还剩24页未读，
继续阅读
2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校九年级（上）入学数学试卷(解析版)
展开
这是一份2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校九年级（上）入学数学试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校九年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 关于x的方程kx2-4x+4=0有实数根，k的取值范围是( )
A. k<1且k≠0 B. k<1 C. k≤1且k≠0 D. k≤1
3. 某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为( )
A. 298(1-x2)=268 B. 298(1+x)2=268
C. 298(1-2x)=268 D. 298(1-x)2=268
4. 下列说法不正确的是( )
A. 点A(-1,2)在第二象限
B. 点P(-2,-3)到y轴的距离为2
C. 若点A(a-1,a-2)在x轴上，则a=1
D. 点A(-3,2)关于原点的对称点A'的坐标是(3,-2)
5. 将二次函数y=(x+1)2-2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是
( )
A. y=(x-1)2-5 B. y=(x-1)2+1 C. y=(x+3)2+1 D. y=(x+3)2-5
6. 如果二次函数y=ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+c的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停．延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )
A. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B. 平行四边形→菱形→正方形→矩形
C. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
D. 平行四边形→正方形→菱形→矩形
8. 如图，△ABC中，∠B=35°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度(0<α<180)后得到△ADE，点E恰好落在BC上，则α=( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 不能确定
9. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB=36°，则∠OAB=( )
A. 18°
B. 54°
C. 36°
D. 72°
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO=120°，AB=4，则圆心点D的坐标是( )
A. (3,1)
B. (-3,1)
C. (-1,3)
D. (-2,23)
11. 在平面直角坐标系内，已知点A(-1,0)，点B(1,1)都在直线y=12x+12上，若抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是( )
A. a≤-2成a≥1 B. a<98或-2≤a≤1
C. 1≤a<98或a≤-2 D. -2≤a<98
12. 抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-1,0)，B(3,0)，交y轴的负半轴于C，顶点为D.下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当m≠1时，a+b
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13. 在平面直角坐标系中，点(-2,5)关于原点对称的点的坐标是______．
14. 某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按4：3：3计入总成绩，则他的总成绩为______分．
15. 二次函数y=-3x2-2的顶点坐标为______．
16. 如图，PA，PB与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，若∠C=70°，则∠P=______°.
17. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+m=0的两个实数根，且满足x12+x22=m2-6，则m的值为______．
18. 如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF.给出结论：①DE=EF；②∠CDF=45°；③若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值2.其中结论正确的是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
已知：y与x+2成正比例，且当x=1时，y=-6．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若点M(m,4)在这个函数的图象上，求m的值．
20. (本小题8.0分)
解一元二次方程：
(1)2x2-4x-1=0；
(2)x(x-1)+3(x-1)=0．
21. (本小题8.0分)
学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查，现从八、九年级各随机抽取了20名学生的调查结果(满分为100分，分数用x表示，共分成四组：A：x<85，B：85≤x<90，C：90≤x<95，D：95≤x≤100)进行整理、描述和分析，当分数不低于85分说明心理健康，下面给出部分信息．
八年级随机抽取了20名学生的分数是：
72，80，81，82，86，88，90，90，91，92，92，92，93，93，95，95，96，96，97，99．
九年级随机抽取了20名学生的分数中，A、B两组数据个数相等，B、C两组的数据是：86，88，88，89，91，91，91，92，92，93．
年级
八年级
九年级
平均数
90
89.5
中位数
a
b
健康率
80%
m%
根据以上信息，回答下列问题：
填空：(1)a=______，b=______；m=______．
(2)若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计这两个年级心理健康的学生一共有多少人？
22. (本小题8.0分)
如图，O为矩形ABCD对角线AC的中点，EF⊥AC于点O，交AD，BC于点E，F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB=2，BC=4，求AE的长．
23. (本小题8.0分)
某商家购进了A，B两种类型的冬奥吉祥物纪念品，已知5套A型纪念品与4套B型纪念品的价钱一样，2套A型纪念品与1套B型纪念品共260元．
(1)求A，B两种类型纪念品的进价；
(2)该商家准备再购进一批A，B两种纪念品，以相同的售价全部售完．设售价为p元/套，每天A型纪念品的销量为q套，且q与p之间的关系满足q=-12p+80.问：如何确定售价才能使每天A型纪念品销售利润最大？
24. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．
(1)求证：AE⊥DE；
(2)若⊙O的半径为5，CD=6，求AD的长．
25. (本小题10.0分)
如图，已知正方形OCDE中，顶点E(1,0)，抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)，直线x=t(t≠0)交x轴于点F．
(1)求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
(2)若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为：______；
(3)在直线x=t(第一象限部分)上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；
(4)点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26. (本小题10.0分)
在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b=a+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设h=ymax-ymin，则称h为y的“极差函数”(此函数为h关于a的函数)；特别的，当h=ymax-ymin为一个常数(与a无关)时，称y有“极差常函数”．
(1)判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应内画“√”，如果不是，请在对应内画“×”．( )
①y=2x (______)；
②y=-2x+2 (______)；
③y=x2(______).
