1.1 集合的含义与表示-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

集合的含义与表示 元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.    Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合.② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.    Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别.       若集合，就意味且.       ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.   Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，.【例】下列所给的对象能构成集合的是__________．(1)所有直角三角形；(2)全国高耸的山脉；(3)比较接近的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5) ，，，．解析 (1)能，集合元素是直角三角形；(2)不能，“高耸”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；(3)不能，“比较接近”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能，集合元素是“16岁以下的学生”；(5)不能，，有两个数字重复，不符合元素的互异性.故答案是(1)(4)【练1】下列所给的对象能构成集合的是__________．(1)高中数学必修第一册课本上所有的难题；(2)高一(3)班的高个子；(3)英文26个字母；(4)中国古代四大发明；(5)方程的实数根.答案【练2】由组成一个集合，中含有个元素，则实数的取值可以是(      )A.             B.                C.               D.解析根据集合元素的互异性，.选. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作； 若不是集合的元素，则称不属于集合，记作. Eg：菱形，.【例】已知集合，那么下列结论正确的是(　　)A．        B．       C．       D．解析 都不是的解，则，故选：．【练1】对于集合，若，则，那么的取值是________．解析 当满足题意，当时，.【练2】脑筋急转弯：你能证明上帝不是万能的么？解析 如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？) 常用数集 自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作. 【例】用符号或填空：；；；；．解析 (1)因为3是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数，所以有：；；；；．【练】用符号或填空：；；；；．解析 因为不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：；；；； 集合的分类有限集，无限集，空集.Eg：奇数集属于无限集，. 集合的表示方法① 列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法.② 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法. 方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：. 用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg集合元素化简结果方程的解不等式的解集函数中取值范围(定义域)函数中取值范围(值域)函数的图像上的点---- 看集合先看元素类型.【例1】用列举法表示下列集合(1)以内偶数的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合；(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．解析 (1)；(2)解方程，得，故方程的所有实数根组成的集合为；(3)解方程组得，因此一次函数与的图象的交点为，故所求的集合为．【例2】用描述法表示下列集合：(1) 大于且小于的所有自然数组成的集合；(2) 不等式的解集；(3) (阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合)解析 (1) 用描述法表示为；(2) 用描述法表示为；(3)用描述法表示为.【练1】下面三个集合：①；②；③．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解析 (1)它们是互不相同的集合．(2)集合①的代表元素是，满足条件中的，；集合②的代表元素是，满足条件的的取值范围是，；集合③的代表元素是，可以认为是满足的数对的集合，也可以认为是坐标平面内的点构成的集合，且这些点的坐标满足，是抛物线上的点．【练2】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程的解集；(2)大于且小于的所有整数组成的集合．解析 (1)方程的根可以用x表示，它满足的条件是，因此，用描述法表示为；方程的根是，因此，用列举法表示为．(2)大于且小于的整数可以用x表示，它满足的条件是且，因此，用描述法表示为；大于且小于的整数有，因此，用列举法表示为． 【练3】用适当的方法表示下列集合：(1) 所有被整除的整数；(2) 图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)；(3) 满足方程，的所有的值构成的集合.解析 (1)；(2)且；(3)． 【题型1】集合元素的特征【典题1】 下列说法正确的是 (    ) 数学成绩较好的同学组成一个集合； 所有小的正数组成的集合； 集合和表示同一个集合； 这些数组成的集合有五个元素. 解析 由于较好、小的没有一个明确的标准，的对象不具备确定性；中的三个数相等，相等，故集合只有个元素；集合具有无序性，所以是正确的；故选.点拨 1判断一组对象是否能组成集合，关键看是否有明确的判断标准；2集合内元素不能相同. 【巩固练习】1.下列各组对象能构成集合的是(　　)A．充分接近的所有实数  B．所有的正方形C．著名的数学家          D．1，2，3，3，4，4，4，4答案 解析 选项不满足集合的确定性；集合正方形是确定的，故能构成集合；选项不满足集合的互异性．故选：．2.集合中的不能取得值是(     )A.2             B.3                C.4               D.5答案  解析 根据集合元素的互异性，，可以把四个选项代入集合用排除法. 【题型2】元素与集合的关系【典题1】 设集合.(1)试判断元素与集合的关系；(2)用列举法表示集合.解析 (1)当时，满足，而，故；当时，满足，且，故；(2)根据题意，，，又因，，且是的整数倍，或或，或或，集合．点拨 看集合先看元素类型，确定元素要满足的所有条件.  【巩固练习】1.设不等式的解集为，下列关系中正确的是(　　)A．      B．    C．     D．答案 解析 当时，，所以；当时，，所以．2.已知集合，且，，则(　　)A．      B．    C．     D．答案 解析 ，，，解得，故选：． 3.已知且，则由的值构成的集合是        . 答案 解析 ，；或，解得，故答案：． 4.已知集则       .答案 解析 集合． 5.设集合．(1)试判断元素与集合的关系；(2)用列举法表示集合．答案 (1)  (2)解析 (1)当时，．当时， ．因此．(2) ，只能取．只能取，. 【题型3】综合应用【典题1】 若集合至多有一个元素，则的取值范围是　　 ．解析 集合至多有一个元素，或解得或的取值范围是．故答案为：．点拨  注意不一定是二次函数，需要分和进行讨论. 【典题2】已知由实数构成的集合满足条件：若则则集合中至少有几个元素？证明你的结论．解析 设集合中有元素，，则，进而有又有 假设则，矛盾，类似方法可证、、和四个数互不相等，这就证得集合中至少有四个元素．点拨 设后，根据题意依次得到，，，且四个数形成一个“循环”，此时，但最后要注意集合的互异性，进行检查. 【巩固练习】1.若集合则实数的取值集合为(　　)   答案 解析 当时，不等式等价于，此时不等式无解；当时，要使原不等式无解，应满足即解得；综上，的取值范围是．故选：．2.已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对，集合中的元素个数为，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．答案 集合不具有性质，，.解析 由定义知，对于任意的，总有，则称集合具有性质，对集合，当时，的相反数，故集合不具有性质；对于集合，，，，，，，故集合具有性质．其相应的集合和分别是：，．