2021-2022学年浙江省宁波市海曙区储能中学九年级（下）起始考数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年浙江省宁波市海曙区储能中学九年级（下）起始考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列事件中，属于必然事件的为(    )

A. 打开电视机，正在播放广告
B. 任意画一个三角形，它的内角和等于
C. 掷一枚硬币，正面朝上
D. 在只有红球的盒子里摸到白球

2. 如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列平面图形中不能围成正方体的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是(    )

A. 点，均在圆外 B. 点在圆外，点在圆内
C. 点在圆内，点在圆外 D. 点，均在圆内

5. 已知正方形，是的中点，是边上的一点，下列条件中不能推出与相似的是(    )

A.  B.
C. 是的中点 D. ：：

6. 函数，当与时，函数值相等，则当时，函数值等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图是某商品标牌的示意图，与等边的边相切于点，且的直径与的高相等，已知等边边长为，设与相交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在菱形中，，以点为圆心，为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，以为直径作，作直径，连结并延长至点，使，连结交于点，交于点若，则直径的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

11. 已知是锐角，则______．
12. 一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数______．
13. 已知是的二次函数，与的部分对应值如下表：

该二次函数图象向左平移______个单位，图象经过原点．

14. 如图，内接于，于点，若的半径，则的长为______．

15. 如图，中，，点、、分别在、、上，且四边是正方形．若，，，，则 ______ ．

16. 图是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为米和米如图所示，轴表示桥面，米．若两抛物线交轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    某校举行秋季运动会，甲、乙两人都报名参加短跑比赛，预赛分、、三组进行，运动员通过抽签决定分组．
    甲分到组的概率为______；
    利用树状图或列表的方法求甲、乙两人不在同一组的概率．
19. 本小题分
    如图，在的正方形网格中，网线的交点称为格点，点，，都是
    格点．已知每个小正方形的边长为．
    画出的外接圆，并求上的弧长；
    连结，在网格中画出一个格点，使得是直角三角形，且点在上．

20. 本小题分

如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为米，篮板顶端点到篮框的距离米，篮板底部支架与支架所成的角，求篮框到地面的距离．精确到米．参考数据：，，，，
 

21. 本小题分
    如果抛物线：与抛物线：的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线是的“对顶”抛物线．
    求抛物线的“对顶”抛物线的表达式；
    将抛物线的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线形成两个交点、，记平移前后两抛物线的顶点分别为、，当四边形是正方形时，求正方形的面积．
    某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线与的顶点位于轴上，那么系数与，与之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．

22. 本小题分
    如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上．
    Ⅰ若，求证：是的切线；
    Ⅱ若，，求的长．

23. 本小题分
    在“童博会”上，某影楼为了积聚人气，增加销量，将“喜洋洋”套系进行降价促销，已知这种套系的成本为元套．促销方案如下：若团购套，则可享受团购价元套．若团购每增加一套，则每套再降价元，设某团团购的数量增加了套．
    填空：该团的团购数量为______套；每套的利润为______元．用含的代数式表示
    规定一个团的团购数量不超过套，当团购数量为多少套时，影楼获得利润最大？最大利润为多少？
24. 本小题分
    如图中，，是斜边上一个动点，以为直径作交于点，与的另一个交点，连接．
    当时，
    若，求的度数；
    求证；
    当，时，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：打开电视机，可能在播广告，也可能不在播放广告，因此选项不符合题意，
任意三角形的内角和都是，因此选项B符合题意，
掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面向上，因此选项C不符合题意，
在只有红球的盒子里是摸不到白球的，因此选项D不符合题意，
故选：．
打开电视机，正在播放广告是随机事件；任意画一个三角形，它的内角和等于是必然事件；掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；在只有红球的盒子里摸到白球是不可能事件，综合做出判断即可．
考查随机事件的意义，三角形的内角和定理，掌握必然事件，不可能事件，随机事件的意义是正确判断的前提．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义．
根据锐角三角函数的定义逐项分析判断，即可解答．
【解答】
解：在中，，，
，
在中，，
又，则，
，
则，
综上，只有不正确
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查了正方体展开图，熟记展开图常见的种形式与不能围成正方体的常见形式“一线不过四，田凹应弃之”是解题的关键．根据常见的正方体展开图的种形式以及不能围成正方体的展开图解答即可．
【解答】
解：根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”，
只有选项不能围成正方体．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：如图，
四边形为矩形，
，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
点在圆内，点在圆外．
故选：．
由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意可画出如下示意图：
，
，
∽，
故A不符合题意；
，
，
，
，
∽，
故B不符合题意；
四边形是正方形，
，．
是的中点，
：：，
即：：．
是中点，
，
没办法判定：与中各边成比例，故C符合题意；
：：，
：：，
：：：，
∽，
故D不符合题意．
故选：．
A、根据已知条件，，可判断三角形相似即可；
B、利用与互余，可推出，进而证明两三角形相似即可；
C、为中点，各边对应不成比例，从而不能判断三角形相似；
D、根据给出的比例，可推出对应边成比例，从而三角形相似．
本题考查了三角形相似，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：二次函数，当与时，函数值相等，
该函数的对称轴为直线，
和时的函数值相等，
当时，，
当时，，
故选：．
根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和对应函数值相等的自变量的值，然后即可得到当时的函数值．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出该函数的对称轴．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的内切圆与内心，作图基本作图，熟知垂直平分线的作法是解答此题的关键．
先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，根据作图过程可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．
【解答】
解：在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
由作图过程可得，
，
是等边三角形，
的内切圆半径是．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于，
为等边三角形，边长为，
的高为，即，
与相切于点，
，
又，
，
在中，，
过圆心，且，
，
．
故选：．
本题主要考查了切线的性质，等边三角形的性质和利用锐角三角函数的定义解直角三角形的有关知识，本题属于中档题．
连接，并过点作于，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的倍．已知边长为的等边三角形与等高，说明的半径为，即，又，故有，在中，可得出的长，利用垂径定理即可得出的长．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接，

