第22章+二次函数（解答题压轴题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）

这是一份第22章+二次函数（解答题压轴题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北），共49页。试卷主要包含了，他们称，，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
第22章 二次函数（解答题压轴题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）
一．二次函数综合题（共12小题）
1．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

2．（2022•十堰）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．

3．（2022•宜昌）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E（0，n）．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（m+1，m+3），N（m+1，m），P（m+5，m），Q（m+5，m+3）．
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y＝有且只有一个交点，求n2的最大值；
（3）当直线l与四边形MNPQ、抛物线y＝ax2+bx﹣2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y＝ax2+bx﹣2的交点的纵坐标．
①当m＝﹣3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．


4．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．


5．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．


6．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．

（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；
（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
7．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；
（3）已知点M（2﹣，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．

8．（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．

9．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2020•恩施州）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．
（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图2）．
①求证：EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．
11．（2020•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2020•十堰）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；
（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


第22章 二次函数（解答题压轴题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共12小题）
1．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　（0，）　，　y＝﹣　．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

【解答】解：（1）∵a＝2，
∴＝，
故答案为：（0，），y＝﹣；
（2）∵a＝，
∴﹣＝﹣2，
∴准线为：y＝﹣2，
∴点P的纵坐标为：4，
∴＝4，
∴x＝±4，
∴P（4，2）或（﹣4，2）；
（3）如图，


作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，
∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH＝，
∵BK∥FH∥AG，
∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，
∴，，
∴＝＝，，
∴a＝；
（4）设点M（m，m2），
∵＝，
∴＝2，
∴＝2，
∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴M（﹣2，1），
∵E为线段HF的黄金分割点，
∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
当EH＝﹣1时，S△HME＝＝＝﹣1，
当EH＝3﹣时，S△HME＝3﹣，
∴△HME的面积是﹣1或3﹣．
2．（2022•十堰）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．

【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2+x﹣3；
（2）①如图1，

设直线PC交x轴于E，
∵PD∥OC，
∴∠OCE＝∠CPD＝45°，
∵∠COE＝90°，
∴∠CEO＝90°﹣∠ECO＝45°，
∴∠CEO＝∠OCE，
∴OE＝OC＝3，
∴点E（3，0），
∴直线PC的解析式为：y＝x﹣3，
由x2+x﹣3＝x﹣3得，
∴x1＝﹣，x2＝0（舍去），
当x＝﹣时，y＝﹣﹣3＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②如图2，

设点P（m，m2+m﹣3），四边形PECE′的周长记作l，
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′PC，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴∠ECP＝∠EPC，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴▱PECE′为菱形，
∴CE＝PE，
∵EF∥OA，
∴，
∴，
∴CE＝﹣m，
∵PE＝﹣（﹣）﹣（+﹣3）＝﹣﹣3m，
∴﹣＝﹣m2﹣3m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，
∴CE＝，
∴l＝4CE＝4×＝，
当点P在第二象限时，
同理可得：
﹣m＝+3m，
∴m3＝0（舍去），m4＝﹣，
∴l＝4×＝，
综上所述：四边形PECE′的周长为：或．
3．（2022•宜昌）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E（0，n）．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（m+1，m+3），N（m+1，m），P（m+5，m），Q（m+5，m+3）．
（1）填空：a＝　　，b＝　﹣　；
（2）若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y＝有且只有一个交点，求n2的最大值；
（3）当直线l与四边形MNPQ、抛物线y＝ax2+bx﹣2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y＝ax2+bx﹣2的交点的纵坐标．
①当m＝﹣3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．


【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
∴，
解得，
故答案为：，﹣；
（2）设直线BC的解析式为y＝dx+e，
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∵直线BC平移得到直线l，直线l与y轴交于点E（0，n），
∴直线l的解析式为y＝x+n，
∵双曲线y＝经过点M（m+1，m+3），
∴k＝（m+1）（m+3），
∴y＝，
∵直线l与双曲线y＝有且只有一个交点，
联立方程组，
整理得x2+2nx﹣2m2﹣8m﹣6＝0，
∴Δ＝0，即4n2﹣4（﹣2m2﹣8m﹣6）＝0，
∴n2+2m2+8m+6＝0，
∴n2＝﹣2m2﹣8m﹣6＝﹣2（m+2）2+2，
∵M点在第二象限，
∴m+1＜0，m+3＞0，
∴﹣3＜m＜﹣1，
∴当m＝﹣2时，n2可以取得最大值2；
（3）如图1，当直线l与抛物线有交点时，联立方程组，
整理得，x2﹣4x﹣4﹣2n＝0，
∵Δ≥0，即8n+16≥0，
∴n≥﹣4，
当n＝﹣4时，直线y＝x﹣4与抛物线的交点为F（2，﹣3）；
①当m＝﹣3时，四边形NMPQ的顶点分别为M（﹣2，0），N（﹣2，﹣3），P（2，﹣3），Q（2，0），
如图2，当直线l经过点P（2，﹣3）时，此时P点与F点重合，
∴n＝﹣4时，直线l与四边形MNPQ、抛物线都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标；
如图3，当直线l经过点A时，n＝，
当直线l经过点M时，如图4，n＝1，
∴≤n≤1，
综上所述：n的取值范围为：≤n≤1或n＝﹣4；
②当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在直线y＝x﹣4上时，直线l与四边形MNPQ、抛物线同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，
∴m+3＝（m+1）﹣4，
解得m＝﹣13；
如图5，当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线l（即经过此时点M的直线l）与四边形MNPQ、平行同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，
∴（m+1）2﹣（m+1）﹣2＝m+3，
解得m＝（舍）或m＝，
综上所述：m的取值范围为﹣13≤m≤．





