02方程与不等式、函数--四川省自贡市2020-2022中考数学真题知识点分类汇编

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03图形的性质、图形的变化--四川省自贡市2020-2022中考数学真题知识点分类汇编
一．选择题（共21小题）
1．（2022•自贡）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（　　）

A． B．
C． D．
2．（2022•自贡）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（　　）

A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
3．（2022•自贡）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．60° D．150°
4．（2022•自贡）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（　　）
A．5 B．5 C．8 D．9
5．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
7．（2021•自贡）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（　　）

A．π B．π C．π D．π
8．（2021•自贡）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（　　）

A．百 B．党 C．年 D．喜
9．（2021•自贡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（　　）

A．9.6 B．4 C．5 D．10
10．（2021•自贡）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是（　　）

A．72° B．36° C．74° D．88°
11．（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　　）

A．（0，5） B．（5，0） C．（6，0） D．（0，6）
12．（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
13．（2020•自贡）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）
A．50° B．70° C．130° D．160°
14．（2020•自贡）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
15．（2020•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（　　）

A．2 B． C． D．
16．（2020•自贡）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
17．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　）
A．（﹣1，1） B．（5，1） C．（2，4） D．（2，﹣2）
18．（2020•自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
19．（2021•自贡）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2．将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（　　）

A． B． C．3 D．
20．（2021•自贡）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
21．（2022•自贡）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共4小题）
22．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 　 　厘米．

23．（2020•自贡）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　．

24．（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　 　米（结果保留根号）．

25．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 　 　．

三．解答题（共9小题）
26．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝　 　，EF＝　 　；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．

27．（2022•自贡）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．

28．（2021•自贡）如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）．

29．（2021•自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF•AC＝AD•DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．

30．（2021•自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．

31．（2020•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．
（1）证明：＝；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．

32．（2020•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE＝BF．

33．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

34．（2022•自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．

（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．


03图形的性质、图形的变化--四川省自贡市2020-2022中考数学真题知识点分类汇编
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．（2022•自贡）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，
将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆柱．
故选：A．
2．（2022•自贡）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（　　）

A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A（﹣2，5），
∴点C的坐标是（2，﹣5）．
故选：B．
3．（2022•自贡）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．60° D．150°
【解答】解：∵∠1＝30°，∠1与∠2是对顶角，
∴∠2＝∠1＝30°．
故选：A．
4．（2022•自贡）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（　　）
A．5 B．5 C．8 D．9
【解答】解：方法一：如图，∵PT与⊙O相切于点T，
∴∠OTP＝90°，
又∵OP＝10，∠OPT＝30°，
∴OT＝OP＝×10＝5，
∴PT＝＝＝5．
故选：A．
方法二：在Rt△OPT中，∵cosP＝，
∴PT＝OP•cos30°＝10×＝5．
故选：A．

5．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，
根据题意得：x+x+2x+20＝180，
解得：x＝40，
故选：B．
6．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
方法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．

7．（2021•自贡）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【解答】解：设P（m，﹣2m+2），则Q（m，﹣m+3）．
∴OP2＝m2+（﹣2m+2）2＝5m2﹣8m+4，OQ2＝m2+（﹣m+3）2＝2m2﹣6m+9．

∵△OPQ绕点O顺时针旋转45°．
∴△OPQ≌△ODC，∠QOC＝∠POD＝45°．
∴PQ扫过区域（阴影部分）面积S＝S扇OQC﹣S扇OPD＝＝＝．
当m＝时，S的最大值为：．
故选：A．
8．（2021•自贡）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（　　）

A．百 B．党 C．年 D．喜
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“迎”与“党”相对，面“建”与面“百”相对，“喜”与面“年”相对．
故选：B．
9．（2021•自贡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（　　）

A．9.6 B．4 C．5 D．10
【解答】解：∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEO＝90°，
∵OE＝3，OB＝5，
∴AE＝，
∴AC＝8，
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，
∴△AEO∽△AFC，
∴，即：，
∴，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CF＝＝9.6．
故选：A．
10．（2021•自贡）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是（　　）

A．72° B．36° C．74° D．88°
【解答】解：在五边形ABCDE中，
每个内角为180°﹣360°÷5＝108°，
∵AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°，
故选：A．
11．（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　　）

A．（0，5） B．（5，0） C．（6，0） D．（0，6）
【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．
在Rt△ABO中，＝6．
∴B（0，6）．
故选：D．
12．（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
13．（2020•自贡）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）
A．50° B．70° C．130° D．160°
【解答】解：设这个角是x°，根据题意，得
x＝2（180﹣x）+30，
解得：x＝130．
即这个角的度数为130°．
故选：C．
14．（2020•自贡）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°；
故选：B．

15．（2020•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（　　）

A．2 B． C． D．
【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，
解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故选：B．
16．（2020•自贡）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．
故选：B．
17．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　）
A．（﹣1，1） B．（5，1） C．（2，4） D．（2，﹣2）
【解答】解：将点（2，1）向下平移3个单位长度所得点的坐标为（2，1﹣3），即（2，﹣2）；
故选：D．
18．（2020•自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
19．（2021•自贡）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2．将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（　　）

A． B． C．3 D．
【解答】解：连接AN交BM于点O，作NH⊥AD于点H．如图：

∵AB＝6，AM：MD＝1：2．
∴AM＝2，MD＝4．
∵四边形ABCD是正方形．
∴BM＝．
根据折叠性质，AO⊥BM，AO＝ON．AM＝MN＝2．
∴．
∴＝．
∴AN＝．
∵NH⊥AD．
∴AN2﹣AH2＝MN2﹣MH2．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴DN＝．
故选：D．
20．（2021•自贡）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，共有1条对称轴；
B．不是轴对称图形，没有对称轴；
C．不是轴对称图形，没有对称轴；
D．是轴对称图形，共有2条对称轴．
故选：D．
21．（2022•自贡）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A，B，C都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
二．填空题（共4小题）
22．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 　26　厘米．

