第5章二次函数解答题-提升题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）

这是一份第5章二次函数解答题-提升题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏），共51页。试卷主要包含了两点，是函数y＝图象的“2阶方点”，x+m﹣4，其中m＞2等内容，欢迎下载使用。

第5章二次函数解答题-提升题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　 　．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
二．二次函数综合题（共15小题）
2．（2022•镇江）一次函数y＝x+1的图像与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图像上的点B（m，）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．
①x1＝　 　，x2＝　 　（分别用含n的代数式表示）；
②证明：AE＝BF；
（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图像是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图像交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．
①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；
②若A′M+3B′N＝2，求t的值．

3．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 　 　（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
4．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝　 　，实数k的取值范围是 　 　；
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．
5．（2022•泰州）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点B（3，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．

6．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．

7．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．

8．（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝　 　，c＝　 　．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

9．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

10．（2021•盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 　 　；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．
【灵活运用】
如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

11．（2021•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

12．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝　 　，c＝　 　；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．

13．（2020•无锡）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1的图象与x轴仅有一个公共点A．
（1）求a的值；
（2）设该二次函数图象与y轴交于点B，点C为直线AB下方抛物线上的一个动点，点C运动到何处时，△ABC面积最大？请求出此时C点的坐标．
（3）过点（0，﹣1）作直线l平行于x轴，在抛物线上任取一点D（A点除外），过点D向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PDE始终为等腰三角形．请你猜测点P的坐标，并给出证明过程．
猜测：点P的坐标为 　 　．
证明：
14．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．

15．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

16．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝　 　；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．


第5章二次函数解答题-提升题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
参考答案与试题解析
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　1　．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入①得：1＝4a+2+c，
∴a＝，
∴顶点的纵坐标，
∵c＞﹣1，
∴c+1＞0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥，
∵，
∴a+b，当a＝b时取等号，
∴＝1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1．
（3）方法一、由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣1﹣4a，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
Δ＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
若﹣1＜m＜2，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，且，
解得a＜0，
∴a＜0，
若2＜m＜3，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，且＜3，
解得a，
方法二、由题意可得：或，
解得：a＞或a＜0，
综上 a＜0或．
二．二次函数综合题（共15小题）
2．（2022•镇江）一次函数y＝x+1的图像与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图像上的点B（m，）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．
①x1＝　　，x2＝　　（分别用含n的代数式表示）；
②证明：AE＝BF；
（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图像是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图像交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．
①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；
②若A′M+3B′N＝2，求t的值．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，
令y＝0，得x+1＝0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∵直线y＝x+1经过点B（m，），
∴m+1＝，
解得：m＝，
∴B（，），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣2，0），O（0，0），B（，），
设y＝ax（x+2），则＝a××（+2），
解得：a＝1，
∴y＝x（x+2）＝x2+2x，
∴这个二次函数的表达式为y＝x2+2x；
（2）①由题意得：x2+2x＝x+n（n＞﹣），
解得：x1＝，x2＝，
故答案为：，；
②当n＞1时，CD位于AB的上方，
∵A（﹣2，0），B（，），
∴AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，
∴AE＝BF，
当＜n＜1时，CD位于AB的下方，
∵A（﹣2，0），B（，），
∴AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，
∴AE＝BF，
∴当n＞﹣且n≠1时，AE＝BF；
（3）方法一：①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ，
∴P′Q′∥AB，
∵平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，
由（2）②及平移的性质可知：A′M＝B′N；
②∵A′M+3B′N＝2，
∴A′M＝B′N＝，
∵B（，）到y轴的距离为，点O是y轴与二次函数y＝x2+2x的图象的交点，
∴平移后点O的对应点即为点Q，
∵二次函数y＝x2+2x的图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），
∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，
∴Q（t+1，3），将点Q的坐标代入y＝x+1，
得：3＝（t+1）+1，
解得：t＝3；
另解：
∵A′M+3B′N＝2，
∴A′M＝B′N＝，B（，）的对应点为B′（t+，），
∵B′N＝，
∴点Q的横坐标为t+1，代入y＝x+1，得y＝（t+1）+1＝t+，
∴Q（t+1，t+），
将点Q的坐标代入y＝（x﹣t）2+2中，得t+＝（t+1﹣t）2+2，
解得：t＝3．
方法二：
①设点Q的坐标为（x3，y3），由y3＝x3+1，y3＝（x3﹣t）2+2，得x3+1＝（x3﹣t）2+2，
当t＞时，解得：x3＝，
∴点Q的横坐标为；
同理可得点P的横坐标为，
∵点P在点Q的左侧，
∴点P的横坐标为，点Q的横坐标为（t＞）．
∵二次函数y＝x2+2x图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），
∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，
∴B（，）的对应点为B′（t+，），A（﹣2，0）的对应点为A′（t﹣1，3）．
∴B′N＝t+﹣＝，A′M＝﹣（t﹣1）＝，
∴A′M＝B′N．
②∵A′M+3B′N＝2，
∴A′M＝B′N＝，
∴＝，
解得：t＝3．
3．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 　②③　（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，
∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或a＝﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；
当抛物线经过点B时，n＝1；
∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．


