新高考高中数学二轮复习专题二三角函数、解三角形导学案+PPT课件

第2讲　三角恒等变换与解三角形——小题备考

微专题1　三角函数求值

『常考常用结论』

1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.

3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

(2)cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.

(3)tan (α±β)＝.

5．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α.

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)tan2α＝.

6．常用公式

(1)降幂扩角公式：cos2α＝，sin2α＝.

(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

(3)公式变形：tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan α·tan β)．

(4)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，

其中sin φ＝，cos φ＝

『保分题组训练』

1．[2021·山东青岛一模]已知角θ终边上有一点P，则cos θ的值为(　　)

A．       B．－

C．－    D．

2．[2021·山东德州一模]已知sin α＝sin ，则cos 的值为(　　)

A．      B．－

C．    D．－

3．[2021·河北沧州二模]若cos ＝，则sin ＝________．

4．[2021·福州二模]已知tan (π－α)＝－，则sin 2α的值为________．

『提分题组训练』

1．已知sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，则α＋β为(　　)

A．    B．或

C．    D．

2．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos 72°，则＝(　　)

A．2　    B．1

C．    D．

3．已知θ∈，1＋sin2θ－cos 2θ＝sin θ，则sin 2θ＝(　　)

A．－    B．

C．－    D．

4．已知sin α－cos α＝－，则cos 2α＝________．

微专题2　利用正弦、余弦定理解三角形

『常考常用结论』

1．正弦定理及其变形

在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2R sin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．

2．余弦定理及其变形

在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A；

变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝.

3．三角形面积公式

S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B．

4．三角形中的有关结论

(1)sin A＝sin (B＋C)，cos A＝－cos (B＋C)；

(2)A>B⇔sin A>sin B ，cos A<cos B．

『保分题组训练』

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，c＝，则C＝(　　)

A．    B．

C．    D．

2．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且a＝3，b＝，∠B＝45°，则∠A等于(　　)

A．60°          B．120°

C．60°或120°    D．135°

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B·sin C＝sin 2A，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰且非等边三角形    B．直角三角形

C．等边三角形            D．等腰直角三角形

4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则cos A＝________．

『提分题组训练』

1．[2021·山东省实验中学模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C＝(　　)

A．　　　　B．　　　　C．－　　　D．－

2．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋bc，则(　　)

A．sin 2A－sin 2B＝sin B sin C   

B．c＝b

C．A＝B   

D．△ABC可能为锐角三角形

3．[2021·山东潍坊一模]某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB＝__________．

微专题3　与三角形有关的最值(范围)问题

『提分题组训练』

1．[2021·山东省潍坊学情调研]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，b＝2，则△ABC面积的最大值是(　　)

A．1　　　B．

C．2　    D．4

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差，b＝1，则a＋c的取值范围是(　　)

A．     B．

C．    D．

3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b＝2a sin B，则cos B＋sin C的取值范围为________．

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2c－a)sin C＝(b2＋c2－a2)，且b＝2，则△ABC周长的取值范围为________．

第2讲　三角恒等变换与解三角形

微专题1　三角函数求值

保分题组训练

1．解析：因为角θ终边上有一点P，

所以可得r＝ ＝＝2，

所以cosθ＝＝.

故选D.

答案：D

2．解析：∵sin α＝sin ，

∴sin α＝sin α＋cos α＋，

∴sin α－cos α＝，即－cos ＝，

∴cos ＝－.

故选B.

答案：B

3．解析：因为2α＋＝2，则sin ＝cos 2＝2cos 2－1＝－.

答案：－

4．解析：因tan (π－α)＝－，则tan α＝，

sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.

答案：

提分题组训练

1．解析：∵sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，∴cos α＝，cos β＝，∴cos (α＋β)＝＝，又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.

故选A.

答案：A

2．解析：∵a＝2cos 72°，∴a2＝4cos272°，

可得4－a2＝4－4cos272°＝4sin272°，

∴＝2sin72°，

a＝2cos 72°·2sin 72°＝2sin 144°＝2sin 36°，

∴＝＝＝.

故选C.

答案：C

3．解析：∵1－cos 2θ＋sin 2θ＝sin θ

∴2sin 2θ＋2sin θcos θ＝sin θ，因为θ∈，所以sin θ≠0，

即：sin θ＋cos θ＝，则2＝⇒sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝，

∴sin 2θ＝－.

故选A.