(2)y关于x的一次函数y=px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h=3，求一次函数解析式；
(3)若-1+132≤a≤32，当a≤x≤b(b=a+3)时，写出函数y=ax2-bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：当k=0时，-4x+4=0，
解得：x=1；
当k≠0时，
∵关于x的方程kx2-4x+4=0有实数根，
∴(-4)2-4×4k≥0，
解得：k≤1且k≠0；
综上所述，k的取值范围是k≤1．
故选：D．
分两种情况讨论：当k=0时，当k≠0时，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意得：298(1-x)2=268，
故选：D．
根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是298(1-x)，第二次后的价格是298(1-x)2，据此即可列方程求解．
此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n(一般情况下为2)，增长后的量为b，则有表达式a(1+x)n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
4.【答案】C
【解析】解：A.点A(-1,2)在第二象限，说法正确，故本选项不合题意；
B.点P(-2,-3)到y轴的距离为2，说法正确，故本选项不合题意；
C.若点A(a-1,a-2)在x轴上，则a=2，原说法错误，故本选项符合题意；
D.点A(-3,2)关于原点的对称点A'的坐标是(3,-2)，说法正确，故本选项不合题意；
故选：C．
分别根据各个象限上的点的坐标特征、点的坐标的意义、x轴上的点的纵坐标为0、关于原点的对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此逐一判断即可．
本题考查了点的坐标以及关于原点的对称点的坐标，掌握点的坐标的意义以及关于原点对称的点的坐标变化规律是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：将二次函数y=(x+1)2-2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是y=(x+1-2)2-2-3，即y=(x-1)2-5．
故选：A．
按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∴一次函数y=ax+c的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再由一次函数的性质解答．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．用到的知识点：
二次函数y=ax2+bx+c，当a<0时，抛物线开口向下；抛物线与y轴交于(0,c)，当c>0时，与y轴交于正半轴；当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b的图象在一、二、四象限．
7.【答案】A
【解析】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：A．
根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与点B重合时是矩形．
考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠B=35°，∠BAC=70°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=75°，
∵将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度(0<α<180)后得到△ADE，点E恰好落在BC上，
∴AC=AE，∠CAE=α，
∴∠AEC=∠C=75°，
∴∠CAE=α=180°-∠AEC-∠C=30°，
故选：A．
由三角形内角和求出∠C，由旋转的性质可得△AEC是等腰三角形，从而可得旋转角α大小．
本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后对应边线段．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
∵OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∴∠OAB=12(180°-∠AOB)=54°，
故选：B．
利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO=180°，
∴∠ABO=180°-120°=60°，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∠ABO=60°，
∴OB=12AB=2，
∴OA=3OB=23
∴A(-23,0)，B(0,2)，
∴D点坐标为(-3,1)．
故选：B．
先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO=60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=2，OA=23，所以A(-23,0)，B(0,2)，然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．
11.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，
∴令12x+12=ax2-x+1，则2ax2-3x+1=0，
∴△=9-8a>0，
∴a<98．
①当a<0时，
此时函数的对称轴在y轴左侧，
当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+1=0，
解得a=-2，
故a≤-2
②当a>0时，
此时函数的对称轴在y轴右侧，
当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：a-1+1=1，
解得a=1，
即：a≥1
∴1≤a<98．
综上所述：1≤a<98或a≤-2．
故选C．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)，可知二次函数的对称轴为x=(-1)+32=1，即-b2a=1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，x=1时取得最小值，可判断③；根据图象AD=BD，结合顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从而可以判断⑤．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【解答】
解：①∵二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)．
∴二次函数的对称轴为x=(-1)+32=1，即-b2a=1，
∴2a+b=0．
故①正确；
②∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)．
∴a-b+c=0，9a+3b+c=0．
又∵b=-2a．
∴3b=-6a，a-(-2a)+c=0．
∴3b=-6a，2c=-6a．
∴2c=3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是x=1．
∴x=1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c
④∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2=42．
解得，AD2=8．
设点D坐标为(1,y)．
则[1-(-1)]2+y2=AD2．
解得y=±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为(1,-2)．
∵二次函数的顶点D为(1,-2)，过点A(-1,0)．
设二次函数解析式为y=a(x-1)2-2．
∴0=a(-1-1)2-2．
解得a=12．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．(故⑤错误)