4．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝　y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一）　，实数k的取值范围是 　4≤k≤5　；
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．
【解答】解：（1）将（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图：

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图像向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，
∴新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，
∵当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴3≤k﹣1≤4，
解得4≤k≤5，
∴符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式可以是y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，
故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），4≤k≤5；
（3）当B在C左侧时，过B作BH⊥AC于H，如图：

∵点A、B的横坐标分别是m、m+1，
∴yA＝﹣m2﹣2m+3，yB＝﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣m2﹣4m，
∴A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，﹣m2﹣4m），
∵点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1，AC∥x轴，
∴xC＝﹣2﹣m，
∴C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），
过B作BH⊥AC于H，
∴BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m﹣3|，
∴BH＝CH，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴∠HCB＝45°，即∠ACB＝45°，
当B在C右侧时，如图：

同理可得△BHC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝180°﹣∠BCH＝135°，
综上所述，∠ACB的度数是45°或135°．
5．（2022•泰州）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点B（3，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数y1＝x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图像相交于点B（3，1），
∴32+3m+1＝1，＝1，
解得m＝﹣3，k＝3，
∴二次函数的解析式为y1＝x2﹣3x+1，反比例函数的解析式为y2＝（x＞0）；
（2）∵二次函数的解析式为y1＝x2﹣3x+1，
∴对称轴为直线x＝，
由图象知，当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，≤x＜3；
（3）由题意作图如下：

∵当x＝0时，y1＝1，
∴A（0，1），
∵B（3，1），
∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，
∵△ACE与△BDE的面积相等，
∴CE＝DE，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当x＝时，y2＝2，
∴E（，2）．
6．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，由题意得：A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），

设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，
把B（4，0）代入得：0＝16a+8，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH＝FG＝2OG，
设H（t，﹣t2+8）（t＞0），
∴﹣t2+8＝2t，
解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2（舍），
∴此正方形的面积＝FG2＝（2t）2＝4t2＝4（﹣2+2）2＝（96﹣32）dm2；
（2）如图2，由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），

∴矩形EFGH的周长＝2FG+2GH＝4t+2（﹣t2+8）＝﹣t2+4t+16＝﹣（t﹣2）2+20，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；
（3）若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，
则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，

设N（m，﹣m2+8），
由勾股定理得：PM2+PN2＝MN2，
∴m2+（﹣m2+8﹣3）2＝32，
解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍），
∴N（2，4），
∴PM＝4﹣1＝3，
∵cos∠NMP＝＝＝，
∴MQ＝3MN＝9，
∴Q（0，12），
设QN的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴QN的解析式为：y＝﹣2x+12，
﹣x2+8＝﹣2x+12，
x2﹣2x+4＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4××4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．
7．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．

