专题04 《勾股定理》解答题、应用题重点题型分类- 2022-2023学年八年级数学下册拔尖题精选精练（人教版）

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专题04 《勾股定理》解答题、应用题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《勾股定理》中“旋转问题”、“关于翻折问题”、“关于最短性问题”、“关于勾股定理在实际中的应用”、“勾股定理与分类讨论”选择、填空重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：旋转问题
方法点拨：对于条件较为分散而题中又含公共顶点相等的边（一般是相邻的边）时，常采用旋转法，将分散条件集中到一个三角形中去。
1．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=2，AB=，△ACD是等边三角形.

（1）求∠ABC的度数.
（2）以点A为中心，把△ABD顺时针旋转60°，画出旋转后的图形.
（3）求BD的长度.
【答案】解：（1）根据勾股定理求得BC=4,在 Rt△ABC中AC=2∴°；
（2）如图

（3）连接BE.
由（2）知：△ACE≌△ADB
∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC
∴BE= AE=AB=,∠EBA=60°
∴∠EBC=90°
又BC=2AC=4
∴Rt△EBC中，EC=
∴
方法2：过点D作DF⊥BC，交BC延长线于点F，
则求得EF=
BF =5,
∴
方法3：过点D作DG⊥BA，交BA延长线于点G，按照方法2给分．
【解析】（1）利用正切的知识可得出答案．
（2）根据旋转角度、旋转中心、旋转方向找出各点的对称点，顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质可得△ACE≌△ADB，从而确定∠EBC=90°，然后利用勾股定理即可解答
2．如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；
（2）以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；
（3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．

【答案】（1）O(0，0)；90度
（2）见解析
（3）见解析
【详解】（1）图象的旋转可以利用某点的旋转来找到旋转的角度和旋转中心；
（2）根据旋转角度为依次90°、180°，旋转方向为顺时针，旋转中心为点O，从而可分、找出各点的对应点，然后顺次连接即可分别得出旋转后的三角形．
（3）利用正方形的面积的不同计算方法进行验证勾股定理．
解：(1)旋转中心坐标是O(0，0)，旋转角是90度；…2分
(2)画出的图形如图所示；…6分
(3)有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．
∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC，
∴(a＋b)2＝c2＋4×ab，
即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，
∴a2＋b2＝c2．

3．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．

（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；
（2）△PBE是否构成等腰三角形．若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长，直接写出结果）；若不能请说明理由．
【答案】（1）PD=PE，证明见解析；（2）能，CE=1或0或或．
【分析】（1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；
（2）分为点C与点E重合、CE=、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明．
【详解】解：（1）PD=PE．以图②为例，连PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（AAS）
∴PD=PE
（1）能，①当EP=EB时，CE=
②当EP=PB时，点E 在BC上，则点E和C重合，CE=0
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=
若点E在CB的延长线上，则CE=
∴CE=1或0或或．
4．已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点与点O重合并将三角板绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角板的直角边与边AC、BC的交点．

（1）如图①，当点M与点A重合时，求BN的长．
（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），
①猜想图②中、、、之间满足的数量关系式，并说明理由．
②若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你直接写出此时BN的长．
【答案】
【详解】试题分析：（1）连接AN，则AN=BN,利用勾股定理在Rt△CAN中可求出AN的值；
（2）延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，可证△EOA≌△NOB得AE=BN，由垂直平分线性质可得MN=EM，由勾股定理可得，，最后等量代换可得结论．
试题解析：（1）如图，连接AN,则有：AN=BN

在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=
设BN=x,则AN=x，CN=8-x
在Rt△CAN中,AN2=AC2+CN2
∴x2=62+（8-x）2
解得：x= ,
即BC=.
（2）如图，延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，