故①③④正确，②⑤错误．
故选C．
13.【答案】(2,-5)
【解析】解：在平面直角坐标系中，点(-2,5)关于原点对称的点的坐标是(2,-5)．
故答案为：(2,-5)．
直接利用关于原点对称点的性质(关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数)得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
14.【答案】79
【解析】解：70×44+3+3+80×34+3+3+90×34+3+3=79(分)，
故答案为：79．
利用加权平均数的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的定义及计算方法．
15.【答案】(0,-2)
【解析】解：∵二次函数y=-3x2-2，
∴抛物线的顶点坐标为(0,-2)．
故答案为：(0,-2)．
利用二次函数的顶点式，可确定顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可将解析式化成顶点式，也可以用顶点坐标公式．
16.【答案】40
【解析】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠C=70°，
∴∠AOB=2∠C=140°，
∴∠P=180°-140°=40°，
故答案为：40．
连接OA、OB，根据切线的性质得到∠PAO=∠PBO=90°，进而得到∠P=180°-∠AOB，根据圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB，求出∠AOB的度数．
本题考查了切线的性质、四边形内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
17.【答案】-5
【解析】解：根据题意得Δ=32-4m≥0，
解得m≤94，
根据根与系数的关系得x1+x2=-3，x1x2=m，
∵x12+x22=m2-6，
∴(x1+x2)2-2x1x2=m2-6，
∴(-3)2-2m=m2-6，
整理得m2+2m-15=0，
解得m1=-5，m2=3，
∵m≤94，
∴m=-5．
故答案为：-5．
先利用根的判别式的意义得到m≤94，再根据根与系数的关系得x1+x2=-3，x1x2=m，接着利用x12+x22=m2-6得到(x1+x2)2-2x1x2=m2-6，所以(-3)2-2m=m2-6，然后解m的方程．从而得到满足条件的m的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
18.【答案】①②③
【解析】解：延长AE交DC的延长线于点H，如图：
∵点E是CM的中点，
∴ME=EC，
∵AB//CD，
∴∠MAE=∠H，∠AME=∠HCE，
∴△AME≌△HCE(AAS)，
∴AE=EH，
又∵∠ADH=90°，
∴DE=AE=EH，
∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴AE=DE=EF，故①正确；
∵AE=DE=EF，
∴∠DAE=∠ADE，∠EDF=∠EFD，
∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD=360°，
∴2∠ADE+2∠EDF=270°，
∴∠ADF=135°，
∴∠CDF=∠ADF-∠ADC=135°-90°=45°，故②正确；
如图，连接FC，过点C作CF'⊥DF于F'，
∵∠CDF=45°，
∴点F在DF上运动，
∴当CF⊥DF时，CF有最小值为CF'的长度，
∵CD=2，∠CDF=45°，
∴CF'=22=2，即CF有最小值为2，故③正确，
故答案为：①②③．
延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE=EH，由直角三角形的性质可得AE=EF=EH，可判断①；由四边形内角和定理可求2∠ADE+2∠EDF=270°，可得∠ADF=135°，可判断②；连接FC，过点C作CF'⊥DF于F'，由∠CDF=45°，知点F在DF上运动，即得当CF⊥DF时，CF有最小值为CF'的长度，而CF'=2，即CF有最小值为2，可判断③正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，正确作辅助线，构造全等三角形．
19.【答案】解：(1)根据题意：设y=k(x+2)，
把x=1，y=-6代入得：-6=k(1+2)，
解得：k=-2．
则y与x函数关系式为y=-2(x+2)，
即y=-2x-4；
(2)把点M(m,4)代入y=-2x-4，
得：4=-2m-4，
解得m=-4．
【解析】(1)根据题意设出函数解析式，把当x=1时，y=-6代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式；
(2)将点M(m,4)代入函数的解析式中，即可求得m的值．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)2x2-4x-1=0，
x2-2x-12=0，
x2-2x+1=1+12，
(x-1)2=32，
x-1=±62，
则x1=1-62，x2=1-62；
(2)x(x-1)+3(x-1)=0，
(x+3)(x-1)=0，
x+3=0，x-1=0，
则x1=-3，x2=1．
【解析】(1)移项、将二次项系数化为1，再利用配方法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
21.【答案】92 91 80
【解析】解：(1)八年级测试成绩的中位数a=12(92+92)=92，
九年级测试成绩的中位数b=12×(91+91)=91，
九年级测试成绩分数不低于85分的人数所占百分比为1620×100%=80%，
∴m=80，
故答案为：92；91；80；
(2)估计这两个年级心理健康的学生一共有800×80%+700×80%=1200(人)．
答：估计这两个年级心理健康的学生一共有1200人．
(1)根据中位数的定义可得a、b的值，先求出九年级测试成绩分数不低于85分的人数所占百分比可得m的值；
(2)用总人数乘以样本中两个年级的健康率即可．
本题考查了中位数以及样本估计总体，掌握中位数的定义和样本估计总体的方法是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴AO=CO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△FCO≌△EAO(AAS)，
∴CF=AE，
∵AD//BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
(2)解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=FC，
设BF=x，则AF=FC=4-x，
在Rt△ABF中，AB=2，
根据勾股定理得，AB2+BF2=AF2，
即4+x2=(4-x)2，
解得：x=1.5，
∴BF=1.5，
∴AE=FC=4-1.5=2.5．
【解析】(1)根据矩形的性质可知AD//BC，则∠AEO=∠CFO，根据对顶角相等得到∠AOE=∠COF，再根据AO=CO，证得△AOE≌△COF，得出OE=OF判定平行四边形，由AC⊥EF可得结论；
(2)根据AC⊥EF，推出四边形BEDF是菱形，得到AF=AE=FC，根据勾股定理即可得到答案．
本题考查了菱形的判定，矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
23.【答案】解：(1)设A种类型纪念品的进价是x元，B种类型纪念品的进价是y元，
根据题意得：5x=4y2x+y=260，
解得x=80y=100，
∴A种类型纪念品每套的进价是80元，B种类型纪念品每套的进价是100元；
(2)设A型纪念品每天的销售利润是w元，
w=(p-80)(-12p+80)=-12p2+120p-6400=-12(p-120)2+800，
∴p=120时，w取最大值，最大值是800元，
答：当售价为每套120元时，每天A型纪念品的销售利润最大．
【解析】(1)设A种类型纪念品的进价是x元，B种类型纪念品的进价是y元，可得：5x=4y2x+y=260，即可解得A种类型纪念品每套的进价是80元，B种类型纪念品每套的进价是100元；
