第28章锐角三角形(解答题)-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习(湖北)
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一.解直角三角形的应用(共2小题)
1.(2022•宜昌)知识小提示:要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°.(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin66°≈0.91,cos66°≈0.41,tan66°≈2.25)
如图,现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上.
(1)当人安全使用这架梯子时,求梯子顶端A与地面距离的最大值;
(2)当梯子底端B距离墙面1.64m时,计算∠ABO等于多少度?并判断此时人是否能安全使用这架梯子?
2.(2020•襄阳)襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代,郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中.如图,工程队拟沿AC方向开山修路,为加快施工进度,需在小山的另一边点E处同时施工.要使A、C、E三点在一条直线上,工程队从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=560米,∠D=50°.那么点E与点D间的距离是多少米?
(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)
二.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(共1小题)
3.(2020•十堰)如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°,现有一架长为6m的梯子,当梯子底端离墙面2m时,此时人是否能够安全使用这架梯子(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin75°≈0.97,cos75°=0.26)?
三.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共9小题)
4.(2022•襄阳)位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑,是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的,某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度.无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°,烈士塔底部点C的俯角为61°,无人机与烈士塔的水平距离AD为10m,求烈士塔的高度.(结果保留整数.参考数据:sin61°≈0.87,cos61°≈0.48,tan61°≈1.80)
5.(2022•湖北)小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度.如图,已知测角仪的高度为1.58米,她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°,接着朝旗杆方向前进20米到达C处,在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°,求旗杆EF的高度.(结果保留小数点后一位)(参考数据:≈1.732)
6.(2022•鄂州)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场,于2022年3月19日完成首次全货运试飞,很多市民共同见证了这一历史时刻.如图,市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°.若斜坡CF的坡比=1:3,铅垂高度DG=30米(点E、G、C、B在同一水平线上).求:
(1)两位市民甲、乙之间的距离CD;
(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)
7.(2022•荆州)荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外.如图,某校学生测量其高AB(含底座),先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°,再由点C向城徽走6.6m到E处,测得顶端A的仰角为45°.已知B,E,C三点在同一直线上,测角仪离地面的高度CD=EF=1.5m,求城徽的高AB.(参考数据:sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625).
8.(2021•襄阳)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°,观测旗杆底部B的仰角为45°,求旗杆AB的高度(结果保留小数点后一位.参考数据:sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28,≈1.41).
9.(2021•恩施州)乡村振兴使人民有更舒适的居住条件,更优美的生活环境,如图是怡佳新村中的两栋居民楼,小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°,观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°,已知甲居民楼的高为10m,求乙居民楼的高.(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果精确到0.1m)
10.(2020•黄石)如图,是某小区的甲、乙两栋住宅楼,小丽站在甲栋楼房AB的楼顶,测量对面的乙栋楼房CD的高度.已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC=18米,小丽在甲栋楼房顶部B点,测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,求乙栋楼房CD的高度(结果保留根号).
11.(2020•随州)如图,某楼房AB顶部有一根天线BE,为了测量天线的高度,在地面上取同一条直线上的三点C,D,A,在点C处测得天线顶端E的仰角为60°,从点C走到点D,测得CD=5米,从点D测得天线底端B的仰角为45°,已知A,B,E在同一条垂直于地面的直线上,AB=25米.
(1)求A与C之间的距离;
(2)求天线BE的高度.(参考数据:≈1.73,结果保留整数)
12.(2020•鄂州)鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α,无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处,测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度,点M、C、D在同一条直线上.其中tanα=2,MC=50米.
(1)求无人机的飞行高度AM;(结果保留根号)
(2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73)
四.解直角三角形的应用-方向角问题(共6小题)
13.(2022•恩施州)如图,湖中一古亭,湖边一古柳,一沉静,一飘逸,碧波荡漾,相映成趣.某活动小组赏湖之余,为了测量古亭与古柳间的距离,在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°,他们向南走50m到达D点,测得古亭B位于北偏东45°.求古亭与古柳之间的距离AB的长(参考数据:≈1.41,≈1.73,结果精确到1m).
14.(2021•鄂州)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐.一市民骑自行车由A地出发,途经B地去往C地,如图.当他由A地出发时,发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P.他由A地沿正东方向骑行4km到达B地,此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向,然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地.
(1)求A地与信号发射塔P之间的距离;
(2)求C地与信号发射塔P之间的距离.(计算结果保留根号)
15.(2021•荆门)某海域有一小岛P,在以P为圆心,半径r为10(3+)海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行,它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上,当海监船行驶20海里后到达B处,此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上.
