专题02 《二次根式》计算、解答题重点题型分类- 2022-2023学年八年级数学下册拔尖题精选精练（人教版）

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专题02 《二次根式》计算、解答题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《二次根式》中“二次根式的性质与化简”、“二次根式的乘除法”、“二次根式的加减法”、“二次根式的混合运算”、“二次根式的化简求值”计算、解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：二次根式的性质与化简
方法点拨：（1）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（2） 化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
1．化简：
（1） （2） （3） （4） （5）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）13；（5）
【分析】先将被开方数进行因数分解或因式分解，再应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关求解方法．
2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：


化简：
【答案】0
【分析】由三个数在数轴上的位置即可确定它们的符号及大小关系，从而可确定a－b及c－a的符号，最后可化简绝对值与二次根式，从而可求得结果．
【详解】由数轴知：
∴，
∴
＝－b－（a－b）－（c－a）－（－c）
＝－b－a＋b＋a－c＋c
＝0
【点睛】本题考查了算术平方根的性质、绝对值的化简、数轴上数的大小关系等知识，注意：当a为负数时，．
3．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简代数式．

【答案】
【分析】根据题意得： ，可得 ，然后根据二次根式的性质化简原式，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴


．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，有理数的大小比较，根据题意得到 是解题的关键．
4．已知，化简：．
【答案】5
【分析】先解不等式组可得则有再化简二次根式即可得到答案.
【详解】解：，




【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，二次根式的化简，解本题的关键是得到“ ”.
5．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：


以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简； （2）化简；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先根据二次根式的性质，得到，再由分母有理化的步骤进行化简，即可求解；
（2）根据分母有理化的步骤进行化简，即可求解．
【详解】（1）；
（2）．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，明确题意，理解分母有理化的步骤是解题的关键．
6．先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以
（1）根据上述方法化简：
（2）根据上述方法化简：
（3）根据上述方法化简：
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】根据题意把题目中的无理式转化成的形式，然后仿照题意化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（3）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键．
7．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简： ， ；
（2）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】（1）；（2）的值为46或14
【分析】（1）根据题意利用完全平方公式和二次根式的性质进行求解即可；
（2）由，可得，，则，再根据，，为正整数，可得，或，，由此求解即可．
【详解】解：（1）；
．
故答案为：，；
（2）∵，
，，
∴
又∵，，为正整数，
，或，，
∴当，时，；
当，时，．
综上所述，的值为46或14．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和二次根式的性质化简，解题的关键在于能熟练掌握完全平方公式．
8．（阅读材料）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（问题解决）
（1）若a+b（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
（拓展延伸）
（3）化简　 ．
【答案】（1）m2+5n2，2mn；（2）当m=1，n=2时，x=13；当m=2，n=1时，x=7；（3）．
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到4＝2mn，利用x、m、n均为正整数得到或，然后利用x＝m2+3n2计算对应x的值；
（3）设m+n，两边平方，可得消去n得，可求m=或m=即可．
【详解】解：（1）设a+b＝（m+n）2＝m2+5n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），
则有a＝m2+5n2，b＝2mn；
故答案为m2+5n2，2mn；
（2）∵
∴4＝2mn，
∴mn＝2，
∵x、m、n均为正整数，
∴或，
当m＝1，n＝2时，x＝m2+3n2＝1+3×4＝13；
当m＝2，n＝1时，x＝m2+3n2＝4+3×1＝7；
即x的值为为13或7；
（3）设m+n，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴（m2-2）（m2-3）=0，
∴m=,m=，
∴，．
∴或
∴，．
故答案为．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一元高次方程，二元方程组，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
考点2：二次根式的乘除法
方法点拨：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
1．计算
（1）；
（2）×；
（3）3×÷2；
（4）；
【答案】（1）12；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；
（2）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；
（3）先化简二次根式，根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；
（4）根据二次根式除运算法则转化为乘法计算，再化简即可．
【详解】解：（1）原式=
=；
（2）原式=
=；
（3）原式=
=
=；
（4）原式=，
=．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
2．若，求的值．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式组，根据解不等式组，可得x，根据x的值可得y的值，再根据二次根式的除法，可得答案．
【详解】因为，所以2x-3≥0,3-2x≥0，即x=，y=,
则=.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．
3．已知：，，求：的值．
【答案】4
【分析】根据二次根式分母有理化计算即可；
【详解】解：，
，
原式，
；
【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化和乘除运算，准确化简是解题的关键．
4．若和的小数部分分别是a和b，求的值
【答案】
【分析】先求出9和9的小数部分，得到a，b的值，再代入求值即可．
【详解】∵
∴9+的整数部分是12，9的整数部分是5，
∴9的小数部分是9-12=，9的小数部分是95=4，
∴a3，b=4，
∴原式=（3）（43）-3（4）-12
=413﹣12+3412-12+3
=．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数都可以写成整数部分+小数部分的形式，从而得到小数部分＝这个无理数﹣整数部分，这是解题的关键．
5．已知二次根式．
（1）如果该二次根式，求的值；
（2）已知为最简二次根式，且与能够合并，求的值，并求出这两个二次根式的积．
【答案】（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5．
【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可；
（2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案．
【详解】解：（1）∵
∴a+2=32
解得a=7
（2）化简，得
∵为最简二次根式，且与能够合并
∴
解得a=8
∴两个二次根式的积为.
【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
6．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下部分的面积．