∵OA=OB，OE=ON，∠EOA=∠NOB
∴△EOA≌△NOB
∴AE=BN，∠EAO=∠B
∵∠B+∠BAC=90°
∴∠EAO+∠BAC=90°
∴
又
又知：EM=MN
∴
②
考点：勾股定理.
考点2：关于翻折问题
方法点拨：（1）标已知、标问题，明确目标在哪个三角形中，设适当的未知数x；（2）利用折叠找全等；（3）将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一三角形中表示出来；（4）利用勾股定理列方程、解方程、得解。
1．如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AB上一点，将△CBP沿CP翻折，点B的对应点B'恰好落在DA的延长线上，且PB'⊥AD，若CD＝3，BC＝4．
（1）求证：∠DCB′＝90°；
（2）求BP的长度．

【答案】（1）见解析；（2）BP＝．
【分析】（1）由折叠的性质可得：PB′＝PB，∠PB′C＝∠B，又由在平行四边形ABCD中，PB′⊥AD，∠D＝∠B，即可求得∠DCB′＝90°；
（2）根据勾股定理求得DB′的长，然后设BP＝x，在Rt△AB′P中，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）由折叠的性质可得：PB′＝PB，∠PB′C＝∠B，
∵四边形ABCD是平行四边形，PB′⊥AD，
∴∠B＝∠D，∠PB′A＝90°，
∴∠D+∠CB′D＝90°，
∴∠DCB′＝90°；
（2）∵CD＝3，BC＝4，
∴AD＝B′C＝BC＝4，
∴DB′＝ ＝5，
∴AB′＝DB′﹣AD＝1，
设BP＝x，则PB′＝x，PA＝3﹣x，
在Rt△AB′P中，PA2＝AB′2+PB′2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴BP＝．
故答案为：（1）见解析；（2）BP＝．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键．
2．在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H(点H与点D不重合)．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．
（感知）（1）如图①，当点H与点C重合时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．
（探究）（2）如图②，当点H为边CD上任意一点时，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由．
（应用）（3）在图②中，当DF=3，CE=5时，直接利用探究的结论，求AB的长．

【答案】[感知] FG=FD，理由见解析；
[探究]成立，理由见解析；
[应用] .
【分析】[感知]运用折叠的性质可证明△AGF≌△ADF，从而得到FG=FD；
[探究] 运用折叠的性质可证明△AGF≌△ADF，从而得到FG=FD；
[应用] 由[探究]中的结论，可设AB=x，则FC=x-3，FE=x，然后在Rt△ECF中，根据勾股定理求解即可.
【详解】[感知]猜想：FG=FD.
证明：如图所示：
连接AF，
由折叠的性质可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
,
∴△AGF≌△ADF，
故可得FG=FD；
[探究] 当点H为边CD上任意一点时，（1）中结论仍然成立.
证明：如图所示：
连接AF，
由折叠的性质可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
,
∴△AGF≌△ADF．
∴FG=FD，
故当点H为边CD上任意一点时，（1）中的结论仍然成立；
[应用]设AB=x，则FC=x-3，FE=x，
在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即x2=（x-3）2+52，
解得x=．
即AB的长为．
【点睛】折叠的性质和勾股定理及直角三角形全等的判定是本题的考点，熟练运用折叠性质证明△AGF≌△ADF是解题的关键.
3．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，求AP的长．

【答案】AP＝4.8.
【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】如图所示，设BE与CD交于点G，

∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.，
根据题意，得△ABP≌△EBP，
∴AP＝EP，∠A＝∠E＝90°，AB＝EB＝8.
在△ODP和△OEG中，
∵ ，
∴△ODP≌△OEG，
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6－x，DG＝x，
∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x，
根据勾股定理，得BC2＋CG2＝BG2，
即62＋(8－x)2＝(2＋x)2，
解得x＝4.8，
∴AP＝4.8.
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
4．已知：如图，在四边形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在边上点处.
（1）求证：；
（2）求的长.

【答案】（1）见解析；（2）5.
【分析】（1）利用平行线的性质及翻折的性质可证明∠CDB=∠CBD，从而证明结论；
（2）利用翻折的性质，然后设，则，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可.
【详解】解：（1）证明：由翻折可知，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由翻折可知，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
即的长是5.
【点睛】本题考查了图形翻折，平行线，勾股定理，熟练掌握翻折、平行线的性质以及利用勾股定理建立方程是解题的关键.
5．如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.