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
．
故选：．
首先判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据求出阴影部分的面即可．
本题考查了菱形的性质，扇形的面积的计算，明确是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，

与是的直径，
，
四边形为矩形，
，
，且，
是的中位线，
，
设，则，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
解得负值舍去，
，
，
故选：．
连接，得四边形为矩形，得，再根据∽，得，设，则，，从而解决问题．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，证明∽是解题的关键．
 

11.【答案】． 

【解析】解：，
设的对边为，则邻边为，
斜边长，
，
故答案为：．
根据已知设的对边为，则邻边为，然后利用勾股定理求出斜边长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以这个不透明的盒子里大约有个除颜色外其他完全相同的小球．
故答案为：．
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线．
抛物线与轴另一个交点为，
抛物线与轴另一个交点为，
该二次函数图象向左平移个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移个单位，图象经过原点．
故答案为．
利用表格中的对称性得：抛物线与轴另一个交点为，可得结论．
本题考查了二次函数图象与几何变换平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的性质．
连接、，根据等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理求出，根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：连接、，

，，
，
由圆周角定理得，，
又，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，则，
所以，
，
，
∽，
：：，即：：，
解得，
，
，
，
，
．
故答案是：．
设正方形的边长为，则，则利用勾股定理表示出，再证明∽，利用相似比求出的值，则开始计算出，然后利用相似三角形的性质计算出，从而得到与的面积和．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为两个抛物线形状相同，可设：，，其中，，，分别为，，，的横坐标，
对于令，则，
所以点坐标为；
同理，对于令，则，
所以点坐标为，
因为，即，
因为米，米，米．
所以米，
所以，，，
所以，，十，
将上式代入得，
，
解得，
又因为，
所以．
故答案为：．
因为两个抛物线形状相同，可设：所在抛物线：所在抛物线：其中，，，分别为，，的横坐标，令，可以分别求出两条抛物线与轴的交点，坐标，然后根据两抛物线交轴于同一点，可以得出，然后根据已知条件，横坐标，从而得出结论．
本题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】按照实数的运算法则依次计算，注意：，．
本题需注意的知识点是：负数的绝对值是正数；任何不等于的数的次幂是．
 

18.【答案】 

【解析】解：预赛分、、三组进行，
甲分到组的概率为；
故答案为：；
如下图所示：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好分到同一组的有种，不在同一组的有种，
则甲、乙两人不在同一组的概率为：．
直接根据概率公式求解即可；
先画出树状图得出所有等情况数和甲、乙两人不在同一组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率等知识；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：如图，即为所求，
，，
弧长；

如图，点或点即为所求． 

【解析】根据网格即可画出的外接圆，利用弧长计算公式即可求上的弧长；
根据直径所对圆周角是直角即可在网格中画出一个格点，使得是直角三角形，且点在上．
本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理，三角形外接圆与外心，弧长的计算，解决本题的关键是掌握弧长计算公式．
 

20.【答案】解：延长交的延长线于，过作于，
在中，，
米，
米，
在中，，，
，
，
米．
答：篮框到地面的距离是米． 

【解析】延长交的延长线于，过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：，
顶点为，
其“对顶”抛物线的解析式为，
即；
如图，由知，，
设正方形的对角线长为，
则点，，，
在抛物线上，
，
解得或舍；
正方形的面积为；

根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线：的顶点为，
抛物线：的顶点为，
抛物线是的“对顶”抛物线，
，
，
抛物线与的顶点位于轴上，
，
，
即，． 

【解析】先求出抛物线的顶点坐标，进而得出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；
设正方形的对角线长为，得出，，，再用点在抛物线上，建立方程求出的值，即可得出结论；
先根据抛物线，的顶点相同，得出，的关系式，再由两抛物线的顶点在轴，求出，的关系，即可得出结论．
此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的关键．
 

22.【答案】解：Ⅰ连接，
为直径，
．
，
和都对着，
，
又，
，
又，
．
，
，
是的切线；
Ⅱ连接，
，
．
由Ⅰ知，
，
又，
∽，
，
即，
，，
． 

【解析】Ⅰ连接，根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
Ⅱ连接，根据圆周角定理得到根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：该团的团购数量为套；每套的利润为元，
故答案为：，；
设利润为元，由题意得，
对称轴为，
，取整数，
当时，最大为，
，
答：团购数量为套时，影楼获得利润最大，最大利润为元．
根据题意可得团购的套数和每套的利润；
设利润为元，由题意得，再根据二次函数的性质可得答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出利润与服装套数的关系是解题关键．
 

24.【答案】解：连接，如图，

是直径，
，
，
，
，
，
，
；
证明：，
，
，，
，
，，
，
；
，，
，
，
即，
，
连接，如图，

是直径，
，
，
，
∽，
，
，
是等腰三角形，分三种情况：
当时，，
，
；
当时，可知是的斜边的中线，
，
；
当时，作，则是中点，，

，
；，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，是等腰三角形，符合条件的的长为或或． 

【解析】连接，根据圆周角定理及与弧之间的关系可得，然后余角性质可得答案；
根据圆心角、弧、弦之间的关系可得，然后由等腰三角形的判定与性质可得结论；
根据勾股定理与三角形面积公式可得，连接，根据相似三角形的判定与性质可得，是等腰三角形，分三种情况进行解答．
此题是圆的综合题目，涉及了圆的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．