4．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．


【解答】解：（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）∵OP＝OA＝1，
∴P（0，1），
∴直线AC的解析式为y＝x+1．
①若点D在AC的下方时，
过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．
∵B（3，0），BD1∥AC，
∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3，
由，解得或，
∴D1（0，﹣3），
∴D1的横坐标为0．
②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），
过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．
直线l的解析式为y＝x+5，
由，可得x2﹣3x﹣8＝0，
解得x＝或，
∴D2，D3的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，．

（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，
由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，
设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，
∴xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b
∵xA＝﹣1，
∴xC＝3+b，
∴m＝3+b，
∵xB＝3，
∴xE＝﹣1﹣，
∴n＝﹣1﹣，
设直线CE的解析式为y＝px+q，
同法可得mn＝﹣3﹣q
∴q＝﹣mn﹣3，
∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，
∴OF＝b2+2b，
∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m．

5．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，
∴C（0，3），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图（2）中，连接OP．设P（m，﹣m2﹣2m+3），

S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，
＝×3×（﹣m2﹣2m+3）××3×（﹣m）+×1×3
＝（﹣m2﹣3m+4）
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）；

（3）存在，理由如下：
如图3﹣1中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（﹣1，4），N（0，4）；

如图3﹣2中，当四边形PMCN是矩形时，设M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t+1，0），

由题意，，
解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，
解得t＝，
∴P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
综上所述，满足条件的点P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
6．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．

（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；
（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
【解答】解：（1）由题意：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1，
令y＝0，可得x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，得到y＝1，
∴C（0，1），
∴OA＝OC＝1，
∴∠CAO＝45°．

（2）如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．

∵∠NEM＝∠DFM＝∠NMD＝90°，
∴∠NME+∠DMF＝90°，∠DMF+∠MDF＝90°，
∴∠NME＝∠MDF，
∵NM＝DM，
∴△MEN≌△DFM（AAS），
∴NE＝MF，EM＝DF，
∵∠CAO＝45°，AN＝t，AM＝3t，
∴AE＝EN＝t，
∴EM＝AM﹣AE＝2t，
∴DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，
∴D（4t﹣1，2t），
∴﹣（4t﹣1）2+（4t﹣1）+1＝2t，
∵t＞0，故可以解得t＝，
经检验，t＝时，M，N均没有达到终点，符合题意，
∴D（2，）．

（3）如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠MDB时，

取E（，0），连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，
∵M（，0），D（2，），B（4，0）
∴FM＝2﹣＝，DM＝，BM＝，BD＝，
∴DF＝2MF，
∵OC＝2OE，
∴tan∠OCE＝tan∠MDF＝，
∴∠OCE＝∠MDF，
∴∠OCP＝∠MDB，
∴∠ECG＝∠FDB，
∴tan∠ECG＝tan∠FDB＝，
∵EC＝，
∴EG＝，可得G（，），
∴直线CP的解析式为y＝﹣x+1，
由，解得或，
∴P（，），C（0，1），
∴PC＝，
当＝或＝时，△QCP与△MDB相似，可得CQ＝或，
∴Q（0，﹣）或（0，﹣）．
如图3﹣2中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DMB时，设PC交x轴于k．

∵tan∠OCK＝tan∠DMB＝2，
∴OK＝2OC＝2，
∴点K与F重合，
∴直线PC的解析式为y＝﹣x+1，
由，解得或，
∴P（5，﹣），
∴PC＝，
当＝或＝时，△QCP与△MDB相似，可得CQ＝或，
∴Q（0，﹣）或（0，﹣）．
当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DBM时，同法可得P（，﹣），Q（0，﹣）或（0，），
当点Q在点C上方，∠QCP＝∠DMB时，同法可得P（1，），Q（0，）或（0，），
当点Q在点C上方，∠QCP＝∠MDB时，同法可得P（，），Q（0，）或（0，），
当点Q在点C下方，点P在y轴的左侧时，∠QCP＝∠DBM时，同法可得P（﹣，﹣），Q（0，﹣）或（0，﹣）．
7．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；
（3）已知点M（2﹣，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．

