2022-2023学年吉林省长春市朝阳区慧谷学校九年级（上）期初数学试卷(解析版)

2022-2023学年吉林省长春市朝阳区慧谷学校九年级（上）期初数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列代数式中，属于分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 空气的密度为，用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一个三角形的两边长为和，第三边的边长是方程的根，则该三角形的周长是(    )

A.  B. 或 C.  D. 和

5. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为元的药品进行连续两次降价后为元，设平均每次降价的百分率为，
   则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，已知一组平行线，被直线、所截，交点分别为、、和、、，且，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知一次函数不过第二象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 函数中自变量的取值范围是______．
10. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则______．
11. 如图，四边形中，，若：：，则：______．

12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处．若，，则点的坐标是______．

13. 如图，在▱中，，，：：依据尺规作图的痕迹，则▱的面积为______．

14. 在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点、分别为，的中点，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    解方程：
     
16. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
17. 本小题分
    如图，中，是边上的中线，过点作，过点作，与、分别交于点、点，连接．
    
    求证：；
    当时，求证：四边形是菱形．
18. 本小题分
    图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
    在图中画一个面积为的只是中心对称的四边形．
    在图中画一个面积为的菱形，且邻边不垂直．
    在图中画一个矩形，使其边都是无理数，且邻边不相等．

19. 本小题分
    某年级共有名女生，为了解该校女生实心球成绩单位：米和仰卧起坐单位：个的情况，从中随机抽取名女生进行测试，获得了她们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
    实心球成绩的频数分布表如下：

实心球成绩在这组的数据是：
一分钟仰卧起坐成绩如图所示：

根据以上信息，回答下列问题：
表中的值为______．
抽取的名女生一分钟仰卧起坐成绩的众数为______个，中位数为______个．
若实心球成绩达到米及以上，成绩记为优秀，请估计全年级女生成绩达到优秀的人数．

20. 本小题分
    如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，求树高．

21. 本小题分
    一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，与之间的函数图象如图所示．
    修船过程中排水速度为______，的值为______．
    求修船完工后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
    当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出的值．

22. 本小题分
    如图，在四边形中，被对角线平分，且，我们称该四边形为“可分四边形”称为“可分角”．
    如图，四边形为“可分四边形”，为“可分角”，求证：∽．
    如图，四边形为“可分四边形”，为“可分角”，如果，则______．
    现有四边形为“可分四边形”，为“可分角”，且，，，则______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据分式的定义，可知，，都是整式，是分式，
故选：．
根据“一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”即可确定．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点，
则点的坐标是，
即，
故选：．
根据平移方法可得点的坐标变化，进而可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
解得，；
当第三边的长为时，，不能构成三角形，故此种情况不成立；
当第三边的长为时，，符合三角形三边关系，此时三角形的周长为：；
故选：．
首先用公式法法求出方程的两个实数根，进而利用三角形三边关系定理将不合题意的解舍去，再求周长即可．
求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
设平均每次降价的百分率为，根据该种药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【解答】
解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意得：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质可求出的长．
【解答】
解：，
，即，
．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限，
则可能是经过一三象限或一三四象限，
经过一三象限时，；
经过一三四象限时，．
故，
故选：．
根据题意可知：图象经过一三象限或一三四象限，可得或，再解不等式可得答案．
此题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
【解答】
解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为．
故选：．  

9.【答案】且 

【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
 

11.【答案】： 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
：：，
故答案为：：．
先由证明∽，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到，则，即可求得：：．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比求得两个三角形的对应边的比是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，则，
由题意可得，，
由对折知，，
，
，
，
，
解得，，
点的坐标为，
故答案为
根据题意，由勾股定理可以得到，进而得的长度，设，则，由勾股定理列出的方程求得的值，便可求得点坐标．
本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

四边形是平行四边形，
，
由作图可知，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
证明是等边三角形，求出，的面积，可得结论．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

点、分别为，的中点，
，
当时，的值最小，此时的值也最小，
由勾股定理得：，
，
，
，
故答案为：．
当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可．
本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
 

15.【答案】解：，
，
，
，
；
，
，
或； 

【解析】根据配方法即可求出答案；
根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

17.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，且．
又是边的中线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
，是斜边上的中线，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形． 

【解析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，考查直角三角形斜边上的中线，属于基础题．
先证四边形是平行四边形，再证四边形是平行四边形，即得；
由，上斜边上的中线，即得，证得四边形是平行四边形，从而证得四边形是菱形．
 

18.【答案】解：如图．

如图．

如图．
 

【解析】根据中心对称图形的性质作出一个长为，高为的平行四边形即可．
利用菱形的性质作图即可．
利用网格结合矩形的判定与性质作图即可．
本题考查中心对称、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

19.【答案】     

【解析】解：，
故答案为：；
由中统计图可知，
抽取的名女生一分钟仰卧起坐成绩的众数为，中位数是，
故答案为：，；
人，
即全年级女生成绩达到优秀的有人．
根据频数分布表中的数据，可以计算出的值；
根据中的统计图，可以得到众数、中位数；
根据题目中的数据，可以计算出全年级女生成绩达到优秀的人数．
本题考查众数、中位数、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：
∽
，
，，，，
，
米，
米． 

【解析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意可知，修船共用了：分钟，
修船过程中进水速度为：吨分钟，
修船过程中，排水速度是吨分钟，
修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，
修船完工后，排水速度是，
；
故答案为：；；
设修船完工后与之间的函数关系式为，
由题意，得，
解得，
修船完工后与之间的函数关系式为；
在修船过程中，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得，
解得；
修船完工后，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得，
解得．
故的值为或．
修船共用了分钟，修船过程中进水速度为：吨分钟，修船过程中，排水速度是吨分钟，；
利用待定系数法求解即可；
分修船过程和修船完工后两种情况解答．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，掌握待定系数法求函数关系式．
 

22.【答案】  

【解析】证明：四边形为“可分四边形”，为“可分角”，
，
，
为“可分角”，
，
∽；

解：如图所示：
平分，
，
，
：：，
∽，
，
，
，
，
，
解得：，
；
故答案为：；
解：四边形为“可分四边形”，为“可分角”，
，，
：：，
∽，
，
，
．
故答案为：
先判断出，即可得出结论；
由已知条件可证得∽，得出，再由已知条件和三角形内角和定理得出，求出，即可得出的度数；
由已知得出，，证出∽，得出，由勾股定理求出，即可得出的长．
此题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、新定义四边形等知识；熟练掌握新定义四边形，证明三角形相似是解决问题的关键．