(2)设A型纪念品每天的销售利润是w元，w=(p-80)(-12p+80)=-12p2+120p-6400=-12(p-120)2+800，由二次函数的性质得当售价为每套120元时，每天A型纪念品的销售利润最大．
本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
24.【答案】(1)证明：连接OA，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠OAE=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠ADE，
∴∠ADE=∠OAD，
∴OA//CE，
∴∠E=180°-∠OAE=90°，
∴AE⊥DE；
(2)解：过点O作OF⊥DC，垂足为F，
∴∠OFD=90°，
∵∠OAE=∠E=90°，
∴四边形OAEF是矩形，
∴OA=EF=5，AE=OF，
∵OF⊥CD，
∴DF=12CD=3，
∴DE=EF-DF=5-3=2，
∴OF=OD2-DF2=52-32=4，
∵AE=OF=4，
∴AD=AE2+DE2=42+22=25，
∴AD的长为25．
【解析】(1)连接OA，根据切线的性质可得∠OAE=90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得AO//DE，然后利用平行线的性质可得∠E=90°，即可解答；
(2)过点O作OF⊥DC，垂足为F，可得四边形OAEF是矩形，从而可得OA=EF=5，AE=OF，然后先利用垂径定理求出DF的长，从而去除DE的长，再在Rt△ODF中，利用勾股定理求出OF的长，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，角平分线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(12,-34)
【解析】解：(1)∵正方形OCDE中，顶点E(1,0)，
∴D(1,-1)，C(0,-1)，
∴c=-112+b+c=-1，
解得b=-12c=-1，
∴y=12x2-12x-1，
令y=0，则12x2-12x-1=0，
解得x=2或x=-1，
∴A(-1,0)，B(2,0)；
(2)∵y=12x2-12x-1=12(x-12)2-98，
∴抛物线的对称轴为x=12，
∵A、B关于对称轴对称，
∴AG=BG，
∴AG+CG=BG+CG≥BC，
∴当B、C、G三点共线时，AG+CG最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴2k+b=0b=-1，
解得k=-12b=-1，
∴y=-12x-1，
∴G(12,-34)，
故答案为：(12,-34)；
(3)∵B(2,0)，C(0,-1)，
∴BO=2，OC=1，
设P(t,m)，
∴PF=m，BF=|t-2|，
当△OBC≌△FBP时，OB=BF，CO=FP，
∴m=1，|t-2|=2，
∴t=4或t=0(舍)，
∴P(4,1)；
当△OBC≌△FPB时，BO=FP，OC=BF，
∴2=m，|t-2|=1，
∴t=3或t=-1(舍)，
∴P(3,2)；
综上所述：P点坐标为(4,1)或(3,2)；
(4)存在点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴-k+b=0b=-1，
解得k=-1b=-1，
∴y=-x-1，
设M(n,-n-1)，N(x,y)，
∵M在射线AC上，
∴n≥-1，
①当OA为菱形对角线时，OM=AM，
∴n+x=-1y-n-1=0n2+(n+1)2=2(n+1)2，
解得n=-12x=-12y=12，
∴N(-12,12)；
②当OM为菱形对角线时，OA=AM，
∴n=-1+xy=-n-11=2(n+1)2，
解得n=22-1x=22y=-22或n=-22-1x=-22y=22(舍)，
∴N(22,-22)；
③当ON为菱形的对角线时，AO=OM，
∴x=n-1y=-n-11=n2+(n+1)2，
解得n=0x=-1y=-1或n=-1x=-2y=0(舍)，
∴N(-1,-1)；
综上所述：N点坐标为(-12,12)或(22,-22)或(-1,-1)．
(1)根据正方形的性质求出D(1,-1)，C(0,-1)，再由待定系数法求函数的解析式即可；
(2)当B、C、G三点共线时，AG+CG最小，求出直线BC的解析式，即可求G点坐标；
(3)设P(t,m)，则PF=m，BF=|t-2|，当△OBC≌△FBP时，m=1，|t-2|=2，可得P(4,1)；当△OBC≌△FPB时，BO=FP，OC=BF，可得P(3,2)；
(4)求出直线AC的解析式为y=-x-1，设M(n,-n-1)，N(x,y)，分三种情况讨论：①当OA为菱形对角线时，OM=AM，可得N(-12,12)；②当OM为菱形对角线时，OA=AM，可得N(22,-22)；③当ON为菱形的对角线时，AO=OM，可得N(-1,-1)．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，轴对称求最短距离，分类讨论是解题的关键．
26.【答案】√ √ ×
【解析】解：(1)①∵y=2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，
∴h=2(a+3)-2a=6，
∴y=2x是“极差常函数”，
故答案为：√；
②∵y=-2x+2是一次函数，且y随x值的增大而减小，
∴h=-2a+2-[-2(a+3)+2]=6，
∴y=-2x+2是“极差常函数”，
故答案为：√；
∵y=x2是二次函数，函数的对称轴为直线x=0，
当a+3≤0时，h=a2-(a+3)2=-9-6a；
当a≥0时，h=(a+3)2-a2=9+6a；
∴y=x2不是“极差常函数”，
故答案为：×；
(2)当x=0时，y=q，
∴函数与y轴的交点为(0,q)，
当y=0时，x=-qp，
∴函数与x轴的交点为(-qp,0)，
∴S=12×|q|×|-qp|=1，
∴q2|p|=2，
当p>0时，h=p(a+3)+q-(pa+q)=3，
∴p=1，
∴q=±2，
∴函数的解析式为y=x±2；
当p<0时，h=pa+q-[p(a+3)+q]=3，
∴p=-1，
∴q=±2，
∴函数的解析式为y=-x±2；
综上所述：函数的解析式为y=x±2或y=-x±2；
(3)y=ax2-bx+4=a(x-b2a)2+4-b24a，
∴函数的对称轴为直线x=b2a，
∵b=a+3，
∴x=a+32a=12+32a，
∵-1+132≤a≤32，
∴32≤12+32a≤3+134，5+134≤a+3≤92，
∵a>0，a<12+32a
当x=b2a时，y有最小值4-b24a=4-(a+3)24a，
∴h=a2-a(a+3)+4-4+(a+3)24a=(a-3)24，
∴4ah=(a-3)2，
∴94≤4ah≤31-7134．
(1)①由一次函数的性质可知h=2(a+3)-2a=6，则y=2x是“极差常函数”；
②由一次函数的性质可知h=-2a+2-[-2(a+3)+2]=6，则y=-2x+2是“极差常函数”；
③由二次函数的性质可知，当a+3≤0时，h=-9-6a不是常数，则y=x2不是“极差常函数”，
(2)根据一次函数的图象及性质可得q2|p|=2，再分两种情况讨论：当p>0时，h=p(a+3)+q-(pa+q)=3；当p<0时，h=pa+q-[p(a+3)+q]=3；分别求出p、q的值即可求函数的解析式；
(3)函数的对称轴为直线x=12+32a，由a的范围确定32≤12+32a≤3+134，5+134≤a+3≤92，由此可得当x=a时，y有最大值a2-a(a+3)+4，当x=b2a时，y有最小值4-(a+3)24a，则h=(a-3)24，4ah=(a-3)2，再由a的范围确定4ah的范围即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，将“极差函数”与一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质结合解题是关键．
2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校九年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 关于x的方程kx2-4x+4=0有实数根，k的取值范围是( )
A. k<1且k≠0 B. k<1 C. k≤1且k≠0 D. k≤1
3. 某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为( )