【解答】解：（1）把A（﹣3.1）代入y＝﹣x2+kx﹣2k，
得﹣9﹣3k﹣2k＝1．
解得k＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；

（2）如图1，设C（t，﹣t2﹣2t+4），则E（t，﹣﹣t+2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（﹣3，1），（0，4）代入得到，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
∵E（t，﹣﹣t+2）在直线AB上，
∴﹣﹣t+2＝t+4，
解得t1＝t2＝﹣2，
∴C（﹣2，4）．

（3）由y＝﹣x2+kx﹣2k＝k（x﹣2）﹣x2，
当x﹣2＝0时，x＝2，y＝﹣4，
∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，﹣4），
二次函数的顶点N（，﹣2k），
①如图2中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若＞2时，则k＞4，
∵M（2﹣，0），H（2，﹣4），
∴MI＝，HI＝4，
∴tan∠MHI＝＝，
∴∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴∠NHI＝30°，
即∠GNH＝30°，
由图可知，tan∠GNH＝＝＝，
解得k＝4+2或4（不合题意舍弃）．

②如图3中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G．

若＜2，则k＜4，
同理可得，∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴NH⊥HI，
即﹣2k＝﹣4，
解得k＝4（不符合题意舍弃）．
③若＝2，则N，H重合，不符合题意舍弃，
综上所述，抛物线的解析式为y＝﹣x2+（4+2）x﹣（8+4）．


8．（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．

【解答】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，

∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），
∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5，
∴OA＝OC＝，
∵DE∥BC，O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AE＝AB，BC＝2OE，
∴E（，﹣1），
∴EM＝，
∴OE＝＝＝，
∴BC＝2OE＝，
在△ABC中，∵＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵AC为半圆O的直径，
∴BC是半圆O的切线；
（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：
如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA＝，
∵OD∥BC，
∴四边形OBCD是平行四边形；
（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA＝，E是AB的中点，且E（，﹣1），OE＝，
过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，

∴△ODN∽△OEM，
∴，即，
∴ON＝2，DN＝1，
∴D（﹣1，2），
设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，
把D（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1﹣）2﹣1，
解得：a＝，
∴此抛物线的解析式为：y＝（x﹣）2﹣1，即y＝；
②存在，
过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，

∵DG＝1+＝，EG＝2+1＝3，
∴DE＝＝＝，
tan∠DEG＝＝，
∵tan∠OAM＝，且∠DEG和∠OAM都是锐角，
∴∠DEG＝∠OAM，
如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，
∴EP＝，
∵S△AOB＝＝，
∵S△EPQ＝S△OAB，
∴＝，
即，
解得：x＝或﹣；
如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，

∴EP＝，
同理得：，
解得：x＝或﹣；
综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或﹣或或﹣．
9．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）针对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则0＝x﹣2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），
∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，
∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝m﹣2，
∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，
∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，
∴m＝﹣2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
即满足条件的m的值为﹣或1或﹣2；

②存在，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，
∴x＝﹣1或x＝4，
∴点A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴OB＝4，OC＝2，
∴，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，
∵△PNC与△AOC相似，
∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，
∴∠PCN＝∠ACO，
∴∠PCN＝∠OBC，
∴CP∥OB，
∴点P的纵坐标为﹣2，
∴m2﹣m﹣2＝﹣2，
∴m＝0（舍）或m＝3，
∴P（3，﹣2）；
Ⅱ、当△PNC∽△COA时，
∴∠PCN＝∠CAO，
∴∠OCB＝∠PCD，
∵PD∥OC，
∴∠OCB＝∠CDP，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴PC＝PD，
由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵C（0，﹣2），
∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，
∴2m﹣m2＝，
∴m＝或m＝0（舍），
∴P（，﹣）．
即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．
10．（2020•恩施州）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．
（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图2）．
①求证：EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．
【解答】解：（1）∵点C（6，0）在抛物线上，
∴，
得到6b+c＝9，
又∵对称轴为x＝2，
∴，
解得b＝1，
∴c＝3，
∴二次函数的解析式为；
（2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中：

