2022-2023学年福建省福州市鼓楼区杨桥中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市鼓楼区杨桥中学九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列式子一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 一组对角相等 D. 一组对边相等

4. 已知，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

5. 对于函数的图象，下列说法不正确的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 最大值为 D. 与轴不相交

6. 在射击训练中，某队员的次射击成绩如图，则这次成绩的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 将二次函数通过配方可化为的形式，结果为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 一件商品的原价是元，经过两次提价后的价格为元．如果每次提价的百分率都是，根据题意，下面列出的方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在正方形中，对角线、相交于点、分别为、上一点，且，连接，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知二次函数的图象经过，，当该二次函数的自变量分别取，时，对应的函数值是，，且，设该函数图象的对称轴是，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 化简：______．
12. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择______．

13. 已知菱形的两条对角线、的长分别是和则菱形的面积为______．
14. 如果在是方程的一个根，那么的值为______．
15. 若点和点都在二次函数的图象上，则当时，函数的值是______．
16. 如图，、都是等腰直角三角形，，，是的中点，若点是直线上的动点，连接，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
    解方程：．
18. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．
19. 本小题分
    已知二次函数，当时，求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
20. 本小题分
    如图，已知四边形是矩形．
    请用直尺和圆规在边上作点，使得保留作图痕迹
    在的条件下，若，，求的长．

21. 本小题分
    某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为分，成绩高者被录用．图是甲、乙测试成绩的条形统计图，
    分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
    若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图图各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变的录用结果．

22. 本小题分
    ，两地相距，甲、乙两人分别开车从地出发前往地，其中甲先出发如图是甲，乙行驶路程，随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
    填空：甲的速度为______；
    分别求出，与之间的函数解析式；
    求出点的坐标，并写出点的实际意义．

23. 本小题分
    如图，某农户准备围成一个长方形养鸡场，养鸡场靠墙米，另三边利用现有的米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇米宽的门，且篱笆没有剩余．
    
    若围成的养鸡场面积为平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？
    这个养鸡场的面积在没有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．

24. 本小题分
    已知正方形，点是对角线上一点．
    如图，连接，，求证：；
    如图，是延长线上一点，，交于点，求证：；
    如图，是延长线上一点，，交于点，，求证：．

25. 本小题分
    如图，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点若是该抛物线上，之间的一个动点，过点作直线轴，交抛物线于点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，得到矩形．
    求该抛物线的表达式；
    当点与点重合时，求矩形的面积；
    若直线分别交，于点，，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据二次根式的定义可得中得被开方数无论为何值都是非负数，
故选：．
根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式可得答案．
此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
根据勾股定理判断即可．
【解答】
解：在中，，
，
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得B正确．
故选：．
根据平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形可直接得到答案．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而增大，
又，是一次函数的图象上的两个点，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型．
根据二次函数的性质即可一一判断．
【解答】
解：对于函数的图象，
，
开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数有最大值，
故A、、C正确；
对于，当时，，因此与轴的交点为，不正确，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：这次射击成绩从小到大排列是：，，，，，，，，，，
中位数是环，
出现的次数最多，故众数为环．
故选：．
将折线统计图中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查众数与中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的三种形式，主要是配方法和平方数非负数的应用．
先配方，再化成顶点式．
【解答】
解：，
即．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，若平均每次提价的百分率为，根据原价为元，表示出第一次提价后的价钱为元，然后再根据价钱为元，表示出第二次提价的价钱为元，根据两次提价后的价钱为元，列出关于的方程．
【解答】
解：设平均每次提价的百分率为，
根据题意得：，
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：是正方形，
，．
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
在和中，
，
≌．
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的对称性是解题的关键．根据当时，有可得，再根据二次函数图象过的对称点，可得，综上即可得到答案．
【解答】
解：，且二次函数的图象过点，，
根据题意当时，有
由二次函数的对称性可得，
画出二次函数草图如下：


二次函数图象过的对称点，设对称点为，
，
对称轴为，
，
综上可得，，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：．
本题可将分为两个相乘的数，将含平方因数开方即可．
本题考查的是二次根式的化简，解此类题目时要注意开方后的数必定不小于．
 