A. 298(1-x2)=268 B. 298(1+x)2=268
C. 298(1-2x)=268 D. 298(1-x)2=268
4. 下列说法不正确的是( )
A. 点A(-1,2)在第二象限
B. 点P(-2,-3)到y轴的距离为2
C. 若点A(a-1,a-2)在x轴上，则a=1
D. 点A(-3,2)关于原点的对称点A'的坐标是(3,-2)
5. 将二次函数y=(x+1)2-2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是
( )
A. y=(x-1)2-5 B. y=(x-1)2+1 C. y=(x+3)2+1 D. y=(x+3)2-5
6. 如果二次函数y=ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+c的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停．延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )
A. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B. 平行四边形→菱形→正方形→矩形
C. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
D. 平行四边形→正方形→菱形→矩形
8. 如图，△ABC中，∠B=35°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度(0<α<180)后得到△ADE，点E恰好落在BC上，则α=( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 不能确定
9. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB=36°，则∠OAB=( )
A. 18°
B. 54°
C. 36°
D. 72°
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO=120°，AB=4，则圆心点D的坐标是( )
A. (3,1)
B. (-3,1)
C. (-1,3)
D. (-2,23)
11. 在平面直角坐标系内，已知点A(-1,0)，点B(1,1)都在直线y=12x+12上，若抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是( )
A. a≤-2成a≥1 B. a<98或-2≤a≤1
C. 1≤a<98或a≤-2 D. -2≤a<98
12. 抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-1,0)，B(3,0)，交y轴的负半轴于C，顶点为D.下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当m≠1时，a+b
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13. 在平面直角坐标系中，点(-2,5)关于原点对称的点的坐标是______．
14. 某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按4：3：3计入总成绩，则他的总成绩为______分．
15. 二次函数y=-3x2-2的顶点坐标为______．
16. 如图，PA，PB与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，若∠C=70°，则∠P=______°.
17. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+m=0的两个实数根，且满足x12+x22=m2-6，则m的值为______．
18. 如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF.给出结论：①DE=EF；②∠CDF=45°；③若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值2.其中结论正确的是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
已知：y与x+2成正比例，且当x=1时，y=-6．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若点M(m,4)在这个函数的图象上，求m的值．
20. (本小题8.0分)
解一元二次方程：
(1)2x2-4x-1=0；
(2)x(x-1)+3(x-1)=0．
21. (本小题8.0分)
学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查，现从八、九年级各随机抽取了20名学生的调查结果(满分为100分，分数用x表示，共分成四组：A：x<85，B：85≤x<90，C：90≤x<95，D：95≤x≤100)进行整理、描述和分析，当分数不低于85分说明心理健康，下面给出部分信息．
八年级随机抽取了20名学生的分数是：
72，80，81，82，86，88，90，90，91，92，92，92，93，93，95，95，96，96，97，99．
九年级随机抽取了20名学生的分数中，A、B两组数据个数相等，B、C两组的数据是：86，88，88，89，91，91，91，92，92，93．
年级
八年级
九年级
平均数
90
89.5
中位数
a
b
健康率
80%
m%
根据以上信息，回答下列问题：
填空：(1)a=______，b=______；m=______．
(2)若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计这两个年级心理健康的学生一共有多少人？
22. (本小题8.0分)
如图，O为矩形ABCD对角线AC的中点，EF⊥AC于点O，交AD，BC于点E，F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB=2，BC=4，求AE的长．
23. (本小题8.0分)
某商家购进了A，B两种类型的冬奥吉祥物纪念品，已知5套A型纪念品与4套B型纪念品的价钱一样，2套A型纪念品与1套B型纪念品共260元．
(1)求A，B两种类型纪念品的进价；
(2)该商家准备再购进一批A，B两种纪念品，以相同的售价全部售完．设售价为p元/套，每天A型纪念品的销量为q套，且q与p之间的关系满足q=-12p+80.问：如何确定售价才能使每天A型纪念品销售利润最大？
24. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．
(1)求证：AE⊥DE；
(2)若⊙O的半径为5，CD=6，求AD的长．
25. (本小题10.0分)
如图，已知正方形OCDE中，顶点E(1,0)，抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)，直线x=t(t≠0)交x轴于点F．
(1)求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
(2)若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为：______；
(3)在直线x=t(第一象限部分)上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；
(4)点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26. (本小题10.0分)
在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b=a+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设h=ymax-ymin，则称h为y的“极差函数”(此函数为h关于a的函数)；特别的，当h=ymax-ymin为一个常数(与a无关)时，称y有“极差常函数”．
(1)判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应内画“√”，如果不是，请在对应内画“×”．( )
①y=2x (______)；
②y=-2x+2 (______)；
③y=x2(______).
