数学人教版22.2二次函数与一元二次方程习题

这是一份数学人教版22.2二次函数与一元二次方程习题，共14页。试卷主要包含了若点M，已知直线l经过点等内容，欢迎下载使用。
22.2 二次函数与一元二次方程
一．选择题
1．对于二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，下列说法正确的是（　　）
A．当x＜0，y随x的增大而增大
B．当x＝﹣1时，y有最大值3
C．图象的顶点坐标为（1，3）
D．图象与x轴有一个交点
2．若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点，则m﹣n的最小值（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
3．当x＝1或﹣3时，代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，则函数y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点为（　　）
A．（1，0）和（﹣3，0） B．（﹣1，0）
C．（3，0） D．（﹣1，0）和（3，0）
4．已知直线l经过点（0，6）且平行于x轴，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线l相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣4＜x＜4 B．x＞4 C．x＜﹣4 D．﹣2＜x＜4
5．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图形与x轴有N个交点，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
6．一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
7．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
8．对于函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣3a+1（a是常数），有下列说法：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当x＜1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
③若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
其中错误的说法是（　　）
A．① B．①② C．②③ D．①③
9．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝2x﹣m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝2x﹣m与新函数图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）

A．﹣4＜m＜6 B．﹣＜m＜﹣4 C．6＜m＜ D．﹣＜m＜6
10．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有两个不相等的实数根x1，x2，有下列结论：①x1＝2，x2＝3；②m＞﹣；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则a+b＝5．其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题
11．若二次函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象在﹣2≤x≤5的部分与x轴有两个公共点，则a的取值范围是　 　．
12．已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m、h，k均为常数且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，则抛物线y＝m（x﹣h+3）2与直线y＝k的交点的横坐标是　 　．
13．已知二次函数y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过点A（x1，m）、B（x1+5，m）两点，则m＝　 　．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是　 　．

15．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是　 　．

三．解答题
16．如图，直线y＝x﹣3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，连结AE交BC于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当＝时，求t的值．

17．如图，二次函数y＝ax2+2x+3（a＜0）的图象与x轴交于点A，B（点A位于对称轴的左侧），与y轴交于点C．点P（0，n）为线段OC上一点，过点P作直线l∥x轴交图象于点D，E（点E在点D的左侧），且PD﹣PE＝2．
（1）求该二次函数的对称轴及a的值．
（2）将顶点M向右平移m（m＞0）个单位至点M1，再过点M1作直线l的对称点M2，若点M2在x轴上方的图象上一点且到x轴距离为1，求m，n的值．

18．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．
（1）求b和c（用m的代数式表示）；
（2）若在自变量x的值满足﹣2≤x≤1的情况下，与其对应的函数值y的最大值为1，求m的值；
（3）已知点A（﹣1，﹣2m2﹣3m）和点B（2，﹣2m2+6m）．若二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点，直接写出m的取值范围．

参考答案
一．选择题
1．解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，
∴开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，3），当x＝﹣1时，y，有最大值3，
当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
故A、C、D错误，B正确，
故选：B．
2．解：∵抛物线y＝﹣2x2+2x+m与x轴至多有一个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣2）m≤0，
解得m≤﹣，
∴点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，
∴n＝﹣2m2+2m+m，
∴m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣）2﹣，
∵m≤﹣，
∴当m＝﹣时，m﹣n有最小值，最小值为2×（﹣﹣）2﹣＝，
故选：B．
3．解：代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，即ax2+bx+c＝mx+n，则ax2+（b﹣m）x+c﹣n＝0，
则y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点为（1，0）和（﹣3，0），
故选：A．
4．解：∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，

∵C（0，﹣2），则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2；
则CD＝6﹣（﹣2）＝8，则点B（8，6），
将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2，
令y＝0，则x＝±4，
故y＜0时，﹣4＜x＜4，
故选：A．
5．解：当y＝0时，（x﹣a）（x﹣b）＝0，解得x1＝a，x2＝b，抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点为（a，0），（b，0），
所以M＝2，
当y＝0时，（ax+1）（bx+1）＝0，当a≠0，b≠0，解得x1＝﹣，x2＝﹣，抛物线y＝（ax+1）（bx+1）与x轴的交点为（﹣，0），（﹣，0），此时N＝2，
当a＝0，b≠0，或b＝0，a≠0时，函数y＝（ax+1）（bx+1）为一次函数，则N＝1，
所以M＝N，M＝N+1．
故选：C．
6．解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
此时的A点坐标为（﹣1，0），
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），
此时A点的坐标最小为（﹣3，0），
故点A的横坐标的最小值为﹣3，
故选：A．
7．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣3＜x＜1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+c＜﹣mx+n的解集为﹣3＜x＜1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是﹣3＜x＜1．
故选：C．

8．解：①反例：a＝0时，只有两个交点．故说法错误；
②如a＝1，对称轴x＝，当x＞1时，先减后增；故说法错误；
③当a＝0时，函数无最大值、最小值；
当a≠0时，y最值＝＝﹣（4a+），
∴当a＞0时，有最小值，最小值为负数；
当a＜0时，有最大值，最大值为正数．
故说法正确．
故选：B．
9．解：令y＝﹣x2+x+6＝0，则x＝﹣2或3，即抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2，0）、（3，0），
二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，根据点的对称性，两个图象关于x轴对称，
则新图象的表达式为：﹣y′＝﹣x2+x+6，即y′＝x2﹣x﹣6，
如下图，当直线位于直线a、b的位置时，直线y＝2x﹣m与新函数图象有3个交点，处于a、b之间时，有4个交点，