(1)求A,P之间的距离AP;
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险?请说明理由.如果有触礁危险,那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域?
16.(2020•恩施州)如图,一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行,在A处测得小岛P位于其西北方向(北偏西45°方向),2小时后轮船到达B处,在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向.求此时船与小岛P的距离(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732).
17.(2020•荆门)如图,海岛B在海岛A的北偏东30方向,且与海岛A相距20海里,一艘渔船从海岛B出发,以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行,同时一艘快艇从海岛A出发,向正东方向航行.2小时后,快艇到达C处,此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处.
(1)求∠ABE的度数;
(2)求快艇的速度及C,E之间的距离.
(参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,≈1.73)
18.(2020•黄冈)因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园,“国庆黄金周”期间,游人络绎不绝,现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览,当船在A处时,船上游客发现岸上P1处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向,当游船向正东方向行驶600m到达B处时,游客发现遗爱亭在北偏西15°方向,当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时,游客发现临摹亭在北偏西60°方向.
(1)求A处到临摹亭P1处的距离;
(2)求临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离.(计算结果保留根号)
第28章锐角三角形(解答题)-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习(湖北)
参考答案与试题解析
一.解直角三角形的应用(共2小题)
1.(2022•宜昌)知识小提示:要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°.(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin66°≈0.91,cos66°≈0.41,tan66°≈2.25)
如图,现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上.
(1)当人安全使用这架梯子时,求梯子顶端A与地面距离的最大值;
(2)当梯子底端B距离墙面1.64m时,计算∠ABO等于多少度?并判断此时人是否能安全使用这架梯子?
【解答】解:(1)53°≤α≤72°,当α=72°时,AO取最大值,
在Rt△AOB中,sin∠ABO=,
∴AO=AB•sin∠ABO=4×sin72°=4×0.95=3.8(米),
∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8米;
(2)在Rt△AOB中,cos∠ABO==1.64÷4=0.41,
∵cos66°≈0.41,
∴∠ABO=66°,
∵53°≤α≤72°,
∴人能安全使用这架梯子.
2.(2020•襄阳)襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代,郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中.如图,工程队拟沿AC方向开山修路,为加快施工进度,需在小山的另一边点E处同时施工.要使A、C、E三点在一条直线上,工程队从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=560米,∠D=50°.那么点E与点D间的距离是多少米?
(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)
【解答】解:∵A、C、E三点在一条直线上,∠ABD=140°,∠D=50°,
∴∠E=140°﹣50°=90°,
在Rt△BDE中,
DE=BD•cos∠D,
=560×cos50°,
≈560×0.64,
=358.4(米).
答:点E与点D间的距离是358.4米.
二.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(共1小题)
3.(2020•十堰)如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°,现有一架长为6m的梯子,当梯子底端离墙面2m时,此时人是否能够安全使用这架梯子(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin75°≈0.97,cos75°=0.26)?
【解答】解:在Rt△ABC中,
∵cosα=,
∴AC=AB•cosα,
当α=50°时,AC=AB•cosα≈6×0.64=3.84(m);
当α=75°时,AC=AB•cosα≈6×0.26=1.56(m);
所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子底端与墙面的距离应该在1.56m~3.84m之间,
∵1.56<2<3.84
∴此时人能够安全使用这架梯子.
答:当梯子底端离墙面2m时,此时人能够安全使用这架梯子.
三.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共9小题)
4.(2022•襄阳)位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑,是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的,某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度.无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°,烈士塔底部点C的俯角为61°,无人机与烈士塔的水平距离AD为10m,求烈士塔的高度.(结果保留整数.参考数据:sin61°≈0.87,cos61°≈0.48,tan61°≈1.80)
【解答】解:由题意得,∠BAD=45°,∠DAC=61°,
在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AD=10m,
∴BD=AD=10m,
在Rt△ACD中,∠DAC=61°,
tan61°=≈1.80,
解得CD≈18,
∴BC=BD+CD=10+18=28(m).
∴烈士塔的高度约为28m.
5.(2022•湖北)小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度.如图,已知测角仪的高度为1.58米,她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°,接着朝旗杆方向前进20米到达C处,在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°,求旗杆EF的高度.(结果保留小数点后一位)(参考数据:≈1.732)
【解答】解:过点D作DG⊥EF于点G,
则A,D,G三点共线,BC=AD=20米,AB=CD=FG=1.58米,
设DG=x米,则AG=(20+x)米,
在Rt△DEG中,∠EDG=60°,
tan60°=,
解得EG=x,
在Rt△AEG中,∠EAG=30°,
tan30°==,
解得x=10,
经检验,x=10是所列分式方程的解,
∴EG=10米,
∴EF=EG+FG≈18.9米.