(2)y关于x的一次函数y=px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h=3，求一次函数解析式；
(3)若-1+132≤a≤32，当a≤x≤b(b=a+3)时，写出函数y=ax2-bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：当k=0时，-4x+4=0，
解得：x=1；
当k≠0时，
∵关于x的方程kx2-4x+4=0有实数根，
∴(-4)2-4×4k≥0，
解得：k≤1且k≠0；
综上所述，k的取值范围是k≤1．
故选：D．
分两种情况讨论：当k=0时，当k≠0时，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意得：298(1-x)2=268，
故选：D．
根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是298(1-x)，第二次后的价格是298(1-x)2，据此即可列方程求解．
此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n(一般情况下为2)，增长后的量为b，则有表达式a(1+x)n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
4.【答案】C
【解析】解：A.点A(-1,2)在第二象限，说法正确，故本选项不合题意；
B.点P(-2,-3)到y轴的距离为2，说法正确，故本选项不合题意；
C.若点A(a-1,a-2)在x轴上，则a=2，原说法错误，故本选项符合题意；
D.点A(-3,2)关于原点的对称点A'的坐标是(3,-2)，说法正确，故本选项不合题意；
故选：C．
分别根据各个象限上的点的坐标特征、点的坐标的意义、x轴上的点的纵坐标为0、关于原点的对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此逐一判断即可．
本题考查了点的坐标以及关于原点的对称点的坐标，掌握点的坐标的意义以及关于原点对称的点的坐标变化规律是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：将二次函数y=(x+1)2-2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是y=(x+1-2)2-2-3，即y=(x-1)2-5．
故选：A．
按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∴一次函数y=ax+c的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再由一次函数的性质解答．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．用到的知识点：
二次函数y=ax2+bx+c，当a<0时，抛物线开口向下；抛物线与y轴交于(0,c)，当c>0时，与y轴交于正半轴；当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b的图象在一、二、四象限．
7.【答案】A
【解析】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：A．
根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与点B重合时是矩形．
考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠B=35°，∠BAC=70°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=75°，
∵将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度(0<α<180)后得到△ADE，点E恰好落在BC上，
∴AC=AE，∠CAE=α，
∴∠AEC=∠C=75°，
∴∠CAE=α=180°-∠AEC-∠C=30°，
故选：A．
由三角形内角和求出∠C，由旋转的性质可得△AEC是等腰三角形，从而可得旋转角α大小．
本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后对应边线段．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
∵OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∴∠OAB=12(180°-∠AOB)=54°，
故选：B．
利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO=180°，
∴∠ABO=180°-120°=60°，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∠ABO=60°，
∴OB=12AB=2，
∴OA=3OB=23
∴A(-23,0)，B(0,2)，
∴D点坐标为(-3,1)．
故选：B．
先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO=60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=2，OA=23，所以A(-23,0)，B(0,2)，然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．
11.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，
∴令12x+12=ax2-x+1，则2ax2-3x+1=0，
∴△=9-8a>0，
∴a<98．
①当a<0时，
此时函数的对称轴在y轴左侧，
当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+1=0，
解得a=-2，
故a≤-2
②当a>0时，
此时函数的对称轴在y轴右侧，
当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：a-1+1=1，
解得a=1，
即：a≥1
∴1≤a<98．
综上所述：1≤a<98或a≤-2．
故选C．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)，可知二次函数的对称轴为x=(-1)+32=1，即-b2a=1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，x=1时取得最小值，可判断③；根据图象AD=BD，结合顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从而可以判断⑤．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【解答】
解：①∵二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)．
∴二次函数的对称轴为x=(-1)+32=1，即-b2a=1，
∴2a+b=0．
故①正确；
②∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)．
∴a-b+c=0，9a+3b+c=0．
又∵b=-2a．
∴3b=-6a，a-(-2a)+c=0．
∴3b=-6a，2c=-6a．
∴2c=3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是x=1．
∴x=1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c
④∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2=42．
解得，AD2=8．
设点D坐标为(1,y)．
则[1-(-1)]2+y2=AD2．
解得y=±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为(1,-2)．
∵二次函数的顶点D为(1,-2)，过点A(-1,0)．
设二次函数解析式为y=a(x-1)2-2．
∴0=a(-1-1)2-2．
解得a=12．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．(故⑤错误)
故①③④正确，②⑤错误．
故选C．
13.【答案】(2,-5)
【解析】解：在平面直角坐标系中，点(-2,5)关于原点对称的点的坐标是(2,-5)．
