2022-2023学年陕西省西安市西咸新区高新第四完全中学八年级（上）收心考数学试卷(解析版)

2022-2023学年陕西省西安市西咸新区高新第四完全中学八年级（上）收心考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列实数：、、、、．、每相邻两个之间依次多个，其中无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 如图，在中，垂直平分，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 在同一副扑克牌中抽取张“黑桃”，张“梅花”，张“方块”，将这张牌背面朝上洗匀，从中任意抽取张，是“方块”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温如何随时间的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是(    )

A. 点时气温达最低 B. 点到点之间气温持续下降
C. 点到点之间气温持续上升 D. 点时气温达最高是

7. 如图，已知，要得到≌，还需要从下列条件中补选一个，补上仍不能判断其全等的是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 同位角相等 B. 如果，那么
C. 对顶角相等 D. 两边及其一角分别相等的两个三角形全等

9. 若是一个完全平方式，则常数的值为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

10. 如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：；；；其中正确的是(    )
     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. “埃”是晶体学、原子物理、超显微结构等常用的长度单位，埃等于厘米，用科学记数法表示为______．
12. 的平方根是______．
13. 如图，在中，，的顶点在的边上，点在的延长线上，，且，若，则的度数为______．

14. 在等腰中，，腰上的中线将的周长分为和两部分，则这个三角形的底边长为______．

15. 如图，点是内一点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连结交、于点和点，连结、若，则的大小为______度．

三、解答题（本大题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
17. 本小题分
    先化简，再求值：，其中，．
18. 本小题分
    作图题，如图，有一块三角形木板，是边上一点，现要求过点裁出一小块的三角形木板，使，请在图中作出线段要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法

19. 本小题分
    一个不透明的口袋中装有个红球，个黄球，个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球．
    求摸到的球是白球的概率．
    如果要使摸到白球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个白球？
20. 本小题分
    如图在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．
    试说明：≌；
    若，，求的度数．

21. 本小题分
    如图所示：
    作出与关于对称的图形；
    若小正方形的边长为，则______．

22. 本小题分
    【实际问题】在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度．
    
    【数学建模】将小明看成一条线段，河对岸一点为点，自己所在岸的那个点为点，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理．
    如图，如果于点，______ ，那么．
    【问题解决】说明的理由．
     

23. 本小题分
    小明同学骑自行车去郊外春游，骑行个小时后，自行车出现损坏，维修好后继续骑行，如图表示他离家的距离千米与所用的时间小时之间关系的图象．
    根据图象回答：小明到达离家最远的地方用了几小时？此时离家多远？
    求小明出发两个半小时离家多远？
    求小明出发多长时间距家千米？

24. 本小题分
    如图，在中，，，于，点在边上．
    求证：；
    若，，且的面积等于，求的长．

25. 本小题分
    在等边中，点是直线上的一个点不与点、重合，以为边在右侧作等边，连接．
    如图，当点在线段上时，求证：；
    如图，当点在线段的反向延长线上时，若，求的度数；用含的代数式表示
    如图，当点在线段的延长线上时，若，且，求的面积．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A计算正确；
B.，故选项B计算正确；
C.，故选项C计算正确；
D.，故选项D计算不正确．
故选：．
利用单项式除以单项式法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则逐个计算，根据计算结果得结论．
本题考查了整式的混合运算，掌握单项式乘单项式、单项式除以单项式、积的乘方法则是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在实数：、、、、．、每相邻两个之间依次多个，其中无理数有：、、每相邻两个之间依次多个，共有个，
故选：．
根据无理数的定义：无限不循环的小数是无理数，判断即可．
本题考查了无理数，立方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
，
，
．
故选：．
直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理解答即可．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在同一副扑克牌中抽取张“黑桃”，张“梅花”，张“方块”．
将这张牌背面朝上，从中任意抽取张，是“方块”的概率为．
故选：．
共有张牌，其中“方块”有张，直接利用概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图象可得，点时气温达最低为，所以选项从图象中得到的信息正确，故A选项不符合题意；
B.由图象可得，点到点气温持续下降，所以选项从图象中得到的信息正确，故B选项不符合题意；
C.由图象可得，点到点气温持续下降，点到点气温持续上升，点到点气温先下降再上升，所以选项从图象中得到的信息不正确，故C选项符合题意；
D.由图象可知，点时气温最高是，所以选项从图象中得到的信息正确，故D选项不符合题意．
故选：．
应用函数图象中的信息进行判定即可得出答案．
本题主要考查了函数图象，准确理解题目所给函数图象中所给信息进行求解是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
，
A、，，，
≌，
故A不符合题意；
B、，，，
≌，
故B不符合题意；
C、，，，
≌，
故C不符合题意；
D、，，，
与不一定全等，
故D符合题意；
故选：．
根据等角的补角相等可得，然后根据全等三角形的判定方法：，，，，逐一判断即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、两直线平行，同位角相等，
同位角相等，是随机事件；
B、如果，那么，是随机事件；
C、对顶角相等，是必然事件；
D、两边及其一角分别相等的两个三角形全等，是随机事件；
故选：．
根据平行线的性质、有理数的乘方、对顶角相等、全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断，即可确定出的值．
【解答】
解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：，，
是等腰直角三角形，
，故正确；
在和中，
，，且，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；故正确；
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又由，知，
；故正确；
连接．