【解答】（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得：
m﹣4＝0，
解得m＝4，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），
∵m＞2，
∴2﹣m＜0，
∴＜0，
∵＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，
∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），
当x＝0时，B（0，c），
将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得：
＝﹣2，
∴c＝，
∵B（0，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴OB＝﹣c＝﹣，
过点A作AH⊥OB于H，如图：

∵A（﹣1，﹣1），
∴AH＝1，
在△AOB中，
S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣b2﹣b+1＝﹣（b+1）2+，
∵﹣＜0，
∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，
答：△AOB面积的最大值是．
8．（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝　　，c＝　　．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
故答案为：，.
（2）∵y＝x2x＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为D（1，﹣4）；
设直线BD的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴y＝x﹣5．
（3）存在，如图1、图2．
由题意得，M（t﹣6，0），Q（t﹣3，0），
∴G（t﹣6，t2t+），H（t﹣3，t﹣8）；
∵QM•QH＜10，且QH≠0，点M、B重合时停止运动，
∴，解得＜t≤11，且t≠8；
∵MG∥HQ，
∴当MG＝HQ时，以G、M、H、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴|t2t+|＝|t﹣8|；
由t2t+＝t﹣8得，t2﹣18t+65＝0，
解得，t1＝5，t2＝13（不符合题意，舍去）；
由t2t+＝﹣t+8得，t2﹣10t+1＝0，
解得，t1＝5+2，t2＝5﹣2（不符合题意，舍去），
综上所述，t＝5或t＝5+2．
（4）由（2）得，抛物线y＝x2x的对称轴为直线x＝1，
过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，
如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，
当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，
此时点Q与点A重合，
∵∠PGR＝∠DFP＝90°，∠RPG＝90°﹣∠FPD＝∠PDF，
∴△PRG∽△DPF，
∴，
∴RG＝＝＝6，
∴R（0，4）；
如图4，为原图象的局部入大图，
当点Q在y轴右侧且在直线x＝1左侧，此时点R的最低位置在点G下方，
由△PRG∽△DPF，
得，，
∴GR＝；
设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2），
∴GR＝＝r2+r＝（r﹣）2+，
∴当r＝时，GR的最大值为，
∴R（0，）；
如图5，为原图象的缩小图，
当点Q在直线x＝1右侧，则点R在点G的上方，
当点M与点B重合时，点R的位置最高，
由△PRG∽△DPF，
得，，
∴GR＝＝＝28，
∴R（0，26），
∴4++26+＝，
∴点R运动路径的长为．




9．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：

在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
①△ABC∽△CFE时，＝，
∴＝，
解得m＝或m＝0（舍去），
∴EF＝，
②△ABC∽△EFC时，＝，
∴＝，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴EF＝，
综上所述，EF＝或．
（3）连接NE，如图：

∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，
∵EF∥y轴，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴∠FCE＝∠CEF，
∴CF＝EF＝CN，
由（2）知：
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，
∴CN＝CF＝m＝3﹣2，
∴N（0，3+1）．
10．（2021•盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 　（1，3）　；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．
【灵活运用】
如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

