2022年黑龙江省哈尔滨八十四中中考数学模拟试卷（4月份）(含答案)

这是一份2022年黑龙江省哈尔滨八十四中中考数学模拟试卷（4月份）(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年黑龙江省哈尔滨八十四中中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．（3分）下列实数中是无理数的是（　　）
A． B．3.1415 C． D．
2．（3分）计算正确的是（　　）
A．（﹣5）0＝0 B．a2+a3＝a5
C．（ab2）3＝a3b6 D．
3．（3分）下列是一组logo图片，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）若点A（2，a）在反比例函数y＝的图象上，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（3分）如图，该几何体由6个大小相同的小立方体搭成，此几何体的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，点D在AB边上，将△ABC沿CD折叠，使得B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
8．（3分）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（　　）

A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
9．（3分）阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为（　　）
A．26元 B．27元 C．28元 D．29元
10．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在CD边上，连BE，交对角线AC于点F，则下列等式中错误的是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数字2035000用科学记数法可表示为 　 　．
12．（3分）计算：﹣＝　 　．
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
14．（3分）把3ax2﹣3ay2因式分解的结果是　 　．
15．（3分）不等式组的解集是　 　．
16．（3分）某扇形的半径为2，弧长为2π，此扇形的面积为 　 　．
17．（3分）小刚有5支外形相同的中性笔，其中2支黑色，2支红色，1支蓝色，小刚随机从中抽取一支，他拿出红色笔的概率为 　 　．
18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则sin∠ACD的值是　 　．

19．（3分）在菱形ABCD中，AE是BC边上的高，且AE：BC＝4：5，且此菱形的面积为20，则CE的长为 　 　．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠B+3∠D＝180°，BC＝2CD＝2，则AB＝　 　．

三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中x＝4cos30°﹣2tan45°．
22．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ACE的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）画出Rt△MAE，且∠MAE＝90°，点M在小正方形的顶点上；
（2）画出矩形ABCD，点M在矩形ABCD的一边上，点B、D均在小正方形的顶点上（矩形顶点的字母顺序按逆时针排序）；
（3）连接MD、DE，请直接写出四边形MAED与△CDE的面积的比值．

23．（8分）某区对试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行调查，调查的项目为学生“主动质疑”、“独立思考”、“专注听讲”、“讲解题目”四项，随机抽取了若干名初中生进行调查，调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）请通过计算将条形统计图补充完整；
（3）如果全区有12000名初中生，请你估计该区在试卷讲评课中，“主动质疑”的学生有多少名？

24．（8分）已知：在▱ABCD中，点E是边AD上一点，点F是线段AE的中点，连接BF并延长BF至点G，使FG＝BF，连接DG、EG．
（1）如图1，求证：四边形CDGE是平行四边形；
（2）如图2，当DA平分∠CDG时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与AB相等的线段（AB除外）．

25．（10分）某工厂签了1200件商品订单，要求不超过15天完成．现有甲、乙两个车间来完成加工任务．已知甲车间的加工能力是乙车间加工能力的1.5倍，并且加工240件需要的时间甲车间比乙车间少用2天．
（1）求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件？
（2）甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务，留下乙车间单独完成剩余工作，求甲、乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务．
26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，AD交BC于点E，且BE＝CE．
（1）如图1，求证：AD平分∠BAC；
（2）如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延长线于点G，点H是PF的中点，求证：GH⊥PF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF，且∠DFB＝3∠PAD，点R在CG上，连接DR，DR交CH于点N，RN＝RG，HN＝2，DF＝10，求DE的长．

27．（10分）如图，在平面直角坐标中，直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C为x轴负半轴上一点，点D为线段AB上一点，且AC＝BD，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，设点C的横坐标为t，BE的长为d，求d与t之间的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，点F为x轴上点C左侧一点，连接BF、DF，BF交线段CE于点G，若∠CGF＝30°，BE＝2CF，求∠BFD的正切值．