【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，

由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
23．（2020•自贡）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为 　　．

【解答】解：连接OG，QG，

∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵⊙O与CD相切于点G，
∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，
∴，
设OG＝OF＝x，则，
解得：x＝，即⊙O的半径是．
连接OQ，作OH⊥FQ，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边三角形；同理△OGQ为等边三角形；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，
∴QH＝＝，
∴CQ＝
∵四边形OHCG为矩形，
∴OH＝CG＝，
∴S阴影＝S△CGQ＝＝＝．
故答案为：．
24．（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　6　米（结果保留根号）．

【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．

∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米），
故答案为：6．
25．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 　3　．

【解答】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，

∵CH＝EF＝1，CH∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH＝CF，
∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，
∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：HG'＝＝3，
即GE+CF的最小值为3．
故答案为：3．
三．解答题（共9小题）
26．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝　CD　，EF＝　AD　；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．

【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案为：CD，AD；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD；
（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，

∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，
∴CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），
∵EG⊥BC，
∴CH∥EG，
∴△BCH∽△BGE，
∴，
∴＝，
∴EG＝64，
∴EF与BC之间的距离为64cm．
27．（2022•自贡）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．

【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠ACE＝120°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠D＝∠E．
28．（2021•自贡）如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）．

【解答】解：如图，线段BD即为所求作．

29．（2021•自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF•AC＝AD•DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，
∴AE∥OD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠DAC．

（2）证明：如图，连接BF．
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AE⊥EC，
∴∠AFB＝∠E＝90°，
∴BF∥EC，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，
∴＝，
∴DF•AC＝AD•DC．

（3）解：过点D作DH⊥AC于H．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∵sin∠C＝＝，
∴可以假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CD＝k，
∵•OD•DC＝•OC•DH，
∴DH＝k，
∴OH＝＝k，
∴AH＝OA+OH＝k，
∵AD2＝AH2+DH2，
∴（4）2＝（k）2+（k）2
∴k＝8或﹣8（舍弃），
∴AC＝5k＝40，AB＝2k＝16，
∴sinC＝＝＝sin∠ABF＝，
∴AE＝10，AF＝4，
∴EF＝AE﹣AF＝10﹣4＝6．

30．（2021•自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF．
31．（2020•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．
（1）证明：＝；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．

【解答】（1）证明：连接OC．
∵PC＝PA，OC＝OA，
∴OP垂直平分线段AC，
∴＝．

（2）证明：设BC＝a，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴AC＝2a，AB＝＝＝3a，
∴OC＝OA＝OB＝，CD＝AD＝a，
∵PA＝PC＝AB，
∴PA＝PC＝3a，
∵∠PDC＝90°，
∴PD＝＝＝4a，
∵DC＝DA，AO＝OB，
∴OD＝BC＝a，
∴AD2＝PD•OD，
∴＝，
∵∠ADP＝∠ADO＝90°，
∴△ADP∽△ODA，
∴∠PAD＝∠DOA，
∵∠DOA+∠DAO＝90°，
∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∴∠PAO＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．

（3）解：法一：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．
∵BC＝2，
由（2）可知，PA＝6，AB＝6，
∵∠PAB＝90°，
∴PB＝＝＝6，
∵PA2＝PE•PB，
∴PE＝＝4，
∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDKB是矩形，
∴CD＝BK＝2，BC＝DK＝2，
∵PD＝8，
∴PK＝10，
∵EJ∥BK，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EJ＝，PJ＝，
∴DJ＝PD﹣PJ＝8﹣＝，
∴DE＝＝＝．
法二：由（2）可得BC＝2，AC＝4，AB＝6，PA＝6，PB＝6，
在Rt△PBA中，连接AE，可得∠AEB＝90°，
∴∠PEA＝∠PAB＝90°，又∠APE＝∠APB，
∴△PEA∽△PAB，
∴＝，
∴PE＝4，
过E作EJ⊥PD于J，过B作BK⊥PF于K，如图所示，
∴∠BCD＝∠CDF＝∠BKD＝90°，
∴四边形BCDK是矩形，
∴BK＝CD＝2，
在Rt△BPH中，sin∠BPH＝＝，
在Rt△PEN中，sin∠BPH＝，
∴EJ＝，
∴PJ＝＝，
∴JD＝PD﹣PJ＝，
在Rt△JED中，DE＝＝．

32．（2020•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE＝BF．

【解答】证明：在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵CE＝DF，
∴BE＝CF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（SAS），
∴AE＝BF．
33．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，
∴tan∠BDA＝＝≈1.33，
∴AD＝≈18.05（米）．
∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，
∴CD＝18.05×≈10.4（米）．
故办公楼的高度约为10.4米．
34．（2022•自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．

（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．

【解答】解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，
∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，
∴∠POC＝∠GON；
（2）由题意可得，
KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，
∵tan∠POQ＝，
∴tan60°＝，
解得PQ＝5，
∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），
即树高PH为10.2米；
（3）由题意可得，
O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，
由图可得，tanβ＝，tanα＝，
∴O2D＝，O1D＝，
∵O1O2＝O2D﹣O1D，
∴m＝﹣，
∴PD＝，
∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．