当直线处于直线a的位置时，将（3，0）代入y＝2x﹣m并解得：m＝6；
当直线处于直线b的位置，即直线与y′＝x2﹣x﹣6只有一个交点，联立两个函数表达式并整理得：x2﹣3x+m﹣6＝0，
则△＝（﹣3）2﹣4（m﹣6）＝0，解得：m＝；
故选：C．
10．解：一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m化为一般形式得：x2﹣5x+6﹣m＝0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4（6﹣m）＝4m+1＞0，
解得：m＞﹣，故选项②正确；

∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝5，x1x2＝6﹣m，
而选项①中x1＝2，x2＝3，只有在m＝0时才能成立，
故选项①错误；

二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m＝x2﹣5x+（6﹣m）+m＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
令y＝0，可得（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x＝2或3，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），
故a+b＝5，
故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个，为②③．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵若二次函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象在﹣2≤x≤5的部分与x轴有两个公共点，
∴△＝4a2+4＞0，且，
由4a2+4＞0得a为一切实数，
解不等式组得，，
故答案为：．
12．解：由得，m（x﹣h+3）2﹣k＝0，
∵关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m、h，k均为常数且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，
∴方程m（x﹣h+3）2﹣k＝0中的根满足x3+3＝2，x4+3＝5，
解得，x3＝﹣1，x4＝2，
即抛物线y＝m（x﹣h+3）2与直线y＝k的交点的横坐标是﹣1或2，
故答案为：﹣1或2．
13．解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，即b2＝4c，对称轴为x＝﹣，
∵抛物线过点A（x1，m）、B（x1+5，m）
∴，
∴，
∴A（，m），
将A点坐标代入抛物线解析式，得m＝，
∵b2＝4c，
∴m＝．
故答案为．
14．解：如图，连结BC，与对称轴交点则为点P，连接AP、AC．

由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，
∴CB＝BP+CP＝AP+CP，
∴AC+AP+CP＝AC+BC，
根据“两点之间，线段最短”，得△APC周长的最小，
抛物线y＝﹣x2+x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝﹣2；令x＝0，解得y＝3，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），
∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，
在Rt△AOC中，有AC＝＝＝，
在Rt△BOC中，有BC＝＝＝5，
∴△APC的周长的最小值为：+5，
故答案为+5．
15．解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），
∴对称轴为x＝﹣2，
∵B与C关于对称轴对称，
点B坐标（﹣4，3），
∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，
故答案为﹣4≤x≤﹣1．
三．解答题
16．解：（1）∵直线y＝x﹣3与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B（3，0），C（0，﹣3），
将B（3，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3；
∴x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
由题意可知BP＝t，
∵OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，
∴BD＝PD＝t，
则P（3﹣t，﹣t），（0＜t＜3），E（3﹣t，t2﹣4t），PE＝﹣t2+3t，
过点E作EG∥AB交BC于G点，

∴∠EGP＝∠DPB＝∠PBD＝45°，
∵∠AQB＝∠EQG，∠ABC＝∠EGQ，
∴△ABQ∽△EGQ，
∴，
∵，
∴，
解得t＝1或t＝2．
17．解：（1）设直线l与对称轴交于点F，
∵PD﹣PE＝2PF＝2，
∴PF＝1，
∴对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，解得a＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，a是值为﹣1；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4），顶点M向右平移m（m＞0）个单位至点M1，
∴M1（1+m，4），
∴过点M1作直线l的对称点M2（1+m，2n﹣4），
∵点M2在x轴上方的图象上一点且到x轴距离为1，
∴2n﹣4＝1，解得n＝，
∵M1（1+m，4），
把M1（1+m，4）代入y＝﹣x2+2x+3得，﹣m2+4＝1，
解得m＝或﹣（舍去），
综上，m＝，n＝．

18．解：（1）由题意知，方程﹣x2+bx﹣c＝0的两根：x1＝m﹣2，x2＝2m+1，
∴b＝x1+x2＝3m﹣1，
c＝x1x2＝（m﹣2）（2m+1）＝2m2﹣3m﹣2；

（2）由题意可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为（，），
①当，即m＜﹣1时，在﹣2≤x≤1中，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y的值最大为：﹣4﹣2（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）＝﹣2m2﹣3m＝1，
解得，m＝﹣1（舍去），或m＝﹣（舍去）；
②当﹣2≤≤1，即﹣1≤m≤1时，y有最大值为y＝＝1，
解得，m＝﹣1，或m＝﹣5（舍去）；
③当＞1，即m＞1时，在﹣2≤x≤1中，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y的值最大为：﹣1+（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）＝﹣2m2+6m＝1，
解得，m＝，或m＝（舍去）．
综上，m＝﹣1或．

（3）设线段AB的解析式为y＝kx+b（﹣1≤x≤2），
把A（﹣1，﹣2m2﹣3m），B（2，﹣2m2+6m）代入得，解得，
∴线段AB为：y＝3mx﹣2m2（﹣1≤x≤2），
由3mx﹣2m2＝﹣x2+（3m﹣1）x﹣（2m2﹣3m﹣2），整理得x2+x﹣3m﹣2＝0（﹣1≤x≤2），
当△＝1+4（3m+2）＞0时，m＞﹣，
∵二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点，
∴（﹣1）2+（﹣1）﹣3m﹣2≥0，22+2﹣3m﹣2≥0，
∴m，
∴综上所述，m的取值范围为＜m．