12.【答案】乙 

【解析】解：乙的方差较小，
选择乙参加比赛，
故答案为：乙．
平均数相同应选择方差较小的参加比赛．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线、的长分别是和，
菱形的面积是，
故答案为：．
根据菱形的面积对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．
本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积对角线乘积的一半．
 

14.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
满足方程，
，
解得．
故答案是：．
根据一元二次方程的解的定义将代入方程，列出关于的方程，通过解方程求得的值即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解满足该一元二次方程的解析式．
 

15.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的对称轴为轴，
而点和点的纵坐标相同，
点与点关于轴对称，
，
，
当时，．
故答案为．
先利用二次函数的性质得到点与点关于轴对称，则，然后计算自变量为时的函数值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：、都是等腰直角三角形，
∽，
，
点，，，四点共圆，
，
，
是的中点，
，
当最小时，的值最小，
若点是直线上的动点，
当时，最小，此时，最小，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据已知条件得到，推出点，，，四点共圆，得到，根据直角三角形的性质得到，当最小时，的值最小，最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了四点共圆，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，圆周角定理，确定出当最小时，的值最小是解题的关键．
 

17.【答案】解：．

；
，
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：根据题意知，，
整理，得：，
解得：，
即，． 

【解析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据判别式的意义得到，然后解一元二次方程即可．
 

19.【答案】解：二次函数，当时，，
，
解得，
该二次函数的解析式为．
列表得：

如图：
 

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．将代入求得的值即可，再由函数解析式画出函数图象．
 

20.【答案】解：如图所示，点即为所求；


连接，，
由知，
四边形是矩形，
，，
≌，
，
在中，． 

【解析】作线段的垂直平分线，与的交点即为所求作点；
连接与，由知，利用“”证≌得，再根据勾股定理可得答案．
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和中垂线的性质及矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．
 

21.【答案】解：由题意得，甲三项成绩之和为：分，
乙三项成绩之和为：分，
，
会录用甲；
由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：

分，
三项成绩之加权平均数为：

分，
，
会改变的录用结果． 

【解析】分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可；
分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可．
此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析．
 

22.【答案】 

【解析】解：甲的速度为：，
故答案为：；
由可知，出与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，根据题意得：
，
解得，
；
根据题意，得，
解得，
，
点的坐标为，
故点的实际意义是甲车出发小时后被乙车追上，此时两车行驶了．
根据“速度路程时间”可得答案；
根据的结论可得出与之间的函数解析式；利用待定系数法可得与之间的函数解析式；
根据的结论列方程求解即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
 

23.【答案】解：设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是米，则与墙平行的边长是即米．
根据题意得：，
整理，得 ，
解得 ，．
当时，，符合题意．
当时，，符合题意．
答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米．
存在，理由如下：
根据中条件可知，，
，
当时，的最大值为，
此时，符合题意，
当这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米时，面积的最大值为平方米． 

【解析】设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是米，用总长减去一个倍的长加上即可求得与墙平行的墙长；根据面积为平方米结合矩形的面积列出方程求解即可．
根据中所列等式，根据二次函数的性质可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出矩形的长和宽，难度不大．
 

24.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；
，
，
，
，
，
由可知，≌，
，
，
，
；
，，
，
，
，
由可知，，
，
，
． 

【解析】根据正方形的性质得到，，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
根据全等三角形的性质得到，根据等角的余角相等证明即可；
根据等腰直角三角形的性质得到，根据中结论得到，进而证明结论．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：将，代入，得．
解得 ．
该抛物线的函数表达式为．
当点与重合时，点的坐标为．
将代入，
 得．
解得 ，．
点的坐标为．
，．
．
设直线为，
将，代入上式
，解得 ．
直线的表达式为．
设点的横坐标为，由对称性得，
点，的坐标分别为 ，

．
当时，取得最大值为．
轴，
．
又
∽．
．
当最大时，的面积也最大．
，
．
面积的最大值为． 

【解析】根据待定系数法确定抛物线解析式即可；
当点与重合时，把代入解析式得出点的坐标，进而利用矩形的面积公式解答即可；
设直线为，利用待定系数法得出解析式，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查二次函数的综合题，关键是根据待定系数法确定解析式，进而利用相似三角形的判定和性质进行解答．