【答案】
【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，进而可得大正方形的边长，再利用大正方形的面积减去两个小正方形的面积列式计算即可求得答案．
【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴这两个小正方形的边长分别为cm和cm，
∴大正方形的边长是，
∴留下部分（即阴影部分）的面积是


，
答：留下部分的面积为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
7．在平面直角坐标系中，对于点和线段，我们定义点关于线段线段比．已知点，．
（1）点关于线段的线段比 ；
（2）点关于线段的线段比，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）求出、、，根据线段比定义即可得到答案；
（2）方法同（1），分和讨论．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，，
根据线段比定义点关于线段的线段比；
故答案为：；
（2）∵，，，
∴，，，
，，
当时，，即，
由关于线段的线段比可得：，
解得或（舍去），
∴，
当时，，即，
由关于线段的线段比可得：，
解得（舍去）或，
∴，
综上所述，点关于线段的线段比，或．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．
8．先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，即，，那么便有
例如：化简：
解：首先把化为，这里，
因为，
即，
所以
根据上述方法化简：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】根据，，即，代入计算即可；
【详解】（1）根据题意，可知，，因为，，
即，，
所以；
（2）根据题意，可知，，因为，
即，，
所以．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，准确计算是解题的关键．
9．材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π，等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的．
材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如，是因为．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值．
（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．
【答案】（1）4，；（2）13；（3）
【分析】（1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分；
（2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；
（3）先求出的整数部分，得到3+的整数部分即为x的值，从而表示出y，求出x+4y的结果，再求x+4y的倒数即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是-4，
故答案为：4，；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴a=6，b=7，
∴a+b=13；
（3）∵1＜＜2，
∴1+3＜3+＜2+3，
∴4＜3+＜5，
∴x=4，
y=3+-4=，
x+4y=4+4(-1）=4，
∴x+4y的倒数是．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，以及估算无理数的大小，在确定形如（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根．
考点3：二次根式的加减法
方法点拨：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
1．计算：（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算；
（2）根据绝对值、化简二次根式、立方根可直接进行求解．
【详解】解：（1）原式=；
（2）原式=．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
2．计算或化简下列各题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；
（2）去掉绝对值符号，根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式＝
＝；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．
3．先化简再求值：当时，求的值．
【答案】
【分析】本题应先根据二次根式的性质把原式进行化简，再将a的值代入即可求解．
【详解】解：当a=时，a-1＞0，
∴原式=
=a+(a-1)
=2a﹣1
∴原式=2﹣1．
故答案为：2a﹣1；
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简求值，熟知二次根式的性质是解题的关键．
4．已知y＝﹣，化简﹣．
【答案】
【分析】先根据已知条件判断出 ， ，再根据 ， 化简 即可．
【详解】
解： ，
， ，
，