2022年黑龙江省哈尔滨八十四中中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．（3分）下列实数中是无理数的是（　　）
A． B．3.1415 C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.是分数，属于有理数；
B.3.1415是有限小数，属于有理数；
C.，是整数，属于有理数；
D.是无理数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）计算正确的是（　　）
A．（﹣5）0＝0 B．a2+a3＝a5
C．（ab2）3＝a3b6 D．
【分析】分别根据任何非零数的零次幂等于1，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及负整数指数幂的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．（﹣5）0＝1，故本选项不合题意；
B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（ab2）3＝a3b6，故本选项符合题意；
D．，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，零指数幂以及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）下列是一组logo图片，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）若点A（2，a）在反比例函数y＝的图象上，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】直接将点（2，a）代入y＝即可求出a的值．
【解答】解：由题意知，a＝，
解得：a＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5．（3分）如图，该几何体由6个大小相同的小立方体搭成，此几何体的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从上面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【分析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y＝a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣b2a，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，点D在AB边上，将△ABC沿CD折叠，使得B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】先根据三角形的内角和求出∠B的度数，再根据三角形翻折的性质得到∠DB′C的度数，最后根据三角形外角的性质求出∠ADB′的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
∵△CDB′是由△CDB翻折而来，
∴∠DB′C＝∠B＝65°，
∵∠DB′C是△AB′D的外角，
∴∠ADB′＝∠DB′C﹣∠A＝65°﹣25°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
8．（3分）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（　　）

A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
【分析】解直角三角形求出AB即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为（　　）
A．26元 B．27元 C．28元 D．29元
【分析】根据题意，设电子产品的标价为x元，按照等量关系“标价×0.9﹣进价＝进价×20%”，列出一元一次方程即可求解．
【解答】解：设电子产品的标价为x元，
由题意得：0.9x﹣21＝21×20%
解得：x＝28
∴这种电子产品的标价为28元．
故选：C．
【点评】本题为一元一次方程的应用题型，同学们需学会借助方程去解决应用题．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在CD边上，连BE，交对角线AC于点F，则下列等式中错误的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EC∥AB，
∴＝，＝，＝，
∴选项A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数字2035000用科学记数法可表示为 　2.035×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：2035000＝2.035×106，
故答案为：2.035×106．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12．（3分）计算：﹣＝　﹣2　．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣3
＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥﹣1　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0解答．
【解答】解：由题意得，1+x≥0且x+2≠0，
解得x≥﹣1且x≠﹣2，
所以，x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．（3分）把3ax2﹣3ay2因式分解的结果是　3a（x﹣y）（x+y）　．
【分析】先题3a，然后把x2﹣y2用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3a（x2﹣y2）＝3a（x﹣y）（x+y）．
故答案为3a（x﹣y）（x+y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：若各项有公因式，则先提公因式，然后利用公式法分解．
15．（3分）不等式组的解集是　0＜x≤2　．
【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集为2≤x≤3．
【解答】解：，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②，x＞0，
所以，原不等式组的解集为0＜x≤2，
故答案为：0＜x≤2．
【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
16．（3分）某扇形的半径为2，弧长为2π，此扇形的面积为 　2π　．
【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式得出扇形的面积等于弧长和半径积的一半，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵扇形的半径为2，弧长为2π，
∴此扇形的面积S＝2π＝2π，
故答案为：2π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S＝，弧长＝．
17．（3分）小刚有5支外形相同的中性笔，其中2支黑色，2支红色，1支蓝色，小刚随机从中抽取一支，他拿出红色笔的概率为 　　．
【分析】用红色笔的个数除以所有笔的个数即可求得答案．
【解答】解：∵5支中性笔，有2支为红色，
∴随机从中抽取一支，他拿出红色笔的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则sin∠ACD的值是　　．

【分析】利用勾股定理求出AD，再利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝6，
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（3分）在菱形ABCD中，AE是BC边上的高，且AE：BC＝4：5，且此菱形的面积为20，则CE的长为 　2或8　．
【分析】根据点E在BC边上或在CB的延长线上两种情况考虑，根据勾股定理可算出BE的长度，再根据线段间的关系即可得出CE的长．
【解答】解：当点E在CB的延长线上时，如图1所示．

∵AE：BC＝4：5，且此菱形的面积为20，
∴BC＝5，AE＝4，
∴BE＝3，CE＝BC+BE＝8；
当点E在BC边上时，如图2所示，

∵AE：BC＝4：5，且此菱形的面积为20，
∴BC＝5，AE＝4，
∴BE＝3，CE＝BC﹣BE＝2．
综上可知：CE的长是2或8．
故答案为：2或8．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是分点E在BC边上或在CB的延长线上两种情况考虑．本题属于基础题，难度不大，分类讨论是关键．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠B+3∠D＝180°，BC＝2CD＝2，则AB＝　3　．