【解答】解：【初步感知】
（1）如图1，∵P1（﹣1，1），A（1，1），
∴P1A∥x轴，P1A＝2，
由旋转可得：P1′A∥y轴，P1′A＝2，
∴P1′（1，3）；
故答案为：（1，3）；
（2）∵P2′（2，1），
由题意得P2（1，2），
∵P1（﹣1，1），P2（1，2）在原一次函数图象上，
∴设原一次函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴原一次函数解析式为y＝x+；
【深入感悟】
设双曲线与二、四象限角平分线交于N点，则：
，
解得：，
∴N（﹣1，1）．
①当x≤﹣1时，
过点P作PQ⊥x轴于Q，连接AP，过点P′作P′M⊥AN于点M，如图2，
∵∠QAM＝∠POP′＝45°，
∴∠PAQ＝∠P′AN，
∵P′M⊥AM，
∴∠P′MA＝∠PQA＝90°，
∴在△PQA和△P′MA中，
，
∴△PQA≌△P′MA（AAS），
∴S△P′MA＝S△PQA＝＝，
即S△OMP′＝．
②当﹣1＜x＜0时，
过点P作PH⊥y轴于点H，过点P′作P′M⊥AN于点M，如图3，
∵∠POP′＝NOH＝45°，
∴∠PON＝∠P′OH，
∴∠MP′O＝90°﹣∠MOH﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∵∠POH＝∠POP′﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∴∠POH＝∠MP′O，
在△POH和△OP′M中，
，
∴△POH≌△OP′M（AAS），
∴S△P′MO＝S△PHO＝＝，
综上所述，△OMP′的面积为．
【灵活运用】
△BCP′的面积有最小值，
如图4，连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，
∵A（1，﹣），B（2，0），C（3，0），
∴OH＝BH＝1，BC＝1，
∴OA＝AB＝OB＝2，
∴△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，即B′（0，0），
连接C′O，∵∠CAC′＝∠BAB′＝60°，
∴∠CAB＝∠C′AB′，
在△C′AO和△CAB中，
，
∴△C′AO≌△CAB（SAS），
∴C′O＝CB＝1，∠C′OA＝∠CBA＝120°，
∴作C′G⊥y轴于G，
在Rt△C′GO中，∠C′OG＝90°﹣∠C′B′C＝30°，
∴C′G＝OC′＝，
∴OG＝，
∴C′（，），此时OC′的函数表达式为：y＝x，
设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y＝x+b，
∵S△BCP′＝S△B′C′P，
∴当直线l与抛物线相切时取最小值，
则，
即x+b＝x2+2x+7，
∴x2+x+7﹣b＝0，
当Δ＝0时，得b＝，
∴y＝x+，
设l与y轴交于点T，连接C′T，
∵S△B′C′T＝S△BCP′，
∴S△BCP′＝×B′T×C′G＝××＝．




11．（2021•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

【解答】解：（1）令y＝x2﹣（m+1）x+m＝0，解得x＝1或m，
故点A、B的坐标分别为（m，0）、（1，0），
则点C的横坐标为（m+1），即点C的坐标为（，0）；

（2）由点C的坐标知，CO＝＝CE，
故BC＝OB﹣CO＝1﹣（m+1）＝，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，∠BDC+∠ODC＝90°，
∴∠DBC＝∠ODC，
∴tan∠DBC＝tan∠ODC，即CD2＝CO•BC＝（m+1）（1﹣m）＝，
∵点C是OE中点，则CD为三角形EOF的中位线，
则FO2＝（2CD）2＝4CD2＝1﹣m2，
在Rt△AOF中，AF2＝AO2+OF2＝m2+1﹣m2＝1，
∵点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q，则点Q为所求点，

理由：△AFQ的周长＝AF+FQ+AQ＝1+QF+BQ＝1+BF为最小，
即1+BF＝，
则BF2＝OF2+OB2＝1﹣m2+1＝（﹣1）2，解得m＝，
∵﹣1＜m＜0，
故m＝﹣．
12．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝　﹣2　，c＝　﹣3　；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
则，解得：，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，
∴S△ABC＝＝6，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×6，即×4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，
解得：m＝或，代入y＝x2﹣2x﹣3，
可得：y值都为6，
∴D（，6）或（，6）；

（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜﹣1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，
则﹣1+q＝0，解得：q＝1，
则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，
即n2﹣2n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
n2﹣2n﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，5）．

