体（rightparallelopiped），底面是矩形的直平行六面体叫作长方体（cuboid），棱长相等的长方体叫作正方体（cube）．
根据上述定义，试说明四棱柱集合、平行六面体集合、直平行六面体集合、长方体集合、正方体集合之间有怎样的包含关系，并用Venn图直观地表示这种关系．

【例4】如图所示的几何体中棱柱的个数为（       ）


A．1 B．2
C．3 D．4

【例5】如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（       ）

A．2 B．1 C．高 D．考

【例6】下列关于棱柱的说法正确的个数是（       ）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.
A． B． C． D．

【例7】如图，三棱柱被平面截成两个几何体Ⅰ、Ⅱ，且平面平面，则（       ）

A．Ⅰ是棱柱，Ⅱ不是棱柱 B．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ是棱柱
C．Ⅰ是棱柱，Ⅱ是棱柱 D．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ不是棱柱

【例8】用平行于棱柱侧棱的一个平面去截棱柱，所得的截面是_______.



【对点实战】
1.下列说法中正确的是（       ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行

2.下列几何体中，顶点总数最多的是（       ）
A．三棱柱 B．四面体
C．六棱锥 D．四棱柱

3.侧面都是矩形的棱柱一定是（       ）
A．长方体 B．三棱柱 C．直平行六面体 D．直棱柱

4.以下各种情况中，是长方体的是（       ）
A．直平行六面体 B．侧面是矩形的四棱柱
C．底面是矩形的平行六面体 D．底面是矩形的直棱柱

5.下列命题正确的是（       ）
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．由六个大小一样的正方形组成的图形是正方体的展开图
D．棱柱的侧棱总与底面垂直

6.下面的几何体中棱柱有（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

7.下列关于棱柱的命题中，真命题的个数是（          ）
①同一棱柱的侧棱平行且相等；
②一个棱柱至少有5个面；
③当棱柱的底面是正多边形时，该棱柱一定是正棱柱；
④当棱柱的底面是等腰梯形时，该棱柱一定是平行六面体.
A．1 B．2 C．3 D．4

8.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是（       ）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）


二、棱锥的结构特征
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
【典型例题】
【例1】棱锥的侧面和底面可以都是
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形


【例2】对于棱锥，下列叙述正确的是
A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面
C．六棱锥共有六个顶点 D．任何棱锥都只有一个底面


【例3】在四棱锥的4个侧面中，直角三角形最多可有________个；在四面体的4个面中，直角三角形最多可有________个．


【例4】．如图，有三个三棱锥，，，你能将它们组合成一个三棱柱吗？试一试．



【例5】如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（       ）

A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱柱 D．平行六面体

【例6】一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（       ）
A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形
B．各个面都是正三角形
C．三个侧面是全等的等腰三角形
D．顶点在底面上的射影为重心


【例7】下列结论正确的是（       ）
A．存在这样的四面体，四个面都是直角三角形
B．存在这样的四面体，
C．存在不共面的四点､､､，使
D．存在不共面的四点､､､，使



【例8】《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点、以正八棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则这样的阳马的个数是（       ）

A．48 B．32 C．24 D．8



【对点实战】
1.下面图形中，为棱锥的是（       ）

A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②
2.三棱锥的四个面中可以作为底面的有       （       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.在如图所示的长方体中，以为顶点所构成的几何体是

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱

4.请从正方体的个顶点中，找出个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的个面都是正三角形，则这个点可以是___________.（只需写出一组）


5.底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥
A．一定是正三棱锥 B．一定是正四面体 C．不是斜三棱锥 D．可能是斜三棱锥

6.棱锥侧面是有公共顶点的三角形，能围成一个棱锥侧面的正三角形的个数的最大值是（       ）
A． B． C． D．

7.在下面四个平面图形中，各侧棱都相等的四面体的展开图是_____(把你认为正确的序号都填上). 


8.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．（填序号）
①三角形；②四边形；③五边形．
北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 第六章 立体几何初步 �1 基本立体图形 1.1 构成空间


三、棱台的结构特征
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
【典型例题】
【例1】棱台不具备的特点是（       ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点


【例2】某简单多面体共有12条棱，则该多面体可以是（       ）
A．四棱台 B．五棱锥 C．三棱柱 D．五棱台

【例3】下列关于棱台的说法，不正确的是（       ）
A．所有的侧棱交于一点 B．只有两个面互相平行
C．上下两个底面全等 D．所有的侧面不存在两个面互相平行

【例4】如图所示的是一个三棱台ABC－A1B1C1，

（1）如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是________________．
（2）如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是__________．


【例5】下面有关棱台说法中，正确的是（       ）
A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台 B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等 D．楼台的上下底面可能不是相似图形

【例6】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（       ）

A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦

【例7】下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.

【对点实战】
1.下面四个几何体中，是棱台的是（       ）
A． B． C． D．

2.某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（       ）
A．五棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．四棱台

3.关于棱台，下列说法正确的是（       ）
A．两底面可以不相似 B．侧面都是全等的梯形
C．侧棱长一定相等 D．侧棱延长后交于一点

4.有下列三个说法：①两个互相平行的面是正方形，其余各面都是四边形的几何体一定是棱台；②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有
A．0 B．1 C．2个 D．3个

5.下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)


6.下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④棱台的各侧棱延长后必交于一点；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

7.下列几何体中是棱台的有________（填序号）.


8.写出棱台中任意两条侧棱的位置关系.



四、圆柱的结构特征
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
【典型例题】
【例1】下列关于圆柱的说法中，不正确的是（       ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆柱

【例2】给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4

【例3】．用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（       ）

A． B． C． D．

【例4】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（       ）
A．棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体

【例5】用长为3、宽为2的矩形做侧面，围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为______.


