2.2 基本不等式-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

基本不等式1 基本不等式若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).① a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数.② 基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.【例1】求函数y=x+1x(x0,b>0的前提条件！正解 ∵x0 ,-1x>0，∴-x+-1x≥2-x∙-1x=2 (当x=-1取到等号)∴x+1x=--x-1x≤-2，故函数y=x+1x(x1)的最值.误解 y=x+1x-1≥2x∙1x-1误解分析 套用基本不等式a=x ,b=1x-1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为ab=x∙1x-1不是一定值.正解 y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2x-1∙1x-1+1=3.(当x=2时取到等号)(通过凑项得到定值“x-1∙1x-1=1”)故函数y=x+1x-1(x>1)的最小值为2，没有最大值.【例3】求函数y=x2+5x2+4的最值.误解 y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2x2+4∙1x2+4=2，即最小值为2.误解分析 在误解中把a=x2+4 ,b=1x2+4，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若a=b，则x2+4=1x2+4⇒x2+4=1⇒x2=-3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明x2+4+1x2+4>2，那它有最小值么？(正解看下文^_^)2 基本不等式及其变形21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 (当且仅当a=b时等号成立)(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.① a+b≥2ab，积定求和；② ab≤a+b22，和定求积：③ a2+b2≥a+b22 (联系了a+b与平方和a2+b2)④ ab≤a2+b22 (联系了ab与平方和a2+b2)【例1】若a>0，b>0，ab=4，求a+b的最小值.解析 因为a+b≥2ab=4(当a=b=2时取到等号)，所以a+b的最小值是4. 【例2】若a>0，b>0，a+b=4，求ab的最大值.解析 因为ab≤a+b22=4(当a=b=2时取到等号)，所以ab的最大值是4. 【练1】 若ab=2，求3a+3b的最小值.解析 3a+3b≥2∙3a∙3b=2∙3a+b=2×3=6(当a=b=2时取到等号).【练2】 若a+2b=2，求ab的最大值.解析 因为ab=12a∙2b≤12∙a+2b22=12(当a=1,b=12时取到等号)，所以ab的最大值是12. 3 对勾函数① 概念 形如y=x+ax(a>0)的函数.② 图像 ③ 性质 函数图像关于原点对称，在第一象限中，当00时，x=a时取到最小值ymin=2a，其与基本不等式x+ax≥2x∙ax=2a (x=a时取到最小值)是一致的.【例】求函数y=x2+5x2+4的最值.解析 y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4，令t=x2+4，则t≥2，因为对勾函数y=t+1t在[2 , +∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52.故y=x2+5x2+4的最小值为52，无最大值.【练】求函数y=x+4x，(12≤x≤4)的最大值与最小值.解析 函数y=x+4x是对勾函数，由其图象可知，当x=12时取到最大值172，当x=2时取到最小值4.基本不等式常见的解题方法方法1 直接法【典题1】 下列命题正确的是(　　)A．函数y=x+1x的最小值为2 B．若a ,b∈R且ab>0，则ba+ab≥2C．函数x2+2+1x2+2的最小值为2 D．函数y=2-3x-4x的最小值为2-43解析 A错误，当x0，所以ba>0 ,ab>0，且ba+ab≥2；C错误，若运用基本不等式，需x2+22=1，x2=-1无实数解；D错误，y=2-3x+4x≤2-43 答案：B点拨 注意理解使用基本不等式a+b≥2ab的六字真言“一正二定三等”.【巩固练习】1.已知x>0 ,y>0，且1x+9y=1，则xy的最小值为 答案 36解析 ∵x>0，y>0，且1x+9y=1，由基本不等式可得1≥29xy，当且仅当1x=9y=12即x=2，y=18时取等号，解可得xy≥36，即xy的最小值36．2.下列命题中正确的是(　　)A．若a，b∈R，则ba+ab≥2ba⋅ab=2 B．若x>0，则x+1x>2 C．若x0，则x+1x≥2，C选项应该为≤，故选：D．方法2 凑项法【典题1】 函数y=2x+2x-1(x>1)的最小值是(　　)A．2 B．4 C．6 D．8解析 因为y=2x+2x-1(x>1)=2(x-1)+2x-1+2≥22(x-1)⋅2x-1+2=6，当且仅当2(x-1)=2x-1即x=2时取等号，此时取得最小值6．故选：C．点拨 本题不能直接使用基本不等式，因为2x×2x-1不是定值，故通过凑项，得到2x-1⋅2x-1=4定值.【巩固练习】1.若x>0，则函数y=x+12x+1的最小值为(　　)A．2+12 B．2-12 C．2+1 D．2-1答案 B解析 x>0，函数y=x+12x+1=(x+12)+(12x+12)-12≥212-12=2-12，当且仅当x=2-12时取等号．∴函数y=x+12x+1的最小值为2-12．故选：B．2.若a ,b>0 ,ab+2a+b=4，则a+b的最小值为(　　)A．2 B．6-1 C．26-2 D．26-3答案 D解析 ∵a ,b=R* ,ab+2a+b=4，∴b(a+1)=4－2a，∴b=4-2aa+1=-2a-4a+1=-2(a+1)-6a+1=-2+6a+1，∴a+b=a-2+6a+1=a+1+6a+1-3 ∵a>0 ,b>0，∴a+b≥2(a+1)⋅6a+1-3=26-3 当且仅当a+1=6a+1即a=6-1时″=″，故选：D． 方法3 凑系数法【典题1】 当02，则函数y=x2-4x+8x-2的最小值是 . 解析 y=x2-4x+8x-2=(x-2)2+4x-2=(x-2)+4x-2，∵x>2 ,∴x-2>0，∴y=(x-2)+4x-2≥2(x-2)4x-2=24=4，当且仅当x-2=4x-2，即x=4时取等号，故最小值为4． 点拨 该题型属于形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f的最值问题，常用换元法与基本不等式处理.【巩固练习】1.若x>1，则y=x-1x2+x-1的最大值为(　　)A．16 B．14 C．15 D．13答案 C解析 令t=x-1，则x=t+1，t>0，原式=t(t+1)2+(t+1)-1=tt2+3t+1=1t+1t+3≤12t⋅1t+3=15，当且仅当t=1即x=2时等号成立，故选：C．2.若a ,b∈R*，a+b=1，求a+12+b+12的最大值.答案 2解析 设s=a+12 ,t=b+12，则a=s2-12 , b=t2-12，∵a+b=1 ∴s2+t2=2∴s+t2≤s2+t22=1⇒s+t≤2，即a+12+b+12≤2.