13．（2020•无锡）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1的图象与x轴仅有一个公共点A．
（1）求a的值；
（2）设该二次函数图象与y轴交于点B，点C为直线AB下方抛物线上的一个动点，点C运动到何处时，△ABC面积最大？请求出此时C点的坐标．
（3）过点（0，﹣1）作直线l平行于x轴，在抛物线上任取一点D（A点除外），过点D向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PDE始终为等腰三角形．请你猜测点P的坐标，并给出证明过程．
猜测：点P的坐标为 　（2，1）　．
证明：
【解答】解：（1）函数图象与x轴只有一个公共点，所以△＝O，
即（﹣4a）2﹣4a＝0，
16a2﹣4a＝0，
4a（4a﹣1）＝0，
∴a1＝0，a2＝，
当a＝0时，y＝1不是二次函数（舍去），
当a＝时，y＝x2﹣x+1符合，
∴a＝；
（2）∵C在抛物线y＝x2﹣x+1上，
∴设C（m，m2﹣m+1）（0＜m＜2），
∴S△ABC＝S△AOB﹣S△BOC﹣S△AOC（由图可知），

令y＝0，x2﹣x+1＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
令x＝0，y＝1，
∴B（0，1），
∴S△AOB＝2×1×＝1．
S△BOC＝1×m×＝m，
S△AOC＝2×（m2﹣m+1）×＝m2﹣m+1，
∴S△ABC＝S△AOB﹣S△BOC﹣S△AOC
＝1﹣m﹣（m2﹣m+1）
＝1﹣m﹣m2+m﹣1
＝﹣m2+m
＝﹣（m2﹣2m）
＝﹣（m﹣1）2+
∴当m＝1时，S△ABC最大，y＝﹣1+1＝，
此时C坐标为（1，）；
（3）猜测：点P坐标（2，1），
﹣＝2，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∴设点P（2，e），
∵点D在抛物线y＝x2﹣x+1上，
∴设D（g，g2﹣g+1）（g≠2），
故E（g，﹣1），
∴PD＝，
DE＝，
＝g2﹣g+2，
PE＝，
∵△PDE为等腰三角形，
∴①PD＝DE时，
即＝g2﹣g+2，
两边平方得（g﹣2）2+（g2﹣g+1﹣e）2＝（g2﹣g+2）2，
（g﹣2）2+（g2﹣g+1）2﹣2（g2﹣g+1）e+e2＝（g2﹣g+1）2+1+2（g2﹣g+1）
（将g2﹣g+1看成一个整体），
（﹣e）g2+（2e﹣2）g+（e2﹣2e+1）＝0，
（﹣e）g2+（2e﹣2）g+（e﹣1）2＝0，
当e＝1时，无论g取何值时，该式均成立，
此时P坐标为（2，1），
②PD＝PE时，
即＝，
两边平方得（g﹣2）2+（g2﹣g+1﹣e）2＝（g﹣2）2+（﹣1﹣e）2，
∴（g2﹣g+1﹣e）2＝（1+e）2，
（﹣1﹣e）2＝（1+e）2，
∴（g2﹣g+1﹣e）2﹣（1+e）2＝0，
（g2﹣g+1﹣e+1+e）（g2﹣g+1﹣e﹣1﹣e）＝0，
∴（g2﹣g+2）（g2﹣g﹣2e）＝0，
故无论e取什么值，都不能满足，
无论g取何值时，该式均成立，
故此种情况舍去，
③PE＝DE时，
即＝g2﹣g+2，
两边平方得，（g﹣2）2+（﹣1﹣e）2＝（g2﹣g+2）2，
∴（1+e）2＝（g2﹣g+2）2﹣（g﹣2）
＝（g2﹣g+2+g﹣2）（g2﹣g+2﹣g+2）
＝g2（g2﹣2g+4），
∴（1+e）2＝g2（g2﹣2g+4），
故无论e取什么值，都不能满足，
无论g取何值时，该式均成立，
故此种情况舍去，
综上所述，当PD＝DE时满足题意，
此时P坐标为（2，1）．
14．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．

【解答】解：（1）分别过点M、N作MG⊥CD于点E，NT⊥DC于点T，
∵MG∥TN∥x轴，

∴△DMG∽△DAC，△DCB∽△DTN，
∴，＝，
∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，
将M（﹣1，1）代入上式并解得：c＝4，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，
则点D（1，5），N（4，﹣4），
则MG＝2，DG＝4，DC＝5，TN＝3，DT＝9，
∴，解得：AC＝，BC＝，
∴＝；