(1)如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= (用含x的代数式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= .
(2)如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；
(3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E. F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长.
【答案】（1），;（2）;（3）
【分析】（1）可得表达式，由折叠可得，然后用勾股定理列方程求解；
（2）首先证明DE=EB，设DE=EB=y，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（3）如图③中，设．首先证明△DFP≌△A′FE，推出，，由，推出，，，在Rt△ECB中，可得，解方程即可.
【详解】解：（1），由折叠可得，
在中，
即，解得
（2）如图②中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴DE=EB，设CE =y，则DE=EB=5−y，
在Rt△BEC中,，
解得，所以CE=
(3)如图③中,设PA=PA′=m.

在△DFP和△A′FE中，

∴，
∴，，
∵，
∴，，，
在Rt△ECB中,，
解得，
∴
【点睛】本题考查勾股定理中的折叠问题，利用折叠的性质，找出线段关系，在直角三角形中利用勾股定理建立方程，是此类问题的通用解法.
考点3：关于最短性问题
方法点拨：（1）分别画出立体图形和对应的平面展开图；（2）制作实体模型；（3）归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性规律，并记录在平面图或模型上。
1．如图：一个圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程（要求画出平面图形）．

【答案】图见解析，蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
【分析】画出展开图，连接AC，线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程，求出展开后AD和CD长，再根据勾股定理求出AC即可．
【详解】解：如图，圆柱侧面展开后连接AC，线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程， 因为圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，
所以图中，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：，
即蚂蚁爬行的最短路程是10cm．

【点睛】本题考查了勾股定理和立体图形展开图，解题关键是把立体图形展开，得到平面图形，根据两点之间，线段最短求解．
2．如图，圆柱的高为16cm，底面半径为4cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，问：蚂蚁至少要爬行多少路程才能食到食物？ （的值取3）

【答案】蚂蚁至少要爬行20cm路程才能食到食物．
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短及勾股定理即可得到结果．
【详解】解：如图，将圆柱体展开，连接A、B，

根据题意可得：AD是圆柱底面圆的周长的一半，BD即为圆柱的高，AD⊥BD
∴，
，
∴蚂蚁至少要爬行20cm路程才能食到食物，
答：蚂蚁至少要爬行20cm路程才能食到食物．
【点睛】本题主要考查了圆柱的展开图，勾股定理的应用，解题的关键在于能够根据题意把圆柱展开，构造直角三角形利用勾股定理求解．
3．如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是多少？

【答案】
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：

如图所示，∵它的每一级的长宽高为，宽，长，
∴，
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是．
【点睛】本题考查的是平面展开－最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答本题的关键．
4．将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．

（操作观察）（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
（理解应用）（2）如图2，若，试说明：；
（拓展延伸）（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
【答案】（1）①2；②12；（2）见解析；（3）75
【分析】（1）①由于翻折，故AE=AC，所以BE=AB－AE；②由于翻折，故AD平分∠BAC，故点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；（2）由于翻折，知∠AED=∠C，又因为，等量代换得∠B=∠BDE，从而BE=DE，整理代换即可；（3）根据“将军饮马”模型知，PG+PE的最小值为EG．再根据AE=2AG，∠BAC=60°，可推断出△AEG是含60°角的直角三角形，从而得到EG的长，得解．
【详解】解：（1）①∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC
∴BE=AB－AE= AB－AC=8－6=2
∴BE=2；
②∵翻折，
∴AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高
∴由三角形面积公式可知，，
又∵，
∴．
（2）∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC，∠AED=∠C，DE=CD
又∵，∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
又∵AB=AE+BE
∴AB=AC+DE=AC+CD．
（3）∵翻折
∴PC=PE
∴PG+PC=PG+PE，当点P运动到EG连线时，PG+PE有最小值为EG