【分析】作∠MCD＝∠D交AD于点M，作AH⊥BC交BC于点H，作AN⊥CM交CM于点N，作MG⊥CD交CD于点G，连接HN，利用三角形相似和勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，作∠MCD＝∠D交AD于点M，作AH⊥BC交BC于点H，作AN⊥CM交CM于点N，作MG⊥CD交CD于点G，连接HN．

∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠MCD＝∠D，
∴MC＝MD，
∴△MCD为等腰三角形，
∴BC＝2CD＝2，
∴BH＝CH＝，CG＝DG＝，
∵AH⊥BC，MG⊥CD，
∴AH∥MG，
∴∠AHD＝∠MGD，∠D＝∠D，
∴△AHD∽△MGD，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠B+3∠D＝180°，
∴∠B＝180°﹣3∠D，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝180°﹣3∠D，
∵∠ACB+∠ACM+∠MCD＝180°，
∴180°﹣3∠D+∠ACM+∠D＝180°，
∴∠ACM＝2∠D，
∵∠AMC＝∠D+∠MCD，∠D＝∠MCD，
∴∠AMC＝2∠D，
∴∠ACM＝∠AMC，
∴AC＝AM，
∵AN⊥CM，
∴∠CAN＝∠MAN＝∠CAM，
∵∠CAH＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM，∠BAD＝∠BAC+∠CAM，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAM，
∴∠BAD＝（∠BAC+∠CAM）＝∠HAN，
∵∠B+3∠D＝180°，∵∠B+∠D+∠BAD＝180°，
∴∠D＝∠BAD，
∴∠D＝∠HAN，
∵∠AHC＝∠ANC＝90°，
∴点A，H，C，N四点共圆，
∴∠ANH＝∠ACB，
∴∠ANH＝∠ABC，
∴△ABD∽△HNA，
∴＝，
设DM＝x，则：
CN＝MN＝x，AB＝AC＝AM＝3x，
由勾股定理可得：
AN2+MN2＝AM2，
∴AN＝x，
∵AH2+BH2＝AB2，
∴AH＝，
∴＝，
解得：x1＝，x2＝，
∵DM＞DG，
∴x2＝（舍去），
∴AB＝3×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查等腰三角形，相似三角形等知识点，解题的关键是掌握三角形相似的判定和性质、勾股定理以及根据题目条件作出辅助线．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中x＝4cos30°﹣2tan45°．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•，
＝•，
＝，
当x＝4×﹣2×1＝2﹣2时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
22．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ACE的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）画出Rt△MAE，且∠MAE＝90°，点M在小正方形的顶点上；
（2）画出矩形ABCD，点M在矩形ABCD的一边上，点B、D均在小正方形的顶点上（矩形顶点的字母顺序按逆时针排序）；
（3）连接MD、DE，请直接写出四边形MAED与△CDE的面积的比值．

【分析】（1）利用数形结合的思想画出等腰直角三角形AEM即可．
（2）利用数形结合的思想画出矩形ABCD即可．
（3）求出正方形AMDE，△CDE的面积即可．
【解答】解：（1）Rt△MAE即为所求．
（2）矩形ABCD即为所求．

（3）＝＝4．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理，矩形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（8分）某区对试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行调查，调查的项目为学生“主动质疑”、“独立思考”、“专注听讲”、“讲解题目”四项，随机抽取了若干名初中生进行调查，调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）请通过计算将条形统计图补充完整；
（3）如果全区有12000名初中生，请你估计该区在试卷讲评课中，“主动质疑”的学生有多少名？

【分析】（1）用独立思考的人数除以所占的百分比即可得到所抽查的学生总人数；
（2）用总人数减去其他项目的人数，求出讲解题目的人数，然后补全条形统计图；
（3）用总人数乘以“主动质疑”的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）18÷30%＝60（人）
答：这次调查中，一共抽查了60名学生；
（2）讲解题目的学生有：60﹣16﹣18﹣12＝14（人），
补全统计图如下：

