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第1章二次函数（解答题中档题）-【浙教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（浙江）
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这是一份第1章二次函数（解答题中档题）-【浙教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（浙江），共24页。试卷主要包含了的图象的对称轴为直线x＝2，根据以下素材，探索完成任务等内容，欢迎下载使用。
第1章二次函数（解答题中档题）-【浙教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（浙江）
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．（2020•温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
三．二次函数的最值（共1小题）
3．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
四．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
4．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
5．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
五．抛物线与x轴的交点（共3小题）
6．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
7．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
8．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
六．二次函数的应用（共6小题）
9．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）
10．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
11．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求＝ax2+c，部分对应值如下表：
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y需求（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
②该蔬菜供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给＝x﹣1，函数图象见图1．
③1～7月份该蔬菜售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x售价＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函数图象见图2．
请解答下列问题：
（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
12．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
13．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
14．（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）
七．二次函数综合题（共1小题）
15．（2021•绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．
第1章二次函数（解答题中档题）-【浙教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（浙江）
参考答案与试题解析
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
【解答】解：（1）由题意，得到﹣＝3，解得b＝﹣6，
∵函数y1的图象经过（a，﹣6），
∴a2﹣6a+a＝﹣6，
解得a＝2或a＝3，
∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．
（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，
∴r2+br+a＝0，
∴1++＝0，
即a（）2+b•+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
即函数y2的图象经过点（，0）．
（3）∵函数y1和函数y2有最小值分别为m和n，
∴a＞0，
∴m＝，n＝，
∵m+n＝0，
∴+＝0，
∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，
∵a+1＞0，
∴4a﹣b2＝0，
∴m＝n＝0．
二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．（2020•温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
三．二次函数的最值（共1小题）
3．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或．
四．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
4．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
5．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，
解得x＝5或x＝﹣3，
∴n＝5或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．
五．抛物线与x轴的交点（共3小题）
6．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
7．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x²﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x²﹣4x．
8．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【解答】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴A（2，1），
∵对称轴为直线x＝2，B，C关于x＝2对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0时，1＜x＜3．
（2）∵D（0，﹣3），
∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
六．二次函数的应用（共6小题）
9．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）
【解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），
设CE：y＝kx+b（k≠0），
将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，
∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．
（2）当时，，
由题意得，
解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．
∴P的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．
∴设，
将（100，0.250）代入得，解得m＝25，
∴．
将（150，0.167）代入验证：，
∴能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．
由得v2＝320，
又∵v＞0，
∴．
∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．
10．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【解答】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），
设抛物线的解析式为：y＝ax2，
把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，
当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，
∴x＝±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；
方案二：如图3，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．
11．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求＝ax2+c，部分对应值如下表：
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y需求（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
②该蔬菜供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给＝x﹣1，函数图象见图1．
③1～7月份该蔬菜售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x售价＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函数图象见图2．
请解答下列问题：
（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
【解答】解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y需求＝ax2+c，
，
②﹣①，得7a＝﹣1.4，
解得：a＝﹣，
把a＝﹣代入①，得c＝9，
∴a的值为﹣，c的值为9；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
w＝x售价﹣x成本＝t+2﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣4）2+3，
∵﹣＜0，且1≤t≤7，
∴当t＝4时，w有最大值，
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
（3）当y供给＝y需求时，x﹣1＝﹣x2+9，
解得：x1＝5，x2＝﹣10（舍去），
∴此时售价为5元/千克，
则y供给＝x﹣1＝5﹣1＝4（吨）＝4000（千克），
令t+2＝5，解得t＝6，
∴w＝﹣（t﹣4）2+3＝﹣×（6﹣4）2+3＝2，
∴总利润为w•y＝2×4000＝8000（元），
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
12．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
【解答】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．
将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1＝，
∴y1＝x2，
当x＝12时，y1＝×122＝﹣6，
∴桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，
将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3＝（x+6）2+1
②设彩带的长度为Lm，
则L＝y2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（x2）＝＝，
∴当x＝4时，L最小值＝2，
答：彩带长度的最小值是2m．
13．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【解答】解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），
∴当H＝20cm时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当h＝10cm时，s2有最大值400cm2，
∴当h＝10cm时，s有最大值20cm．
∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
（2）∵s2＝4h（20﹣h），
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），
∴20a﹣a2＝20b﹣b2，
∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，
∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，
∴a＝b或a+b＝20；
（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4+（20+m）2，
∴当h＝cm时，smax＝20+m＝20+16，
∴m＝16cm，此时h＝＝18cm．
当h＝＞20时，即m＞20时，
h＝20时，S2max＝362，
362＝4×20×（20+m﹣20），
∴M＝16.2（舍弃）．
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
14．（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；
当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝6≈8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
七．二次函数综合题（共1小题）
15．（2021•绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．
【解答】解：（1）∵CO＝4，
∴顶点C(0，4)，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，
∵AB＝4，
∴AD＝DB＝2，
∵DO＝8，
∴A(﹣2，8)，B(2，8)，
将B(2，8)代入y＝ax2+4，
得：8＝a×22+4，
解得：a＝1，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+4；
（2）由题意得：＝0.6，CO＝4,
∴＝0.6，
∴CD′＝6，
∴OD′＝OC+CD′＝4+6＝10，