答案：A

4．解析：∵sin α－cos α＝－，

∴(sin α－cos α)2＝，即1－2sin αcos α＝，

∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－，

∴cos 2α＝± ＝±＝±.

答案：±

微专题2　利用正弦、余弦定理解三角形

保分题组训练

1．解析：由余弦定理得cos C＝＝＝－，

∵C∈，∴C＝.

故选D.

答案：D

2．解析：∵a＝3，b＝，∠B＝45°，由正弦定理得sin A＝＝＝，

∵a>b，∴A>B，∴45°<A<180°，∴A＝60°或A＝120°.

故选C.

答案：C

3．解析：根据余弦定理可知cos A＝＝，因为0°<A<180°，所以A＝60°，

根据正弦定理可知sin B sin C＝sin 2A⇔bc＝a2，

所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc⇔2＝0，所以b＝c，

则△ABC的形状是等边三角形．

故选C.

答案：C

4．解析：∵S△ABC＝bc sin A＝，∴sin A＝＝cos A，∴tan A＝，又A∈，tan A>0，∴A∈，∴cos A＝.

答案：

提分题组训练

1．解析：△ABC中，∵S△ABC＝ab·sin C，由余弦定理：c2＝a2＋b2－2ab cos C，

且2S＝(a＋b)2－c2，∴ab sin C＝(a＋b)2－(a2＋b2－2ab cos C)，

整理得sin C－2cos C＝2，∴(sin C－2cos C)2＝4.

∴＝4，化简可得3tan2C＋4tanC＝0.

∵C∈(0，π)，∴tan C＝－，

故选C.

答案：C

2．解析：因为a2＝b2＋bc，由正弦定理可得，sin2A＝sin2B＋sinB sin C，即A正确；

又由a2＝b2＋bc＝b2＋c2－2bc cos A可得b＝c－2b cos A，即c＝b，所以B正确；由b＝c－2b cos A可得sin B＝sin －2sin B cos A＝sin A cos B－sin B cos A＝sin ，所以A＝2B或B＋A－B＝π(舍)，故C不正确；

由上推导可知，A＝2B⇔a2＝b2＋bc，所以△ABC可能为锐角三角形，如：A＝80°，B＝40°，C＝60°，所以D正确．

故选ABD.

答案：ABD

3．解析：设∠ABO＝θ，则AB＝20cos θ，PB＝10cos θ，

故OP2＝100＋100cos2θ－2×10×10cosθcos (60°＋θ)＝100＋50sin 2θ，

故当2θ＝时，OP取最大值，此时∠AOB＝.

答案：

微专题3　与三角形有关的最值(范围)问题

提分题组训练

1．解析：由题意知B＝60°，由余弦定理，4＝a2＋c2－ac，故ac＝a2＋c2－4≥2ac－4，有ac≤4，故S△ABC＝ac sin B≤.

故选B.

答案：B

2．解析：在△ABC中，由A，B，C成等差，可得2B＝A＋C，

由A＋B＋C＝π，得3B＝π，B＝.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，

可得1＝a2＋c2－2ac·cos ，即1＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，

则(a＋c)2－1＝3ac≤(a＋c)2，解得－2≤a＋c≤2.又a＋c>b＝1.

∴a＋c的取值范围是(1，2].

故选A.

答案：A

3．解析：依题意b＝2a sin B，由正弦定理得sin B＝2sin A sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝，

由于三角形ABC是锐角三角形，所以A＝.由，可得<B<，

所以cos B＋sin C＝cos B＋sin ＝cos B＋cos B＋sin B＝cos B＋sin B＝sin ，

由于<B＋<，所以sin ∈，所以sin ∈.

答案：

4．解析：∵(2c－a)sin C＝(b2＋c2－a2)，

∴由正弦定理可得：(2c－a)c＝b2＋c2－a2＝2bc cos A，

∴可得：2c－a＝2b cos A，可得：cos A＝，

∴由余弦定理可得：cos A＝＝，整理可得：c2＋a2－b2＝ac，

∴cos B＝＝＝，

∵B∈(0，π)，可得：B＝，且b＝2，

∴由正弦定理＝＝＝4，可得：a＝4sin A，c＝4sin C＝4sin ，

∴△ABC周长L＝b＋a＋c＝2＋4sin A＋4sin ＝2＋4sin A＋4

＝4sin (A＋)＋2，

∵A∈，A＋∈，sin ∈，

∴△ABC周长L＝4sin ＋2∈(4，6].

答案：(4，6].