∴的最小值为EG2
∵AG=5，AE=AC=2AG，∠BAC=60°
∴△AEG是含30°角的直角三角形
∴EG=，即
∴的最小值为75．
【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，“将军饮马”问题，利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．
5．（背景介绍）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．

（小试牛刀）把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S梯形ABCD＝ 　 　，
S△EBC＝ 　 　，
S四边形AECD＝ 　 　，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理．
（知识运用）
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米．
（知识迁移）
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　．
【答案】（小试牛刀），，，；（知识运用）米；（知识迁移）
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形面积为和的面积和，求解即可；
（知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小．
【详解】解：（小试牛刀）


由图形可得
化简可得
故答案为：，，，；
（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：

由题意可得：
，则的最小值，即为的最小值
由三角形三边关系可得：，当三点共线时
∴的最小值为，米
故答案为米；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，

由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，

故答案为
【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
6．探究一：如图1，已知 AB=BD，AB⊥BC，∠C=90°，E 和 F分别是 BD 和 CD 上的动点， 且 BE=DF，△ABE与△BDF全等吗？若全等，请说明理由．
探究二：如图2，一只蚂蚁从一个长为 6，宽为 5，高为 3 的长方形顶点 A从表面爬行到另一个顶点 B，请问爬行的最短距离的平方的值是 ．
探究三：如图 3，等边三角形 ADC中，边长为 4，高为AF，AE=CD，求（BD+CE）2的最小值．

【答案】（1），理由见解析；（2）100；（3）32
【分析】探究一：通过SAS可证明；
探究二：分三种路径，展开后的长方形的长和宽分别为6+5,6+3,5+3，根据勾股定理即可求得路径长的平方的值；
探究三：过点作，且，连接，通过SAS证明，可得，则的长为的最小值，勾股定理即可求得的值，即（BD+CE）2的最小值．
【详解】探究一：






在与中

（SAS）
探究二：当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
爬行的最短距离的平方的值是
故答案为：；
探究三：如图，过点作，且，连接，


为等边三角形


为等腰的高
平分


在和中

（SAS）

连接的长即为的最小值，如图，



的最小值为．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质，立体图形中最短路径的求法等值是，运用转化的思想是解题的关键．
考点4：关于勾股定理在实际中的应用
方法点拨：在解决勾股定理应用问题时，关键是把实际问题中的量转化到直角三角形的三边中，把实际问题中的数值转化为直角三角形的三边长。
1．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．

【答案】2.5m
【分析】设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．
【详解】解：设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，
由题意得：∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，
解得x=2.5，
∴AC=2.5m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
2．如图，一艘船正以海里/小时的速度向正东航行，在A处看小岛C在船北偏东60°，继续航行1小时到达B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘船继续向东航行，是否有进入危险区的可能？

【答案】（1）16海里；（2）有
【分析】（1）作CD⊥AB于D，由题意得出∠CAB=∠ACB=30°，从而得出AB=CB，在Rt△BCD中，求得CD的长即可．
（2）用CD的长与20海里进行比较不难得出答案．
【详解】（1）作CD⊥AB交AB于点D，

由题意可知：∠CAB＝90°-60°＝30°，∠CBD＝90°-30°＝60°
∴∠ACB＝∠CBD-∠CAB＝30°
∴∠CAB＝∠ACB
∴AB＝CB＝
在Rt△CBD中，CD=CBsin∠CBD=
∴小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20
∴这艘船继续向东航行会有进入危险区的可能.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题、等腰三角形的判定与性质，正确理解方向角是解答本题的关键．
3．勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为0.7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B在水平方向上滑动了多少米？

【答案】梯子底端B在水平方向上滑动了0.8米
【分析】先根据勾股定理求出OA的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据即可得 出结论．
【详解】解：∵中，，，
∴，
同理，中，
∵，，
∴，
∴．
答：梯子底端B在水平方向上滑动了0.8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
4．滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道，撑杆、组成，滑道固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆、的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点与点重合，撑杆、恰与滑道完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆与撑杆恰成直角，即，测量得，撑杆，求滑道的长度．