（3）12000×＝3200（人），
答：估计“主动质疑”的学生有3200人．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出各项的数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图以及样本估计总体的统计思想．
24．（8分）已知：在▱ABCD中，点E是边AD上一点，点F是线段AE的中点，连接BF并延长BF至点G，使FG＝BF，连接DG、EG．
（1）如图1，求证：四边形CDGE是平行四边形；
（2）如图2，当DA平分∠CDG时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与AB相等的线段（AB除外）．

【分析】（1）依据△ABF≌△EGF（SAS），即可得出AB＝GE，AB∥GE，再根据GE＝CD，GE∥DC，即可得到四边形CDGE是平行四边形；
（2）判定四边形CDGE是菱形，即可得到CD＝DG＝GE＝CE，再根据AB＝CD，即可得出图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．
【解答】解：（1）∵点F是线段AE的中点，
∴AF＝EF，
在△ABF和△EGF中，
，
∴△ABF≌△EGF（SAS），
∴AB＝GE，∠ABF＝∠FGE，
∴AB∥GE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴GE＝CD，GE∥DC，
∴四边形CDGE是平行四边形；
（2）图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．
理由：∵DA平分∠CDG，
∴∠CDE＝∠GDE，
由（1）可得，GE∥CD，
∴∠CDE＝∠GED，
∴∠GDE＝∠GED，
∴GE＝GD，
又∵四边形CDGE是平行四边形，
∴四边形CDGE是菱形，
∴CD＝DG＝GE＝CE，
又∵AB＝CD，
∴图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
25．（10分）某工厂签了1200件商品订单，要求不超过15天完成．现有甲、乙两个车间来完成加工任务．已知甲车间的加工能力是乙车间加工能力的1.5倍，并且加工240件需要的时间甲车间比乙车间少用2天．
（1）求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件？
（2）甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务，留下乙车间单独完成剩余工作，求甲、乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务．
【分析】（1）设乙车间的加工能力每天是x件，则甲车间的加工能力每天是1.5x件．根据加工240件需要的时间甲车间比乙车间少用2天列出方程，求解即可；
（2）设甲、乙两车间合作m天，才能保证完成任务．根据两车间合作的天数+乙车间单独完成剩余工作的≤15列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设乙车间的加工能力每天是x件，则甲车间的加工能力每天是1.5x件．
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝40．
经检验x＝40是方程的解，
则1.5x＝60．
答：甲、乙每个车间的加工能力每天分别是60件和40件；

（2）设甲、乙两车间合作m天，才能保证完成任务．
根据题意得：m+[1200﹣（40+60）m]÷40≤15，
解得m≥10．
答：甲、乙两车间至少合作10天，才能保证完成任务．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，AD交BC于点E，且BE＝CE．
（1）如图1，求证：AD平分∠BAC；
（2）如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延长线于点G，点H是PF的中点，求证：GH⊥PF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF，且∠DFB＝3∠PAD，点R在CG上，连接DR，DR交CH于点N，RN＝RG，HN＝2，DF＝10，求DE的长．

【分析】（1）根据垂径定理得出DE⊥BC，则DE垂直平分BC，进而得到BD＝CD，根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）连接OP，PG是圆O的切线得出∠OPA+∠GPF＝90°，根据垂径定理得出DE⊥BC，根据直角三角形的性质、对顶角相等得出∠GFP+∠EAF＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠EAF＝∠OPA，进而得出∠GPF＝∠GFP，根据等腰三角形的判定与性质即可得解；
（3）连接PD，延长GH交DF于点M，DR交AP于点T，根据题意推出点M是DF的中点，根据三角形中位线性质推出PD＝2MH，根据勾股定理得到PH＝HF＝4，根据平行线的性质推出∠PDT＝∠HNT＝∠DAP，△HNT∽△PDT，根据等腰三角形的性质及相似三角形的性质、勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD，CD，

∵AD为⊙O的直径，AD交BC于点E，且BE＝CE，
∴DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∵DE⊥BC，
∴OD平分∠BAC；
（2）证明：连接OP，

