1.2 集合间的基本关系-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

集合间的基本关系子集① 概念对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集(). 记作：(或)，读作：包含于，或包含. 当集合不包含于集合时，记作(或).② 图 【例】已知集合，，判断集合的关系．解析 ，且，的可能取值为．．又，分别是．．．【练】若集合，且，则集合可能是       (　　)A．          B．       C．            D．解析 因为集合集合，且，所以集合是集合的子集，当集合时，满足题意，当集合时，，不满足题意，当集合时，，不满足题意，当集合时，，不满足题意，故选． 真子集概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集.记作：(或)   (有些地方用或表示)读作：真包含于(或真包含) 类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等；Eg：是对的，而是错的，若，则也成立；对比下，是对的，但是错的，若，则也成立.【例】若，则满足条件的集合的个数是(　　)A．           B．                C．                 D．解析 ，集合中除了含有两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，因此满足条件的集合为，，，，，，共个．故选：．【练】已知集合，且中至少含有一个奇数，则这样的集合有      个. 解析 集合，，，，，，，．中至少含有一个奇数，，，．这样的集合有个．故选． 集合相等如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等．即 且.【例】如果，，那么(　　)A．真包含于   B．真包含于    C．     D．与没有交集解析 当为偶数，设，，则，当为奇数，设，，则，集合和的元素相同，．故选：【练】集合，，，则的关系(　　)A．   B．   C．   D．解析 ，，，故，故选. 几个结论① 空集是任何集合的子集：； ② 空集是任何非空集合的真子集； ③ 任何一个集合是它本身的子集； ④ 对于集合，如果且，那么；⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.【例】求集合的子集和真子集.解析 集合的子集是，共个；集合的子集是，共个；【练】求集合的子集和真子集.解析 集合，集合的子集是，共个；集合的子集是，共个； 【题型1】判断集合间的关系【典题1】 指出下列各对集合之间的关系：，；是菱形，是平行四边形；，；，．解析 集合的代表元素是数，集合的代表元素是抛物线上的点，故与之间无包含关系． 菱形是特殊的平行四边形，故．集合，，用数轴表示集合如图所示，由图可知．由列举法知，，故． 点拨  先分析集合元素的特征，若元素不同类肯定无包含关系，若元素同类则化简集合后再由判断. 【典题2】 集合，，，则的关系(　　)A．  B．  C．  D．解析 方法1 把每个集合用列举法表示， ，，，故，故选.方法2 设，，，其中；，则；，则，故.，则，不一定属于；故，故选.方法3 集合与的元素均是被除余，则；集合的元素是偶数，而集合元素是.点拨  方法1利用列举法通过观察确定集合关系，不够严谨；方法2利用严谨的推理得到关系，略显抽象；方法3从“余数”的角度处理较为简洁. 【巩固练习】1.以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；正确的个数有(　　)A．个        B．个     C．个     D．个答案 解析 对于①：是集合与集合的关系，应该是；①不对．对于②：空集是任何集合的子集，应该是；②对．对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，；③不对．对于④：根据集合的无序性可知；④对．对于⑤：是一个空集合，表示没有任何元素，应该是；⑤不对．正确的是：②④．故选：．2.指出下列各对集合之间的关系：(1)，；(2)是等边三角形，是等腰三角形；(3)，；(4)，．答案 (1) 无包含关系 (2)   (3)   (4) 解析 (1)集合的代表元素是数，集合的代表元素是有序实数对，故与之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故．(3)集合，用数轴表示集合如图所示，由图可知．(4)由列举法知，，故．3.已知集合若则与的关系是(　　)        不能确定答案  解析 ，显然的分子为奇数，，显然的分子为整数，集合的关系为，故选：． 【题型2】求已知集合的子集或真子集【典题1】 集合，则的非空真子集的个数是(　　)A．个 B．个 C．个 D．个解析 由题意集合且 ，由对于含有个元素的集合，利用公式计算出的非空真子集个数，的非空真子集的个数是，故选：． 点拨  先化简集合，确定集合的元素个数，利用公式求解. 【巩固练习】1.集合的非空真子集的个数(　　)A．16个       B．15个      C．14个      D．13个答案  解析 集合有个元素，则集合有个子集，故集合的非空真子集的个数为；故选．2.定义集合且，若，，则的子集个数为         .答案  解析 由题意：，故其子集为，，，，个数为.3.已知集合，则的子集个数为         答案  解析 集合，，中含有个元素，集合的子集个数有． 【题型3】综合应用【典题1】 已知集合，，且，则实数       解析 解方程：，得：或，即集合，又，①当，即时，满足题意，②当，即，即时，满足，③当，即，即时，满足，综合①②③得：或或，故选：．  点拨  注意不用漏了的情况；求解方程，注意的情况. 【典题2】已知集合．若，求实数的取值范围；若求实数的取值范围．解析 集合，，解得：，实数的取值范围为；，①当时，，即，②当时解得：，综上所述，实数的取值范围为：．点拨 若集合，即；对于涉及不等式的集合关系，可画数轴了解其关系. 【巩固练习】1. 已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是(    )A． B． C． D．答案  解析 ，，，故选．2.若集合，且，则      ．答案  解析 ．因为，所以方程的解可以是或或无解．当的解为时，由得；当的解为时，由得；当无解时，．综上可知，的值为或或．3.已知集合，集合．若，则实数的取值范围是________．答案  解析 集合，集合，，当时，，．当时，有且且，解得．综上，的范围为．