2.1 等式性质与不等式性质-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

等式性质与不等式性质1等式的性质(1)如果，那么；(2)如果，，那么；(3)如果，那么；(4)如果，那么；(5)如果，，那么.2不等式关系与不等式① 不等式的性质(1) 传递性：；(2) 加法法则：；(3) 乘法法则：；     (4) 倒数法则：；(5) 乘方法则：.【例1】证明：若，，则.证明 若，，则,,，即.【例2】已知且，则      (   )A、              B、  C、              D、解析 且，，，，又，，，，又, ，成立，故选.【练】若，则下列不等式中不成立的是(　　)   ，，．因此不正确．故选：．② 比较大小(1) 作差法(与的比较)(2) 作商法(与比较)【例】比较与的大小.解析 ，.【练】已知，，则(　　)                            的大小与的取值有关，故，故选：．  【题型1】不等式性质的运用【典题1】已知，，求证：.证明 ，，，，，即，.，即. 点拨 证明过程中，多尝试利用分析法求解， 即要证明只需要证明. 【典题2】若，则下列结论不正确的是(   )A．      B．    C．   D．解析 方法1 因为，所以 ，则，且，故选项正确，而，故错误.方法2 取特殊值排除法因为，所以可令，显然均对，错，故选.点拨 选择题可采取排除法！ 【典题3】已知，，求取值范围．解析 方法1 ，即，检验可得两个等号均可取，.方法2 设，，则，，，，，，又，，即.点拨 方法中特别注意严谨性，要注意等号是否取到，比如当时，，即而不是；方法2利用换元法，取到等号的问题变得简洁些了！ 【巩固练习】1.对于实数，下列结论中正确的是    (   )A．若，则        B．若，则C．若，则         D．若，，则答案 解析 对于，，若，则，故错；对于，，取，即，故错；对于，，取，即，故错；对于，若，则，又，所以所以，又，所以，故正确.2.已知，那么下列不等式中正确的是(    )A．     B．        C．       D．答案 解析 由题根据不等式的性质，选项，数的正负不明，错误；而选项，无论取任何数都成立.3.若，则下列结论不正确的是(　　)     C． D．答案 解析 ，，，．设，时，与矛盾．因此只有错误．故选：．4.若，且则下列不等式中，一定成立的是(　　)   答案 解析 ，．又，．故选：．5.实数满足，则下列不等式正确的是(　　)       答案 解析 ，错误，比如，得出；，，该选项正确；错误，比如|时，；时，，，该选项错误．故选：．6.若，则的取值范围是________．答案 解析  ，，，又，，的取值范围是．7.已知，，求证：.解析 由，得，所以，所以. 【题型2】 比较大小【典题1】 设，则的大小关系为          ．解析 ，，，． 【典题2】已知，，，则正确的结论是(　　)                   与的大小不确定解析 方法一 特殊值法取特殊值，令，则，，易知, 排除，还不能排除，猜测选.方法二 做差法，分析法要比较大小，只需要比较的大小 (遇到二次根式可考虑平方去掉根号)而显然，故，故，故选.方法三 共轭根式法，，，，，即，故选.点拨1.比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法；2.方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨；3.方法三中注意到.若，互为共轭根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点.. 【典题3】已知，试比较与的大小．解析 方法1 作差法 ，(作差法，确定差，由于，只需要判断)当时，，，则，即；当时，，则，即．综上可得时，；时，．方法2 作商法， (确定与的大小只需要确定与的大小)当时，，则；当时，，则．综上可得时，；时，．点拨 比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较与；多项式形式常用做差法，比如比较与. 【巩固练习】1已知，，则(　　)                  的大小与的取值有关答案 解析 ，故，故选：．2.已知，则与的大小关系是(    )A．       B．       C．       D．无法确定答案 解析 方法一 取特殊值排除法，令，很容易得到.方法二 .3.若A，，则的大小关系为　   　．答案 解析 ，，由，可得，4.比较下列各组中两个代数式的大小：与；(2)已知为正数，且，比较与的大小．解析 ，. ，，，且，，.，即.