．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质： ．
5．嘉琪准备完成题目“计算：（■﹣5）﹣（﹣）”时，发现“■”处的数字印刷不清楚，
（1）他把“■”处的数字猜成6，请你计算（6﹣5）﹣（﹣）的结果．
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是．”通过计算说明原题中“■”是几？
【答案】（1）；（2）原题中“■”是
【分析】（1）先去括号，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）将原式进行整理，设“■”为，然后根据标准答案是列方程求解即可．
【详解】解：（1）（6﹣5）﹣（﹣）
＝
＝；
（2）设“■”为，
则原式＝，
∴，
解得：，
∴原题中“■”是．
【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．阅读下列内容：因为，所以，所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题：
（1）求的整数部分和小数部分；
（2）若已知的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【答案】（1）的整数部分是3，小数部分为；（2）的值为．
【分析】（1）估算无理数的大小即可；
（2）估算无理数，8+，8-的大小，确定a、b的值，代入计算即可．
【详解】解：（1）∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分为-3；
（2）∵3＜＜4，
∴11＜8+＜12，
∴8+的小数部分a=8+-11=-3，
∵3＜＜4，
∴-4＜-＜-3，
∴4＜8-＜5，
∴8-的整数部分是b=4，
∴ab-3a+4b
=（-3）×4-3×（-3）+4×4
=4-12-3+9+16
=+13，
答：ab-3a+4b的值为+13．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．
7．先观察下列等式，再回答问题
①；
②；
③．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想=_____=______;=________=________．
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
【答案】（1），，，；（2）
【分析】（1）利用题中等式的计算规律得到的结果为，的结果为；
（2）第个等式的左边为，等式右边为1与的和．
【详解】解：（1）；
；
故答案是：，，，；
（2）通过观察等式右边为1与的和，
故第个等式为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法：解题的关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
8．观察下列一组等式，解答后面的问题：
﹣1，

应用计算：
（1）利用上面的方法进行化简：；
（2）归纳：根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：＝　 　；
（3）拓展：＝　 　．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）分子分母都乘以（−），然后利用平方差公式计算；
（2）利用题中的计算结果和（1）小题的计算结果找出规律求解；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】解：（1）原式＝；
（2）原式＝；、
故答案为：；
（3）原式＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法是解决问题的关键．
考点4：二次根式的混合运算
方法点拨：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
　　(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
1．计算：
（1）（＋3）（ −5）
（2）（＋）（−）
（3）（3＋）×（−4）
（4）（2−3）2018×（2＋3）2018
【答案】（1）−13−2（2）2（3）-30（4）1
2．已知，求代数式的值．
【答案】．
【分析】先将代数式配方，然后再把代入要求的代数式中进行求解即可．
【详解】解：
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和二次根式的混合计算法则．
3．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A所表示的数为﹣，设点B所表示的数为m．

（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|＋（2﹣）（4﹣m）的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，可得，再由点A表示的数为，点B表示的数为m，即可得到，由此求解即可；
（2）根据（1）求出的结果，代入m的值，根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：，
∵点A表示的数为，点B表示的数为m，
∴，
∴；
（2）∵
∴



．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够根据题意求出．
4．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（+1）米，宽为（﹣1）米．

（1）长方形ABCD的周长是 　 　米；
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）
【答案】（1）（2）元
【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可；
（2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案.
（1）
解： 长方形绿地的长BC为米，宽AB为米，
长方形的周长为：，
答：长方形的周长为：米.
故答案为：
（2）解：通道的面积为：


通道要铺上造价为6元/m2的地砖，则购买地砖需要花费：
，
答：购买地砖需要花费600元.
【点睛】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的的化简与运算是解本题的关键.
5．阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；
还可以用以下方法分母有理化：．
（1）请用不同的方法分母有理化：；
（2）化简：．
【答案】（1），见解析（2）1
【分析】（1）法一：原式；法二：，进行求解即可；
（2）：原式化简求解即可．
（1）解：法一：

；
法二：


；
（2）解：原式

．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的将分式中的分母有理化．
6．在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化．比如：
（1）；
（2）．
试试看，将下列各式进行化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）2
【分析】（1）根据第一个例子可以解答本题；
（2）根据第二个例子和平方差公式可以解答本题；
（3）根据第二个例子和平方差公式把原式化简，找出式子的规律得出结果即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）
＝，
＝，
＝，
＝3－1
＝2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化和平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法．
7．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下方法将其进一步化简：，化简：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用分母有理化的形式进行化简；
（2）先把各分母提，然后分母有理化，最后进行二次根式的乘法运算．
【详解】解：（1）；
（2）



．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．
8．阅读下面式子：．根据以上解法，试求：
（1）（为正整数）的值；
（2）的值．
【答案】（1）；（2）9
【分析】（1）由题意根据材料所给出的解法进行分析计算求解即可；
（2）根据题意直接依据材料所给出的解法得出规律进行计算即可.
【详解】解：（1）；
（2）


