专题06 《平行四边形》证明、解答题重点题型分类- 2022-2023学年八年级数学下册拔尖题精选精练（人教版）

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专题06 《平行四边形》证明、解答题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《平行四边形》中“平行四边形的判定及性质”、“菱形的判定”、“矩形的判定”、“正方形的判定”、“中点四边形”、“四边形中的最值问题”、“四边形中的折叠问题”、“四边形中的旋转问题”证明、解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：平行四边形的判定及性质
方法点拨：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1．已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．

2．如图，在中，，点E为内一点，且为等边三角形．

(1)用尺规完成以下基本作图：以BC为边在内作等边．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）所作图形中，连接CE、AF，猜想四边形AFCE的形状，并证明你的猜想．
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F．

(1)求证：四边形DEBF为平行四边形；
(2)若，，，求的面积．
4．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形 EBFD 是平行四边形．

5．如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
6．已知：△ABC，AD为BC边上的中线，点M为AD上一动点（不与点A重合），过点M作ME∥AB，过点C作CE∥AD，连接AE．

(1)如图1，当点M与点D重合时，求证：①△ABM≌△EMC；②四边形ABME是平行四边形
(2)如图2，当点M不与点D重合时，试判断四边形ABME还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
(3)如图3，延长BM交AC于点N，若点M为AD的中点，求的值．
考点2：菱形的判定
方法点拨：菱形的判定方法有三种：
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（3）四条边相等的四边形是菱形.
注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
1．尺规作图并回答问题：（保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．
请回答：在你的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是　 　．

2．如图，直线，线段分别与直线、交于点、点，满足．

(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：
____①____
垂直平分
，
∴____②____
____③____



∴四边形是___④_____

∴四边形是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF//CD．

(1)求证：四边形CBFD为菱形；
(2)连接CF，与BD相交于点O，若CF＝4，求AC的长．
4．如图，矩形，延长至点，使，连接，，过点作交的延长线于点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，当，时，求的长．
5．如图，四边形ABCD是菱形，点为对角线AC的中点，点在AB的延长线上，，垂足为，点在AD的延长线上，，垂足为．

（1）求证：四边形CEHF是菱形；
（2）已知四边形CEHF的周长为，求菱形ABCD的面积．
6．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC= ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由．
考点3：矩形的判定
方法点拨：矩形的判定有三种方法：
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
1．如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；
(2)若，，，求DF的长．
2．已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，，点E，F分别为垂足．

(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形AECF是矩形．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；
(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；
(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．
4．下面是小东设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点．

求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD是矩形．
作法：①作射线BO，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交射线BO于点D；
②连接AD，CD．
四边形ABCD是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO．
又∵BO＝　 　，
∴四边形ABCD是平行四边形（ 　 　）（填推理的依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴□ABCD是矩形（ 　 　）（填推理的依据）．
5．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝8，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．

6．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝1，求OEC的面积．

考点4：正方形的判定
方法点拨：正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，延长AB交DE于F，连接FC．
（1）若∠A＝30°，求证：AF⊥DE；
（2）求证：FC平分∠EFA；
（3）求证：EF+FB＝FC．

2．如图，△ABC中，点O是边AC上一动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．


（1）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF为矩形?并说明理由；
（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？说明理由．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE．

（1）求证：CE=AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A等于多少度时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
4．如图1，在RtABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE．
观察猜想：
（1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由．
探究说理：
（2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题：
①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

5．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．

6．如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，且DE⊥AF交于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝8，BF＝3，求DE的长．

考点5：中点四边形
方法点拨：（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
注意：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
1．如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，依次连接，，，，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；
2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 　 　．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．
3．已知：在矩形ABCD中，，．
（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；

（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，．
①连接BG，若，求AF的长；
②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．
4．如图，两个全等的直角三角形（△ABC和△ADC）按照斜边重合摆放，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．

（1）判断并证明四边形EFGH的形状．
（2）若∠BAC＝30°，AC＝6，求四边形EFGH的面积．
5．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．