∵PG是圆O的切线，
∴OP⊥PG，
∴∠OPG＝90°，
即∠OPA+∠GPF＝90°，
∵AD为⊙O的直径，AD交BC于点E，且BE＝CE，
∴DE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴∠EAF+∠AFE＝90°，
∵∠AFE＝∠GFP，
∴∠GFP+∠EAF＝90°，
∵OA＝OP，
∴∠EAF＝∠OPA，
∴∠GPF＝∠GFP，
∴PG＝FG，
∵点H是PF的中点，
∴GH⊥PF；
（3）解：连接PD，延长GH交DF于点M，DR交AP于点T，

∵GH⊥PF，AD为⊙O的直径，
∴∠APD＝∠MHF＝90°，
∴MH∥DP，
∵点H是PF的中点，
∴点M是DF的中点，
∴DM＝FM＝DF＝5，
∴PD＝2MH，
∵RN＝RG，
∴∠NGR＝∠RNG，
∴∠DRE＝∠NGR+∠RNG＝2∠RGN，
∵AEF＝∠GHF＝90°，∠HFG＝∠AFE，
∴∠DAP＝∠FGH，
∴∠DRE＝2∠DAP，
∵∠DFB＝∠DRE+∠RDF＝3∠DAP，
∴∠RDF＝∠DAP，
∵∠DNM＝∠RNG，
∴∠DNM＝∠NDM＝∠DAP，
∴NM＝DM＝5，
∵HN＝2，
∴MH＝3，
∴PD＝2MH＝6，
∴PH＝HF＝＝4，
∵DP∥NM，
∴∠PDT＝∠HNT＝∠DAP，△HNT∽△PDT，
∴＝＝＝＝，
∴PT＝3，
∴tan∠DAP＝tan∠PDT＝＝＝＝，
∴AP＝12，AE＝2EF，
∵AF＝AP﹣PH﹣HF＝4，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴5EF2＝16，
∴EF2＝，
∵DE2+EF2＝DF2，
∴DE2+＝100，
∴DE＝．
【点评】本题考查了圆的综合题，等角的余角相等，解直角三角形，切线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．（10分）如图，在平面直角坐标中，直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C为x轴负半轴上一点，点D为线段AB上一点，且AC＝BD，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，设点C的横坐标为t，BE的长为d，求d与t之间的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，点F为x轴上点C左侧一点，连接BF、DF，BF交线段CE于点G，若∠CGF＝30°，BE＝2CF，求∠BFD的正切值．


【分析】（1）根据条件求出A、B坐标，代入解析式求k的值即可；
（2）注意到旋转60°，以及AC＝BD，连接DE即可找到全等关系△BDE≌△ACD，进而得出BE＝AD；
（3）先用t表示图中各点的坐标，容易发现DE⊥BF，得出关于t的等式，求出t．t确定后，D、E、F三个点的坐标就确定了，进而可求出∠BFD的正切．
【解答】解：（1）∵A（5，0）．
令x＝5，y＝0，
∴b＝5，
∴OB＝5．
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5．
（2）由（1）可知OA＝5，OB＝5，
∴AB＝10，∠BAC＝60°．

连接DE，则由CD＝CE，∠DCE＝60°，
可知△CDE为等边三角形，DE＝CD，∠EDC＝60°．
又∠CDB＝∠DCA+∠DAC，∠EDC＝60°＝∠DAC，
∴∠BDE＝∠DCA，
又∵BD＝CA，
∴△BDE≌△ACD（SAS）．
∴∠EBD＝∠DAC＝60°，BE＝AD＝AB﹣BD＝10﹣AC＝5+t．
即d＝5+t．
（3）由（2）可知∠EBD＝60°，CF＝BE＝，BD＝5﹣t，
∴∠EBO＝30°，F的坐标为（，0），点D的坐标为（，），点E的坐标为（﹣，）．
又∠BGE＝∠CGF＝30°，∠CED＝60°，
∴BG⊥DE．
取DE中点M，连接CM，则M的坐标为（﹣，）．
在等边三角形CDE中，CM⊥DE，
∴BG∥CM，
∴，得t＝﹣1．

∴F（﹣3，0），D（3，2），AD＝4，AF＝8，
又∠BAF＝60°，
∴DF⊥AB，DF＝4．
又BD＝6，
∴tan∠DFB＝．
【点评】本题考查了一次函数的综合问题．解题的关键在于观察题目中的等量关系，发现△BDE≌△ACD．第（3）问关键在于利用题目条件列出等式，求出满足条件的t的值．
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