人教版八年级上册13.1.2 线段的垂直平分线的性质学案

13.1.2线段的垂直平分线性质（二）

【学习目标】：

1、使学生掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图；

2、继续训练学生用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤，认识它的正确性、合理性；

3、培养学生探索问题、解决问题的方法，经历如何画线段的垂直平分线，体验利用画线段垂直平分线的方法为基础，画过一点作已知垂线的作图。

【重点难点】：

1、重点：让学生掌握过一点作直线的垂线，作直线的垂直平分线的基本方法；

2、难点：理解作图的理论依据。

【学习过程】：

一、复习

1、什么叫做尺规作图？

（限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图）

2、用尺规作图

 （1）作线段，使它等于已知线段的长；

 （2）作角，使它等于已知角；

   ①让学生在练习本上画任意长的线段和任意角。

②提问学生口述作法，教师在黑板上操作尺规画图，或教师口述作图步骤，让学生按老师的口述，操作尺规作图。

        作线段：已知线段，作射线AC，以A为圆心，在AC上截取，AB就是所求作的；

         作角：已知，作射线，以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、C两点，以为圆心，以OC为半径作弧，交于，以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于，经过作射线，就是所求的角。

    3、什么垂直平分线？

    （过线段的中点，垂直这条线段的直线）

    4、线段垂直平分线有哪些特征？

     （线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段

的垂直平分线上）

二、做一做

如图，如图、已知线段AB，画出它的垂直平分线.

提示：由线段垂直平分线的特征能否为你提供一些作图的依据。

若有学生懂得画，请他上台展示；若讨论没有结果的话，教师示范。

作法：1、分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；

2、过C、D两点作直线CD。

所以，直线CD就是所求作的。

三、议一议

能否说出这种画法的依据，小组讨论交流。并发表小组的共识。

我们知道，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此如果能找到两个到线段两点的距离相等的点，那么过这两点就可画线段的垂直平分线。

如图，以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径，在AB的一侧画弧； 以点B为圆心，以同样的长为半径，在AB的同一侧画弧，两弧的交点记为C，则C是线段AB垂直平分线上的一点．请你利用类似的方法确定另一点D。

因为画图可知AC=BC，所以点C在线段AB的垂直平分线上；又AD=BD，所以点D也在线段AB的垂直平分线上；根据两点确定一条直线，所以直线CD就是线段AB的垂直平分线。

四、试一试

1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的垂线。

提示：能否利用画线段垂直平分线的方法解决呢？

请同学们把你的作法在小组内交流，请一些同学上台展示其画图过程、画图的作法，并说明画图的依据。

作法：（1）以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A、B两点；

（2）分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；

（3）过C、D两点作直线CD。

所以，直线CD就是所求作的。

理由：以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A、B两点，则C是线段AB的中点．因此，过C画直线l的垂线转化为画线段AB的垂直平分线。

2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？

请同学们把讨论结果上台展示。

作法：（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧；

（2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交于A、B两点；

（3）分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于D点；

（4）过C、D两点作直线CD。

所以，直线CD就是所求作的。

你能否用所学的知识证明这个结论呢？试试看。

证明：连结CA、CB、DA、DB，设CD、AB相交于O。

由作法知，，，CD是公共边，

所以△CAD≌△CBD（SSS）

所以（全等三角形的对应角相等）

于是△ACO≌△BCO（SAS）

所以AO=BO，（全等三角形的对应边、对应角相等）

所以CD是线段AB的垂直平分线。

五、练一练

  练习1、2

六、说一说

1、本节你有何收获？

2、本节你有何体会？

3、本节你有何疑惑？

七、作业

  习题   4、5