【答案】滑道的长度为51cm．
【分析】设cm，可得出cm，cm，在在Rt△ABC中，根据勾股定理可得m的值，由此可得结论．
【详解】解：设cm，则由图①可知 cm，
由图②可知cm，
∵，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，
，
∴，
解得，
∴滑道的长度为51cm．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆、的长度始终保持不变正确表示出BC和AC是解题关键．
5．我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？

【答案】超速了，超速了12km/h
【分析】由勾股定理可求得小汽车行驶的距离，再除以小汽车行驶的时间即为小汽车行驶的车速，再与限速比较即可．
【详解】.解：由已知得
∴在直角三角形ABC中AB2＝AC2＋BC2
∴BC2＝AB2－AC2＝，

又

∵72－60＝12km/h
∴这辆小汽车超速了，超速了12km/h．
【点睛】本题考查了勾股定理，其中1 米/秒=3.6 千米/时的速度换算是易错点．
6．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A，B的距离分别为：，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）请计算说明海港C会受到台风的影响；
（2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】解：（1）如图，过点C作于点D

∵
∴
∴是直角三角形
∴
∴
∴
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域

∴海港C会受台风影响；
（2）当时，
台风在上运动期间会影响海港C
在中

在中

∴
∵台风的速度为20千米/小时
∴（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
考点5：勾股定理与分类讨论
方法点拨：（1）直角边、斜边不确定时，需分类讨论；（2）腰、底不确定时，需分类讨论；（3）高的位置不确定时，需分类讨论。
1．如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，点运动的时间为秒．
（1）的长为 ；
（2）连接，求当为何值时，；
（3）连接，求当为何值时，是直角三角形；
（4）直接写出当为何值时，是等腰三角形．

【答案】（1）5；（2）秒时，；（3）当秒或秒时，是直角三角形；（4）当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【分析】（1）根据长方形的性质及勾股定理直接求解即可；
（2）根据全等三角形的性质可得：，即可求出时间t；
（3）分两种情况讨论：①当时，在两个直角三角形中运用两次勾股定理，然后建立等量关系求解即可；②当时，此时点P与点C重合，得出，即可计算t的值；
（4）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别结合图形，利用各边之间的关系及勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为长方形，
∴，，
在中，
，
故答案为：5；
（2）如图所示：当点P到如图所示位置时，，


∵，，
∴，仅有如图所示一种情况，
此时，，
∴，
∴秒时，；
（3）①当时，如图所示：


在中，
，
在中，
，
∴，
，，
∴，
解得：；
②当时，此时点P与点C重合，
∴，
∴；
综上可得：当秒或秒时，是直角三角形；
（4）若为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，如图所示：


∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图所示：


，
∴；
③当时，如图所示：


，
∴，
在中，
，
即，
解得：，
，
∴；
综上可得：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等，理解题意，分类讨论作出相应图形是解题关键．
2．如图1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交AB边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．

(1)求证：EA=EG；
(2)若点G在线段AC延长线上时，设BD=x，FC=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
(3)联结DF，当△DFG是等腰三角形时，请直接写出BD的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）在BA上截取BM=BC=2，在Rt△ACB中，由勾股定理，可得AB=4，进而可得∠A=30°，∠B=60°；由DE=DB，可证△DEB是等边三角形，∠BED=60°，由外角和定理得∠BED=∠A+∠G，进而得∠G=30°，所以∠A=∠G，即可证EA=EG；
（2）由△DEB是等边三角形可得BE=DE，由BD=x，FC=y，得BE=x， DE=x，AE=AB-BE=4-x，在Rt△AEF中，由勾股定理可表示出 ，把相关量代入FC=AC-AF，整理即可得y关于x的函数解析式；当F点与C点重合时，x取得最小值1，G在线段AC延长线上,可知，D点不能与C点重合，所以x最大值小于2，故可得1≤x