∵抛物线的解析式为，对称轴为x＝2，C（6，0）
∴点A（2，0），顶点B（2，4），
∴AB＝AC＝4，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1＝45°；
∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，
∴FM＝CM，∠2＝∠1＝45°，
设点M的坐标为（m，0），
∴点F（m，6﹣m），
又∵∠2＝45°，
∴直线EF与x轴的夹角为45°，
∴设直线EF的解析式为y＝x+d，
把点F（m，6﹣m）代入得：6﹣m＝m+b，解得：d＝6﹣2m，
直线EF的解析式为y＝x+6﹣2m，
∵直线EF与抛物线只有一个交点，
∴，
整理得：，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，解得m＝，
点M的坐标为（，0）．
当点M在点C的右侧时，如下图：

由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线EF与抛物线不可能只有一个交点．
综上，点M的坐标为（，0）．
（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

∵，由（2）知∠BCA＝45°，
∴PG＝GC＝1，
∴点G（5，0），
设点M的坐标为（m，0），
∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，
∴EM＝PM，
∵∠HEM+∠EMH＝∠GMP+∠EMH＝90°，
∴∠HEM＝∠GMP，
在△EHM和△MGP中，，
∴△EHM≌△MGP（AAS），
∴EH＝MG＝5﹣m，HM＝PG＝1，
∴点H（m﹣1，0），
∴点E的坐标为（m﹣1，5﹣m）；
∴EA＝＝，
又∵D为线段BC的中点，B（2，4），C（6，0），
∴点D（4，2），
∴ED＝＝，
∴EA＝ED．
当点M在点C的右侧时，如下图：

同理，点E的坐标仍为（m﹣1，5﹣m），因此EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，
把E（m﹣1，5﹣m）代入，整理得：m2﹣10m+13＝0，
解得：m＝或m＝，
∴CM＝或CM＝．
11．（2020•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）因为抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．

（2）如图1中，连接AC，BC．

∵S△ACE：S△CEB＝3：5，
∴AE：EB＝3：5，
∵AB＝4，
∴AE＝4×＝，
∴OE＝0.5，
设直线CE的解析式为y＝kx+b′，则有，
解得，
∴直线EC的解析式为y＝﹣6x+3．

（3）由题意C（0，3），D（1，4）．

观察图象可知CD只能说平行四边形的边，不可能是对角线，
当四边形P1Q1CD，四边形P2Q2CD是平行四边形时，点P的纵坐标为1，
当y＝1时，﹣x2+2x+3＝1，
解得x＝1±，
∴P1（1+，1），P2（1﹣，1），
当四边形P3Q3DC，四边形P4Q4DC是平行四边形时，点P的纵坐标为﹣1，
当y＝﹣1时，﹣x2+2x+3＝﹣1，
解得x＝1±，
∴P1（1+，﹣1），P2（1﹣，﹣1），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1﹣，﹣1）或（1+，﹣1）．

（4）如图3中，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小．

∵H（0，），B（3，0），
∴直线BH的解析式为y＝﹣x+，
∵x＝1时，y＝，
∴F（1，），
设K（x，y），作直线y＝，过点K作KM⊥直线y＝于M．
∵KF＝，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴（x﹣1）2＝4﹣y，
∴KF＝＝＝|y﹣|，
∵KM＝|y﹣|，
∴KF＝KM，
∴KG+KF＝KG+KM，
根据垂线段最短可知，当G，K，M共线，且垂直直线y＝时，GK+KM的值最小，最小值为，
此时K（2，3）．
12．（2020•十堰）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；
（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax+c中，，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
当时，y＝4，
∴D（1，4）；

（2）如图1，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，
∴x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0）．
设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点C（0，3），B（3，0）代入，得，
解得，
∴y＝﹣x+3．
∵EF⊥CB．
设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
将点E坐标代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，
∴y＝x﹣m2+m+3，联立得．
∴．
∴．
把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，
∴G（m，﹣m+3）．
∵BG＝CF．
∴BG2＝CF2，即．
解得m＝2或m＝﹣3．
∵点E是BC上方抛物线上的点，
∴m＝﹣3，（舍去）．
∴点E（2，3），F（1，2），G（2，1），，，
∴；
（3）如图2，过点A作AN⊥HB于N，
∵点D（1，4），B（3，0），
∴yDB＝﹣2x+6．
∵点A（﹣1，0），点C（0，3），
∴yAC＝3x+3，联立得，
∴，
∴．
设，把（﹣1，0）代入，得b＝，
∴，联立得，
∴，
∴，
∴＝，，
∴AN＝HN．
∴∠H＝45°．
设点P（n，﹣n2+2n+3）．
过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，
∴∠RSP＝45°且点S的坐标为（﹣n2+3n+3，0）．
若∠OPB＝∠AHB＝45°
在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，
∴△OPS∽△OBP．
∴．
∴OP2＝OB•OS．
∴n2+（n+1）2（n﹣3）2＝3•（﹣n2+3n+3）．
∴n＝0或或n＝3（舍去）．
∴P1（0，3），，．