3.2.1 函数的单调性与最值 -【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数的单调性与最值 1 函数单调性的概念(1)增函数和减函数一般地，设函数的定义域为，区间:如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.      注 ① 在上单调递减，但它不是减函数.② 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的有三个特征：一是任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．【例】 若函数的定义域为且满足，则函数在上为  (　　)A．增函数  B．减函数   C．先增后减        D．不能确定  (2) 单调性如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间．注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.② 有的函数无单调性．如函数，它的定义域是，但无单调性可言．【例】说下函数的单调性. 【练】函数的单调递减区间是(　　).A．  B．  C． D．   2 单调性概念的拓展① 若递增，，则.② 若递增，，则.递减，有类似结论！【例】若递增，比较与大小. 【例】若递增比较与大小. 3 判断函数单调性的方法① 定义法解题步骤(1) 任取，且；(2) 作差；(3) 变形(通常是因式分解和配方)；(4) 定号(即判断差的正负)；(5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．② 数形结合③ 性质法增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数；但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是.④ 复合函数的单调性(1)如果则称为的复合函数；比如：  (和的复合函数)；(和的复合函数)；   (和的复合函数).(2) 同增异减设函数的值域是，函数若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增；若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减.4 函数的最值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1) ，都有；(2)，使得；那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.【例1】下图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值．  【例2】求函数在区间上的最大值和最小值.    【练】求函数在区间上的最大值和最小值.       【题型1】判断函数单调性的方法方法1 定义法【典题1】 判断在的单调性.       方法2 数形结合【典题1】 求下列函数的单调区间．(1) ；(2) ．       方法3 复合函数的单调性【典题1】 函数的单调减区间为          .      【巩固练习】1.在区间上不是增函数的函数是 (    )A． B． C． D．2.函数的递减区间为(　　)   3.函数的单调增区间是        . 4.函数的单调递增区间是        .5.试用函数单调性的定义判断函数在区间上的单调性．     【题型2】函数的最值【典题1】函数的值域为       .      【典题2】若函数在上的最小值为．则      .         【巩固练习】1.函数在区间上的最大值、最小值分别是(　　)A．       B．    C．     D．最小值是，无最大值2.函数在区间上的最小值为　　     ．3.已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)求函数的最小值为．     【题型3】参数范围【典题1】若是上的单调减函数，则实数的取值范围为　 　．    【典题2】已知函数的定义域和值域都是，则实数的值为　 　．      【巩固练习】1.已知函数是上的增函数，则(　　)A． B． C． D．2.已知函数，若则实数的取值范围是(    )     A      B      C     D 3.函数在上是增函数，则的范围为          . 4.若函数的定义域，值域为，则的取值范围是     .