（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
6．在四边形中，的中点分别为P、Q、M、M；

（1）如图1，试判断四边形怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）若在上取一点E，连结，，恰好和都是等边三角形（如图2）：
①判断此时四边形的形状，并证明你的结论；
②当，，求此时四边形的周长（结果保留根号）．
考点6：四边形中的最值问题
方法点拨：结合动点的最值问题，解题思路是化“动“为”静“，根据图形，找特殊位置，灵活运用有关数学知识解决问题。在求线段的最值时，转化思想是常用思想，将所求线段转化到其他线段上，通过点移动的轨迹找特殊位置求出最值。
步骤：（1）动中求静：在运用变化中找出不变的量及相等的关系，得出相关的常量，并用含变量的代数式表示相关的量.
（2）找特殊点(分类讨论)：将变化的点按指定的运动路径运动一遍，明确运动过程中的特殊位置以及可能出现的情况.
（3）找等量关系：利用面积关系、全等三角形、勾股定理、特殊图形的几何性质及相互关系等确定等量关系.
（4）列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程，根据所列方程解决相关问题.
1．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，连接PB，PQ，求△PBQ周长的最小值．

2．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，.

（1）若、、三点共线，求的长；
（2）求的面积的最小值.
3．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．

5．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．

【定理证明】（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】（2）如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E＝45°，则∠MPN的度数是　 　．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一周，得到线段AF，M是线段CF的中点，直接写出旋转过程中线段BM长的最大值和最小值．

6．如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是直线上的一个动点，请作出使为最小值的点，并计算．
考点7：四边形中的折叠问题
方法点拨：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照
要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等。
1．如（图1），矩形的边、在坐标轴上，点B坐标为，点P是射线上的一动点，把矩形沿着折叠，点B落在点D处；

（1）当点C、D、A共线时，=______；
（2）如（图2），当点P与点A重合时，与x轴交于点E，过点E作，交于点F，请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若点D正好落在x轴上，请直接写出点P的坐标．
2．如图①，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图②所示．
（1）图①中______，______，图②中______．
（2）点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．

3．综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.
折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF.如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②

（一）填一填，做一做：
（1）图②中，___________.线段___________.
（2）图②中，试判断的形状，并给出证明.
剪一剪、折一折：将图②中的剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点处，分别得到图③、图④.
（二）填一填
（3）图③中，若，则_______________°
4．发现：（1）如图一，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC的数量关系是　 　；
探究：（2）如图二，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
应用：（3）如图三，将（1）中的矩形ABCD改为正方形，边长AB＝8，其它条件不变，求线段GC的长．

5．定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．

（1）在三等角四边形中，，则的取值范围为_______；
（2）如图，折叠平行四边形，使得顶点分别落在边上的点处，折痕为．求证：四边形为三等角四边形；
（3）如图，在三等角四边形中，，若，，，则的长度为_______．
6．如图1，将矩形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，

①求证：四边形是矩形；
②若，，求的长；
（2）如图2，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，也能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，若，，，，求的长．
考点8：四边形中的旋转问题
方法点拨：旋转性质—对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的位置关系。
1．在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．

（1）如图，当时，连接，并延长交于点．则_____；
（2）当时，请画出图形并求出的长；
（3）在旋转过程中，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由．
2．如图，在中，，对角线、相交于点O，将中直线绕点O顺时针旋转，分别交直线、于点E、F．

（1）试说明在旋转过程中，始终成立；
（2）当时，判断四边形的形状__________；
（3）在旋转的过程中（），从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形：
①当__________时，构造的四边形是菱形；
②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．
3．综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请求出DE的长．

4．已知：如图①，在矩形中，，垂足是E点F是点E关于的对称点，连接．

（1）求和的长；
（2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值;
（3）如图②，将绕点B顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与边交于点P与直线交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使为等腰三角形？若存在，直接写出此时的长：若不存在，请说明理由．
5．在菱形中，，，E是对角线上一点，F是线段延长线上一点，且，连接、．

（1）如图1，若E是线段的中点，求的长；
（2）如图2，若E是线段延长线上的任意一点，求证：．
（3）如图3，若E是线段延长线上的一点，，将菱形绕着点B顺时针旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值．