（2）不变，
理由：∵y＝ax2﹣2ax+c过点M（﹣1，1），则a+2a+c＝1，
解得：c＝1﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a），
∴点D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），
∴MG＝2，DG＝﹣4a，DC＝1﹣4a，TN＝3，DT＝﹣9a，
由（1）的结论得：AC＝，BC＝，
∴＝；

（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，

∵FB＝FE，FH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BC＝2BE，
则CE＝6HE，
∵CD＝1﹣4a，
∴FH＝，
∵BC＝，
∴CH＝×＝，
∴F（﹣+1，﹣a），
将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a）＝a（x+1）（x﹣3）+1得：
﹣a＝a（﹣+1+1）（﹣+1﹣3）+1，
解得：a＝﹣或（舍弃），
经检验a＝﹣，
故y＝﹣x2+x+．
解法二：∵AC：BC＝3：2，BC＝2BE，
∴AC＝CE，
∴AD与DE关于直线CD对称，
∵AD，DE交抛物线于M，F，
∴M，F关于直线CD对称，
∴F（3，1），
∴﹣a＝1，
∴a＝﹣．
故y＝﹣x2+x+．
15．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x+3．
∵y＝﹣1，
∴E（4，﹣1）．
（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．

设D（4，m），
∵C（0，3），由勾股定理可得：
42+（m﹣3）2＝62+32．
解得m＝3±．
∴满足条件的点D的坐标为（4，3+）或．
（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，

设P（n，﹣2n+3），则Q（），
设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3．
解得k＝，于是CQ：y＝（）x+3，
当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，
∴M（4，n﹣5﹣），ME＝n﹣4﹣．
∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM＝．
∴n2﹣4n﹣60＝0，
解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
16．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝　﹣4　；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），
∴0＝1+b+3，
∴b＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）∵b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，
∴点A（0，3），3＝x2﹣4x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝4，
∴点B（4，3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D坐标（2，﹣1），
如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，

∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，
∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，
∴∠BCF＝45°，
∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），
∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，
∵BC2+CD2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠DBC＝＝＝＝tan∠ACE，
∴∠ACE＝∠DBC，
∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，
∴∠ACB＝∠CFD，
又∵∠CQD＝∠ACB，
∴点F与点Q重合，
∴点P是直线CF与抛物线的交点，
∴0＝x2﹣4x+3，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点P（3，0）；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，

∵CH⊥DB，HF＝QH，
∴CF＝CQ，
∴∠CFD＝∠CQD，
∴∠CQD＝∠ACB，
∵CH⊥BD，
∵点B（4，3），点D（2，﹣1），
∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，
∴点F（，0），
∴直线CH解析式为：y＝﹣x+，
∴，
解得，
∴点H坐标为（，﹣），
∵FH＝QH，
∴点Q（，﹣），
∴直线CQ解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组，
解得：或，
∴点P（，﹣）；
综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，﹣）；
（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，

∵点A（0，3），点C（1，0），
∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，
∴，
∴，
∴点N坐标为（，﹣），
∵点H坐标为（，﹣），
∴CH2＝（﹣1）2+（）2＝，HN2＝（﹣）2+（﹣+）2＝，
∴CH＝HN，
∴∠CNH＝45°，
∵点E关于直线BD对称的点为F，
∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，
∴∠ENF＝90°，
∴∠ENM+∠FNM＝90°，
又∵∠ENM+∠MEN＝90°，
∴∠MEN＝∠FNM，
∴△EMN≌△NKF（AAS）
∴EM＝NK＝，MN＝KF，
∴点E的横坐标为﹣，
∴点E（﹣，），
∴MN＝＝KF，
∴CF＝+﹣1＝6，
∵点F关于直线BC对称的点为G，
∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，
∴∠GCF＝90°，
∴点G（1，6），
∴AG＝＝．