又∵杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，
∴设B′(x1，10)，A′(x2，10),
∴当y＝10时，10＝x2+4，
解得：x1＝，x2＝﹣，
∴A′B′＝2，
∴杯口直径A′B′的长为2．
第1章二次函数（解答题中档题）-【浙教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（浙江）
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．（2020•温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
三．二次函数的最值（共1小题）
3．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
四．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
4．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
5．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
五．抛物线与x轴的交点（共3小题）
6．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
7．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
8．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
六．二次函数的应用（共6小题）
9．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）
10．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
11．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求＝ax2+c，部分对应值如下表：
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y需求（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
②该蔬菜供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给＝x﹣1，函数图象见图1．
③1～7月份该蔬菜售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x售价＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函数图象见图2．
请解答下列问题：
（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
12．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
13．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
14．（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）
七．二次函数综合题（共1小题）
15．（2021•绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．
第1章二次函数（解答题中档题）-【浙教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（浙江）
参考答案与试题解析
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
【解答】解：（1）由题意，得到﹣＝3，解得b＝﹣6，
∵函数y1的图象经过（a，﹣6），
∴a2﹣6a+a＝﹣6，
解得a＝2或a＝3，
∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．
（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，
∴r2+br+a＝0，
∴1++＝0，
即a（）2+b•+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
即函数y2的图象经过点（，0）．
（3）∵函数y1和函数y2有最小值分别为m和n，
∴a＞0，
∴m＝，n＝，
∵m+n＝0，
∴+＝0，
∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，
∵a+1＞0，
∴4a﹣b2＝0，
∴m＝n＝0．
二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．（2020•温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
三．二次函数的最值（共1小题）
3．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或．
四．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
4．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
5．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，
解得x＝5或x＝﹣3，
∴n＝5或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．
五．抛物线与x轴的交点（共3小题）
6．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
7．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x²﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x²﹣4x．
8．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【解答】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴A（2，1），
∵对称轴为直线x＝2，B，C关于x＝2对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0时，1＜x＜3．
（2）∵D（0，﹣3），
∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
六．二次函数的应用（共6小题）
9．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）
【解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），
设CE：y＝kx+b（k≠0），
将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，
∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．
（2）当时，，
由题意得，
解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．
∴P的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．
∴设，
将（100，0.250）代入得，解得m＝25，
∴．
将（150，0.167）代入验证：，
∴能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．
由得v2＝320，
又∵v＞0，
∴．
∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．
10．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【解答】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），
设抛物线的解析式为：y＝ax2，
把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，
当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，
∴x＝±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；
方案二：如图3，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．
11．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求＝ax2+c，部分对应值如下表：
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y需求（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
②该蔬菜供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给＝x﹣1，函数图象见图1．
③1～7月份该蔬菜售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x售价＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函数图象见图2．
请解答下列问题：
（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
【解答】解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y需求＝ax2+c，
，
②﹣①，得7a＝﹣1.4，
解得：a＝﹣，
把a＝﹣代入①，得c＝9，
∴a的值为﹣，c的值为9；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
w＝x售价﹣x成本＝t+2﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣4）2+3，
∵﹣＜0，且1≤t≤7，
∴当t＝4时，w有最大值，
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
（3）当y供给＝y需求时，x﹣1＝﹣x2+9，
解得：x1＝5，x2＝﹣10（舍去），
∴此时售价为5元/千克，
则y供给＝x﹣1＝5﹣1＝4（吨）＝4000（千克），
令t+2＝5，解得t＝6，
∴w＝﹣（t﹣4）2+3＝﹣×（6﹣4）2+3＝2，
∴总利润为w•y＝2×4000＝8000（元），
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
12．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
【解答】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．
将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1＝，
∴y1＝x2，
当x＝12时，y1＝×122＝﹣6，
∴桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，
将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3＝（x+6）2+1
②设彩带的长度为Lm，
则L＝y2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（x2）＝＝，
∴当x＝4时，L最小值＝2，
答：彩带长度的最小值是2m．
13．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【解答】解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），
∴当H＝20cm时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当h＝10cm时，s2有最大值400cm2，
∴当h＝10cm时，s有最大值20cm．
∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
（2）∵s2＝4h（20﹣h），
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），
∴20a﹣a2＝20b﹣b2，
∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，
∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，
∴a＝b或a+b＝20；
（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4+（20+m）2，
∴当h＝cm时，smax＝20+m＝20+16，
∴m＝16cm，此时h＝＝18cm．
当h＝＞20时，即m＞20时，
h＝20时，S2max＝362，
362＝4×20×（20+m﹣20），
∴M＝16.2（舍弃）．
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
14．（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；
当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝6≈8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
七．二次函数综合题（共1小题）
15．（2021•绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．
【解答】解：（1）∵CO＝4，
∴顶点C(0，4)，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，
∵AB＝4，
∴AD＝DB＝2，
∵DO＝8，
∴A(﹣2，8)，B(2，8)，
将B(2，8)代入y＝ax2+4，
得：8＝a×22+4，
解得：a＝1，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+4；
（2）由题意得：＝0.6，CO＝4,
∴＝0.6，
∴CD′＝6，
∴OD′＝OC+CD′＝4+6＝10，
又∵杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，
∴设B′(x1，10)，A′(x2，10),
∴当y＝10时，10＝x2+4，
解得：x1＝，x2＝﹣，
∴A′B′＝2，
∴杯口直径A′B′的长为2．
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