.
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键.
考点5：二次根式的化简求值
方法点拨： （1）数形结合法：用坐标轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标。
（2）公式法：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用公式，快速求解。
（3）换元法：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解。
（4）整体代入法：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入。
（5）配方法：通过一系列变形、化简、凑元，将所求配成公式，利用公式进行求解。
（6）辅元法：根据已知条件，取大于0数值替代已知某变量，并通过相互关系，转换成该数值关系，快速求解。
1．若，，求的值．
【答案】
【分析】先提取公因式将原式变为，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴




．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解和二次根式的相关计算法则．
2．已知求的值．
【答案】
【分析】根据分式的性质将原式化简，然后代入求值即可．
【详解】解：原式=
=
∵，
∴原式＝==．
【点睛】本题考查了分式加法，二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，运用整体的思想解题是关键．
3．已知：，求下列代数式的值．
（1）
（2）
【答案】（1）10
（2）10
【分析】（1）把x与y的值代入x+y中，利用同分母分数的加法法则：分母不变只把分子相加，抵消合并后即可得到最好结果；把x与y的值代入xy中，利用平方差公式计算后即可得到结果；把x2+y2变形为，再代入x+y和xy的值即可；
（2）把所求式子通分后，将x2+y2及xy的值代入即可求出值．
（1）∵，

∴
（2）

【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，以及代数式的值，二次根式的加减运算实质是合并同类二次根式，合并同类二次根式首先把所有项化为最简二次根式，找出被开方数相同的项即为同类二次根式；二次根式的乘除运算应按照法则进行计算，运算的结果要化为最简二次根式．有时借助完全平方公式及平方差公式来简化运算．
4．已知且，求的值．
【答案】
【分析】根据完全平方公式可得，然后由题意及平方差公式可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式及因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键．
5．已知a＝2+，求a2﹣4a﹣1的值．
【答案】8．
【分析】先化简，再代入求值．
【详解】，
，
，
当时，
原式，
．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键．
6．解答题
（1）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．

（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据数轴上a、b、c的位置判断出各个式子的正负后进行化简；
（2）先分别求出x+y和xy的值，原式进行变形后，将x+y和xy的值代入即可；
【详解】（1）由数轴可知：，，，
原式


．
（2），

，
，


．
【点睛】本题考查利用数轴进行代数式的化简求值，解题的关键是判断出每个式子的正负；也考查二次根式的化简求值以及利用完全平方式进行整式的化简，解题时注意，灵活应用公式，切忌把x、y直接代入求值．
7．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
， ，
  ，  
．
请你根据小明的解析过程，解决如下问题：
（1）                   ；
（2）化简  ；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）15；（3）5
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为，进而可得到，以及，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）原式



；
（3），
，
，
即．
．





．
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
8．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab = -3 ，求 a2 + b2 ．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则 a 2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = x2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：
（2）已知 m 是正整数， a =，b =且 2a2+ 1823ab + 2b2 = 2019 ．求 m．
（3）已知，则的值为
【答案】（1）；（2）2；（3）9
【分析】（1）先将式子的每一项进行分母有理化，再计算即可；
（2）先求出的值，再用换元法计算求解即可；
（3）先利用计算得出的值，再对进行变形求解即可；
【详解】
解：（1）原式

（2）∵a =，b =
∴
∵2a2+ 1823ab + 2b2 = 2019
∴
∴
∴
∴2
∵m 是正整数
∴m=2．
（3）由得出
∴
∵
∵
∴．
【点睛】本题考查的知识点是分母有理化以及利用换元思想求解，解此题的关键是读懂题意．理解分母有理化的方法以及利用换元方法解题的方法．
9．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
====．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】根据题目给出的方法即可求出答案．
【详解】(1);
(2) ;
(3)∵，
∴，，
∴
又∵为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，，
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
10．阅读下列材料，完成相应任务：
卢卡斯数列
法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第个数可以表示为，其中．
（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．）

任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数________，第2个数________；
（2）求卢卡斯数列中的第3个数；
（3）卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：________．
【答案】（1）2；1；（2）3；（3）7．
【分析】（1）分别把n=1、n=2代入式子化简求得答案即可；
（2）分别把n=3代入式子化简求得答案即可；
（3）根据卢卡斯数列的重要特征，分别写出、、即可．
【详解】（1）当时，，
当时，，
故答案为：2；1；
（2）


；
（3）根据卢卡斯数列的重要特征：当时，满足，
，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．