高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算备课课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算备课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了提示可以可以，知识梳理，∠AOB，a⊥b，注意点，反思感悟，a·b＝0，λa·b，b·a，a·c＋b·c等内容，欢迎下载使用。

1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
　　同学们，上节课，我们体会了用类比的思想把平面中向量的加法、减法以及数乘运算推广到了空间中的线性运算，我们知道以上三种运算的结果仍是一个向量，其性质没有变化，而我们平面中还有两个向量的数量积的运算，显然，本节课的关键词仍是“类比”.
空间向量的夹角及数量积的概念
问题　空间中任意两个向量可以平移到同一起点吗？此时两个向量所形成的角可以找到吗？
1.两个向量的夹角(1)定义：给定两个非零向量a，b，任意在平面内选定一点O，作 则大小在[0，π]内的 称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.(2)如果〈a，b〉＝ ，则称向量a与向量b　　 ，记作 .(3)约定，零向量与任意向量都垂直.2.空间向量的数量积定义：已知两个非零向量a，b，则 称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
|a||b|cs〈a，b〉
(1)数量积必须是点乘，其结果是一个实数.(2)当两个向量的夹角θ为锐角时，a·b>0，但当a·b>0时，夹角θ不一定为锐角，因为θ可能为0.(3)当两个向量的夹角θ为钝角时，a·b<0，但当a·b<0时，夹角θ不一定为钝角，因为θ可能为π.(4)找两个向量夹角时，起点必须相同.
(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.
∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥C1B，
∵△A1BD为等边三角形，
找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π].
在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则的夹角为A.30° B.60° C.120° D.150°
＝180°－60°＝120°.
空间向量的数量积的性质
1.投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量 称为a在直线l(或平面α)上的投影.a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的 .
2.空间向量数量积的性质已知a，b，c为非零向量.(1)a⊥b⇔ .(2)a·a＝ ＝a2.(3)|a·b|≤|a||b|.(4)(λa)·b＝ .(5)a·b＝ (交换律).(6)(a＋b)·c＝ (分配律).
(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量.(2)投影的数量|a|cs θ(θ为a与b的夹角).
如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
＝cs 60°－cs 60°＝0.
(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算.(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.
已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心.求：
取AB的中点E，∴O1E⊥AB，
空间向量数量积的简单应用
(1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为A.－6 B.6 C.3 D.－3
由a⊥b，得a·b＝0，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.
(2)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝ ，a·b＝－2，则〈a，b〉＝_____.
∵a·b＝|a||b|cs〈a，b〉，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
(3)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝____.
∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，则a2＋2a·b＋b2＝576，∴2a·b＝576－132－192＝46.又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22.
利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.(a，b为非零向量)(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)cs〈a，b〉＝ .(3)|a|2＝a2.
(1)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于A.1 B.2 C.4 D.5
|c|2＝c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋0＋22＝5.
(2)(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们互不共线，下列选项中正确的是A.(a·b)·c－(c·a)·b＝0B.|a|－|b|<|a－b|C.(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
结合向量的数量积运算律，只有BD正确.
1.知识清单： (1)空间向量的夹角及数量积的概念. (2)空间向量的投影. (3)空间向量数量积的性质.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点，向量的投影仍是一个向量.
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
2.(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD.若a·b>0，则〈a，b〉是锐角
对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，当a，b同向时，a·b>0，而〈a，b〉不是锐角.
1.已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是A.垂直 B.共线C.不垂直 D.以上都可能
由题意知|a|＝|b|，∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b).
2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于A.12 B.8＋ C.4 D.13
(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs 120°
3.已知空间向量a，b，|b|＝4，|a|＝2，〈a，b〉＝ ，则b在a上的投影的数量为A.1 B.－1 C.2 D.－2
由正四面体A－BCD的棱长为1，
5.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有
6.(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有
由数量积的定义和运算律知A，D正确.
由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，
8.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为_______.
∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
9.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，
所以〈a，b〉＝60°.
10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝4.
＝180°－∠C1DC＝135°，
又四边形CDD1C1为正方形，∴DC1⊥CD1，∴CD1⊥AB1，
11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
12.在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝ ，则〈 〉等于A.60° B.45° C.120° D.90°
13.已知空间中有AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝1，BC＝2，CD＝3，〈 〉＝60°，则A，D两点间的距离为
14.已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝ ，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________.
∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cs〈m，n〉＋|n|2＝0，
15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则 (i＝1,2，…，8)的不同值的个数为A.8 B.4C.2 D.1
16.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离.