故答案为：(2,-5)．
直接利用关于原点对称点的性质(关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数)得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
14.【答案】79
【解析】解：70×44+3+3+80×34+3+3+90×34+3+3=79(分)，
故答案为：79．
利用加权平均数的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的定义及计算方法．
15.【答案】(0,-2)
【解析】解：∵二次函数y=-3x2-2，
∴抛物线的顶点坐标为(0,-2)．
故答案为：(0,-2)．
利用二次函数的顶点式，可确定顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可将解析式化成顶点式，也可以用顶点坐标公式．
16.【答案】40
【解析】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠C=70°，
∴∠AOB=2∠C=140°，
∴∠P=180°-140°=40°，
故答案为：40．
连接OA、OB，根据切线的性质得到∠PAO=∠PBO=90°，进而得到∠P=180°-∠AOB，根据圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB，求出∠AOB的度数．
本题考查了切线的性质、四边形内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
17.【答案】-5
【解析】解：根据题意得Δ=32-4m≥0，
解得m≤94，
根据根与系数的关系得x1+x2=-3，x1x2=m，
∵x12+x22=m2-6，
∴(x1+x2)2-2x1x2=m2-6，
∴(-3)2-2m=m2-6，
整理得m2+2m-15=0，
解得m1=-5，m2=3，
∵m≤94，
∴m=-5．
故答案为：-5．
先利用根的判别式的意义得到m≤94，再根据根与系数的关系得x1+x2=-3，x1x2=m，接着利用x12+x22=m2-6得到(x1+x2)2-2x1x2=m2-6，所以(-3)2-2m=m2-6，然后解m的方程．从而得到满足条件的m的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
18.【答案】①②③
【解析】解：延长AE交DC的延长线于点H，如图：
∵点E是CM的中点，
∴ME=EC，
∵AB//CD，
∴∠MAE=∠H，∠AME=∠HCE，
∴△AME≌△HCE(AAS)，
∴AE=EH，
又∵∠ADH=90°，
∴DE=AE=EH，
∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴AE=DE=EF，故①正确；
∵AE=DE=EF，
∴∠DAE=∠ADE，∠EDF=∠EFD，
∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD=360°，
∴2∠ADE+2∠EDF=270°，
∴∠ADF=135°，
∴∠CDF=∠ADF-∠ADC=135°-90°=45°，故②正确；
如图，连接FC，过点C作CF'⊥DF于F'，
∵∠CDF=45°，
∴点F在DF上运动，
∴当CF⊥DF时，CF有最小值为CF'的长度，
∵CD=2，∠CDF=45°，
∴CF'=22=2，即CF有最小值为2，故③正确，
故答案为：①②③．
延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE=EH，由直角三角形的性质可得AE=EF=EH，可判断①；由四边形内角和定理可求2∠ADE+2∠EDF=270°，可得∠ADF=135°，可判断②；连接FC，过点C作CF'⊥DF于F'，由∠CDF=45°，知点F在DF上运动，即得当CF⊥DF时，CF有最小值为CF'的长度，而CF'=2，即CF有最小值为2，可判断③正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，正确作辅助线，构造全等三角形．
19.【答案】解：(1)根据题意：设y=k(x+2)，
把x=1，y=-6代入得：-6=k(1+2)，
解得：k=-2．
则y与x函数关系式为y=-2(x+2)，
即y=-2x-4；
(2)把点M(m,4)代入y=-2x-4，
得：4=-2m-4，
解得m=-4．
【解析】(1)根据题意设出函数解析式，把当x=1时，y=-6代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式；
(2)将点M(m,4)代入函数的解析式中，即可求得m的值．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)2x2-4x-1=0，
x2-2x-12=0，
x2-2x+1=1+12，
(x-1)2=32，
x-1=±62，
则x1=1-62，x2=1-62；
(2)x(x-1)+3(x-1)=0，
(x+3)(x-1)=0，
x+3=0，x-1=0，
则x1=-3，x2=1．
【解析】(1)移项、将二次项系数化为1，再利用配方法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
21.【答案】92 91 80
【解析】解：(1)八年级测试成绩的中位数a=12(92+92)=92，
九年级测试成绩的中位数b=12×(91+91)=91，
九年级测试成绩分数不低于85分的人数所占百分比为1620×100%=80%，
∴m=80，
故答案为：92；91；80；
(2)估计这两个年级心理健康的学生一共有800×80%+700×80%=1200(人)．
答：估计这两个年级心理健康的学生一共有1200人．
(1)根据中位数的定义可得a、b的值，先求出九年级测试成绩分数不低于85分的人数所占百分比可得m的值；
(2)用总人数乘以样本中两个年级的健康率即可．
本题考查了中位数以及样本估计总体，掌握中位数的定义和样本估计总体的方法是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴AO=CO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△FCO≌△EAO(AAS)，
∴CF=AE，
∵AD//BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
(2)解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=FC，
设BF=x，则AF=FC=4-x，
在Rt△ABF中，AB=2，
根据勾股定理得，AB2+BF2=AF2，
即4+x2=(4-x)2，
解得：x=1.5，
∴BF=1.5，
∴AE=FC=4-1.5=2.5．
【解析】(1)根据矩形的性质可知AD//BC，则∠AEO=∠CFO，根据对顶角相等得到∠AOE=∠COF，再根据AO=CO，证得△AOE≌△COF，得出OE=OF判定平行四边形，由AC⊥EF可得结论；
(2)根据AC⊥EF，推出四边形BEDF是菱形，得到AF=AE=FC，根据勾股定理即可得到答案．
本题考查了菱形的判定，矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
23.【答案】解：(1)设A种类型纪念品的进价是x元，B种类型纪念品的进价是y元，
根据题意得：5x=4y2x+y=260，
解得x=80y=100，
∴A种类型纪念品每套的进价是80元，B种类型纪念品每套的进价是100元；
(2)设A型纪念品每天的销售利润是w元，
w=(p-80)(-12p+80)=-12p2+120p-6400=-12(p-120)2+800，
∴p=120时，w取最大值，最大值是800元，
答：当售价为每套120元时，每天A型纪念品的销售利润最大．
【解析】(1)设A种类型纪念品的进价是x元，B种类型纪念品的进价是y元，可得：5x=4y2x+y=260，即可解得A种类型纪念品每套的进价是80元，B种类型纪念品每套的进价是100元；
(2)设A型纪念品每天的销售利润是w元，w=(p-80)(-12p+80)=-12p2+120p-6400=-12(p-120)2+800，由二次函数的性质得当售价为每套120元时，每天A型纪念品的销售利润最大．
本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