【例6】下列命题中是假命题的是（       ）
A．圆柱的任意两条母线平行 B．棱台各侧棱的延长线交于一点
C．经过圆锥侧面上一点，有无数条母线 D．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱



【对点实战】
1.圆柱的母线长为10，则其高等于（       ）
A．5 B．10 C．20 D．不确定

2.给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确的是（       ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④

3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面（过圆柱的轴作截面）的面积为（       ）
A．2π B．π C．2 D．1

4.下列几何体中为圆柱的是（   ）
A． B． C． D．

5.一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是______.
第2课时 课中 基本立体图形-圆柱、圆锥、圆台、球


五、圆锥的结构特征
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
【典型例题】
【例1】用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（       ）
A．椭圆 B．圆 C．三角形 D．矩形

【例2】下列说法中正确的是
A．圆锥的轴截面是等边三角形
B．用一个平面去截棱锥,一定会得到一个棱锥和一个棱台
C．有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥


【例3】如图所示的简单组合体的组成是（       ）

A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱

【例4】底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为（       ）
A． B．
C． D．

【对点实战】
1.圆锥的高与底面半径相等，母线等于，则底面半径等于________.

2.圆锥的母线有（       ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条

3.一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体的名称是
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．圆柱的一部分

4.如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的高为___________.


六、圆台的结构特征
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
【典型例题】
【例1】有下列命题：
①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．
其中正确的有（       ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【例2】有以下命题：
①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台
②棱台的两个底面一定是相似多边形
③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
其中的正确命题的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4


【例3】已知一个圆台的上下底半径分别为，截得圆台的圆锥母线长为，则这个圆台的母线长为_______．


【例4】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（       ）

A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④是棱柱


【例5】关于下列几何体，说法正确的是（       ）


A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥 C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台

【例6】若圆台的母线与高的夹角为，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.


【对点实战】
1.下列说法正确的是（       ）
①棱柱的侧棱都相等；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；
③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
④通过圆台侧面上一点有无数条母线．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④

2.．以下命题中真命题的序号是（       ）
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台
A．③ B．①② C．① D．①

3.以下空间几何体是旋转体的是（       ）
A．圆台 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥



七、球的结构特征
1．概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．
2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
【典型例题】
【例1】有下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③半圆绕直径所在直线旋转后形成的几何体是球．
其中正确说法的序号是_____________．

【例2】用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（       ）
A．圆柱 B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体


【例3】给出下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点的连线段；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示．其中说法正确的是_____．



【例4】若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（       ）
A． B． C． D．

【例5】已知球的半径为1，、为球上的任意两点，则、两点的球面距离的最大值为（       ）
A．2 B． C． D．

【例6】一平面截球O得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则球的半径是(　　)
A． B． C． D．



【例7】已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.


【对点实战】
1.下列命题正确的是(       )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
A．①②③ B．②③④
C．②③⑤ D．①④⑤

2.在半径为1的球面上，若A，B两点的球面距离为，则线段AB的长|AB|＝_____．


3.若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（       ）
A．4π B．π C．2π D．π


八、简单组合体的结构特征
【典型例题】
【例1】如图所示的组合体，其结构特征是

A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的

【例2】在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是
A．圆面 B．矩形面
C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面

【例3】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（       ）

A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤

【例4】如图所示的几何体的结构特征是____________.


【例5】如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（       ）

A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个棱柱

【例6】如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是

A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱

【例7】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（       ）
A． B． C． D．



【例8】按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图，各写出一种分割方法即可).

（1）一个三棱柱和一个多面体;
（2）三个三棱锥.


【对点实战】
1.已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（       ）
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台

2.如图是由哪个平面图形旋转得到的（       ）

A． B．
C． D．

3.如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（       ）

A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台

4.如图的组合体是由（       ）组合而成.

A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱
C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱


5.指出下图中的几何体分别由哪些简单几何体组成．


6.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积.



九、空间几何体的侧面展开图
【典型例题】
【例1】圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（       ）

A． B． C． D．

【例2】某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（       ）

A．乐、新、快 B．快、新、乐
C．新、快、乐 D．乐、快、新

【例3】下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（       ）
A． B． C． D．


十、表面最短距离
【典型例题】
【例1】小蚂蚁的家住在长方体的A处，小蚂蚁的奶奶家住在处，三条棱长分别是，，，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短距离是（       ）
A．5 B．7 C． D．


【例2】如图为一个组合体，底座为一个长方体，凸起部分由一小长方体和一个半圆柱组成，一只小蚂蚁从点出发，沿几何体表面爬行，首先到达点，然后沿凸起部分的表面到达点，则小蚂蚁走过的最短距离为（       ）

A． B．
C． D．

【例3】第24届冬奥会将于2022年在中国北京举办，单板滑雪的U型场地近似为圆柱体的一部分（如图），现一名运动员从顶端A点滑行到另一顶端B点，则滑行的最短距离约为（       ）

（注：，）
A． B．
C． D．


【例4】如图，在正三棱锥P-ABC中，，PA=PB=PC=4，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（       ）

A． B． C． D．

【例5】如图，底面为正方形的四棱锥中，四条侧棱相等，且，，分别为棱和上的两点，，，处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到处，则蚂蚁爬行的最短距离为（       ）

A． B． C． D．9


【例6】．设球的半径为1，，，是球面上三点，已知到，两点的球面距离都是，且平面平面，则从点沿球面经，两点再回到点的最短距离是（       ）

A． B． C． D．


【例7】如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，点为长方体的一个顶点，点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从点到点的最短距离为（       ）

A． B． C． D．









结束