是等腰直角三角形，
，
又，
垂直平分，
，
在中，
是斜边，是直角边，
，
，
，故错误．
故选：．
根据，可得出，利用判定≌，从而得出，则，即；再利用判定≌，得出，又因为，所以，连接因为是等腰直角三角形，即又因为，那么垂直平分即在中，是斜边，是直角边，所以，即．
本题考查三角形全等的判定方法．在复杂的图形中有的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为在确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是负数．
本题考查了科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：．
根据算术平方根和平方根的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，
．
，
，
在中，
，
．
故答案为：．
在中，，再根据，以及，在等腰中，根据三角形内角和定理可求．
本题考查三角形内角和定理，解题关键是结合图形利用三角形内角和定理进行角的计算．
 

14.【答案】 

【解析】解：是等腰的中线，可设，则，
又知将三角形周长分为和两部分，
可知分为两种情况：
，即，解得，此时，此时等腰的三边分别为，，；
，即，解得；此时等腰的三边分别为，，．
经验证，第一种情况不成立，
这个三角形的底边长为．
故答案为：．
本题由题意可知有两种情况，或从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点关于直线的对称点为点、关于直线的对称点为点，
，，，
，
．
．
故答案是：．
由，可得结论．
本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值；
原式利用乘方的意义，负整数指数幂法则，以及加减法则计算即可求出值．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

17.【答案】解：


，
当，时，原式

． 

【解析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，

线段即为所求． 

【解析】根据题意过点作，即可得，进而作出线段．
本题考查了作图应用与设计作图，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
 

19.【答案】解：根据题意分析可得：口袋中装有红球个，黄球个，白球个，共个球，
故摸到白球；

设需要在这个口袋中再放入个白球，得：，
解得：．
所以需要在这个口袋中再放入个白球． 

【解析】直接利用概率公式求解即可；
根据绿球的概率公式得到相应的方程，求解即可．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

20.【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌；
解：，，≌，
，
，
． 

【解析】根据平分，可以得到，然后根据题目中的条件即可证明和全等，从而可以得到结论成立；
根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可求出的度数．
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

，
故答案为：．
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用割补法求三角形的面积．
 

22.【答案】解：如果，，那么．
理由如下：，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：小明到达离家最远的地方需小时，此时离家千米；
段表示的速度为千米时，
千米，
即小明出发两个半小时离家千米．
段表示的速度为千米时
小时
段表示的速度为千米时
小时
即当小明出发小时或小时时，小明距家千米． 

【解析】观察图象即可解决问题；
根据速度，小明出发两个半小时离家的距离千米；
分两种情形分别求解即可；
本题考查函数图象、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
；

解：由得：≌，
，
，
，
又，，且的面积等于，
，
． 

【解析】根据三角形的两个角及其一角的对边对应相等即可证明≌，可以证明；
根据三角形的面积的面积三角形的面积，即可求得的长度．
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是证明≌，根据全等三角形的对应边相等解决问题．
 

25.【答案】证明：如图中，
，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
．

解：如图中，设交于．

，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，

，，
，
．

解：如图中，

，都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分线段，
，
． 

【解析】证明≌，可得结论．
证明，，可得结论．
证明，，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．