24.【答案】(1)证明：连接OA，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠OAE=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠ADE，
∴∠ADE=∠OAD，
∴OA//CE，
∴∠E=180°-∠OAE=90°，
∴AE⊥DE；
(2)解：过点O作OF⊥DC，垂足为F，
∴∠OFD=90°，
∵∠OAE=∠E=90°，
∴四边形OAEF是矩形，
∴OA=EF=5，AE=OF，
∵OF⊥CD，
∴DF=12CD=3，
∴DE=EF-DF=5-3=2，
∴OF=OD2-DF2=52-32=4，
∵AE=OF=4，
∴AD=AE2+DE2=42+22=25，
∴AD的长为25．
【解析】(1)连接OA，根据切线的性质可得∠OAE=90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得AO//DE，然后利用平行线的性质可得∠E=90°，即可解答；
(2)过点O作OF⊥DC，垂足为F，可得四边形OAEF是矩形，从而可得OA=EF=5，AE=OF，然后先利用垂径定理求出DF的长，从而去除DE的长，再在Rt△ODF中，利用勾股定理求出OF的长，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，角平分线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(12,-34)
【解析】解：(1)∵正方形OCDE中，顶点E(1,0)，
∴D(1,-1)，C(0,-1)，
∴c=-112+b+c=-1，
解得b=-12c=-1，
∴y=12x2-12x-1，
令y=0，则12x2-12x-1=0，
解得x=2或x=-1，
∴A(-1,0)，B(2,0)；
(2)∵y=12x2-12x-1=12(x-12)2-98，
∴抛物线的对称轴为x=12，
∵A、B关于对称轴对称，
∴AG=BG，
∴AG+CG=BG+CG≥BC，
∴当B、C、G三点共线时，AG+CG最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴2k+b=0b=-1，
解得k=-12b=-1，
∴y=-12x-1，
∴G(12,-34)，
故答案为：(12,-34)；
(3)∵B(2,0)，C(0,-1)，
∴BO=2，OC=1，
设P(t,m)，
∴PF=m，BF=|t-2|，
当△OBC≌△FBP时，OB=BF，CO=FP，
∴m=1，|t-2|=2，
∴t=4或t=0(舍)，
∴P(4,1)；
当△OBC≌△FPB时，BO=FP，OC=BF，
∴2=m，|t-2|=1，
∴t=3或t=-1(舍)，
∴P(3,2)；
综上所述：P点坐标为(4,1)或(3,2)；
(4)存在点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴-k+b=0b=-1，
解得k=-1b=-1，
∴y=-x-1，
设M(n,-n-1)，N(x,y)，
∵M在射线AC上，
∴n≥-1，
①当OA为菱形对角线时，OM=AM，
∴n+x=-1y-n-1=0n2+(n+1)2=2(n+1)2，
解得n=-12x=-12y=12，
∴N(-12,12)；
②当OM为菱形对角线时，OA=AM，
∴n=-1+xy=-n-11=2(n+1)2，
解得n=22-1x=22y=-22或n=-22-1x=-22y=22(舍)，
∴N(22,-22)；
③当ON为菱形的对角线时，AO=OM，
∴x=n-1y=-n-11=n2+(n+1)2，
解得n=0x=-1y=-1或n=-1x=-2y=0(舍)，
∴N(-1,-1)；
综上所述：N点坐标为(-12,12)或(22,-22)或(-1,-1)．
(1)根据正方形的性质求出D(1,-1)，C(0,-1)，再由待定系数法求函数的解析式即可；
(2)当B、C、G三点共线时，AG+CG最小，求出直线BC的解析式，即可求G点坐标；
(3)设P(t,m)，则PF=m，BF=|t-2|，当△OBC≌△FBP时，m=1，|t-2|=2，可得P(4,1)；当△OBC≌△FPB时，BO=FP，OC=BF，可得P(3,2)；
(4)求出直线AC的解析式为y=-x-1，设M(n,-n-1)，N(x,y)，分三种情况讨论：①当OA为菱形对角线时，OM=AM，可得N(-12,12)；②当OM为菱形对角线时，OA=AM，可得N(22,-22)；③当ON为菱形的对角线时，AO=OM，可得N(-1,-1)．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，轴对称求最短距离，分类讨论是解题的关键．
26.【答案】√ √ ×
【解析】解：(1)①∵y=2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，
∴h=2(a+3)-2a=6，
∴y=2x是“极差常函数”，
故答案为：√；
②∵y=-2x+2是一次函数，且y随x值的增大而减小，
∴h=-2a+2-[-2(a+3)+2]=6，
∴y=-2x+2是“极差常函数”，
故答案为：√；
∵y=x2是二次函数，函数的对称轴为直线x=0，
当a+3≤0时，h=a2-(a+3)2=-9-6a；
当a≥0时，h=(a+3)2-a2=9+6a；
∴y=x2不是“极差常函数”，
故答案为：×；
(2)当x=0时，y=q，
∴函数与y轴的交点为(0,q)，
当y=0时，x=-qp，
∴函数与x轴的交点为(-qp,0)，
∴S=12×|q|×|-qp|=1，
∴q2|p|=2，
当p>0时，h=p(a+3)+q-(pa+q)=3，
∴p=1，
∴q=±2，
∴函数的解析式为y=x±2；
当p<0时，h=pa+q-[p(a+3)+q]=3，
∴p=-1，
∴q=±2，
∴函数的解析式为y=-x±2；
综上所述：函数的解析式为y=x±2或y=-x±2；
(3)y=ax2-bx+4=a(x-b2a)2+4-b24a，
∴函数的对称轴为直线x=b2a，
∵b=a+3，
∴x=a+32a=12+32a，
∵-1+132≤a≤32，
∴32≤12+32a≤3+134，5+134≤a+3≤92，
∵a>0，a<12+32a
当x=b2a时，y有最小值4-b24a=4-(a+3)24a，
∴h=a2-a(a+3)+4-4+(a+3)24a=(a-3)24，
∴4ah=(a-3)2，
∴94≤4ah≤31-7134．
(1)①由一次函数的性质可知h=2(a+3)-2a=6，则y=2x是“极差常函数”；
②由一次函数的性质可知h=-2a+2-[-2(a+3)+2]=6，则y=-2x+2是“极差常函数”；
③由二次函数的性质可知，当a+3≤0时，h=-9-6a不是常数，则y=x2不是“极差常函数”，
(2)根据一次函数的图象及性质可得q2|p|=2，再分两种情况讨论：当p>0时，h=p(a+3)+q-(pa+q)=3；当p<0时，h=pa+q-[p(a+3)+q]=3；分别求出p、q的值即可求函数的解析式；
(3)函数的对称轴为直线x=12+32a，由a的范围确定32≤12+32a≤3+134，5+134≤a+3≤92，由此可得当x=a时，y有最大值a2-a(a+3)+4，当x=b2a时，y有最小值4-(a+3)24a，则h=(a-3)24，4ah=(a-3)2，再由a的范围确定4ah的范围即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，将“极差函数”与一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质结合解题是关键．
相关试卷
2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷： 这是一份2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷，共7页。试卷主要包含了若n是任意实数，则点N，下列计算正确的是，下列各式中，属于分式的是，如图，若干全等正五边形排成环状等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷： 这是一份2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷，共31页。试卷主要包含了个五边形等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学九年级（上）入学数学试卷含答案： 这是一份2022-2023学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学九年级（上）入学数学试卷含答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