∴旗杆EF的高度约为18.9米.
6.(2022•鄂州)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场,于2022年3月19日完成首次全货运试飞,很多市民共同见证了这一历史时刻.如图,市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°.若斜坡CF的坡比=1:3,铅垂高度DG=30米(点E、G、C、B在同一水平线上).求:
(1)两位市民甲、乙之间的距离CD;
(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)
【解答】解:(1)∵斜坡CF的坡比=1:3,DG=30米,
∴=,
∴GC=3DG=90(米),
在Rt△DGC中,DC===30(米),
∴两位市民甲、乙之间的距离CD为30米;
(2)过点D作DH⊥AB,垂足为H,
则DG=BH=30米,DH=BG,
设BC=x米,
在Rt△ABC中,∠ACB=45°,
∴AB=BC•tan45°=x(米),
∴AH=AB﹣BH=(x﹣30)米,
在Rt△ADH中,∠ADH=30°,
∴tan30°===,
∴x=60+90,
经检验:x=60+90是原方程的根,
∴AB=(60+90)米,
∴此时飞机的高度AB为(60+90)米.
7.(2022•荆州)荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外.如图,某校学生测量其高AB(含底座),先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°,再由点C向城徽走6.6m到E处,测得顶端A的仰角为45°.已知B,E,C三点在同一直线上,测角仪离地面的高度CD=EF=1.5m,求城徽的高AB.(参考数据:sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625).
【解答】解:延长DF交AB于点G,
则∠AGF=90°,DF=CE=6.6米,CD=EF=BG=1.5米,
设FG=x米,
∴DG=FG+DF=(x+6.6)米,
在Rt△AGF中,∠AFG=45°,
∴AG=FG•tan45°=x(米),
在Rt△AGD中,∠ADG=32°,
∴tan32°==≈0.625,
∴x=11,
经检验:x=11是原方程的根,
∴AB=AG+BG=11+1.5=12.5(米),
∴城徽的高AB约为12.5米.
8.(2021•襄阳)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°,观测旗杆底部B的仰角为45°,求旗杆AB的高度(结果保留小数点后一位.参考数据:sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28,≈1.41).
【解答】解:在Rt△BCD中,∵tan∠BDC=,
∴BC=CD•tan∠BDC=20×tan45°=20(m),
在Rt△ACD中,∵tan∠ADC=,
∴AC=CD•tan∠ADC=20×tan52°≈20×1.28=25.6(m),
∴AB=AC﹣BC=5.6(m).
答:旗杆AB的高度约为5.6m.
9.(2021•恩施州)乡村振兴使人民有更舒适的居住条件,更优美的生活环境,如图是怡佳新村中的两栋居民楼,小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°,观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°,已知甲居民楼的高为10m,求乙居民楼的高.(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果精确到0.1m)
【解答】解:作DE⊥BC于E,CF⊥BD于F,
在Rt△BED中,BE=AD=10m,∠EDB=30°,
∴∠EBD=60°,BD=2BE=20m,
在Rt△CBF中,∠CBF=60°,
∴BF=BC,CF=BC,
在Rt△CDF中,∠CDF=45°,
∴DF=CF=BC,
∵BD=BF+DF,
∴BC+BC=20,
∴BC=≈14.6(m),
答:乙居民楼的高约为14.6m.
10.(2020•黄石)如图,是某小区的甲、乙两栋住宅楼,小丽站在甲栋楼房AB的楼顶,测量对面的乙栋楼房CD的高度.已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC=18米,小丽在甲栋楼房顶部B点,测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,求乙栋楼房CD的高度(结果保留根号).
【解答】解:如图所示:
由题意得:BE=AC=18米,CE=AB,∠DBE=30°,∠CBE=45°,
在Rt△EDB中,∠DBE=30°,=tan30°,
∴DE=BE×tan30°=18×=18(米),
在Rt△ABC中,∠ABC=90°﹣45°=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴CE=AB=AC=18米,
∴CD=DE+CE=(18+18)米;
答:乙栋楼房CD的高度为(18+18)米.
11.(2020•随州)如图,某楼房AB顶部有一根天线BE,为了测量天线的高度,在地面上取同一条直线上的三点C,D,A,在点C处测得天线顶端E的仰角为60°,从点C走到点D,测得CD=5米,从点D测得天线底端B的仰角为45°,已知A,B,E在同一条垂直于地面的直线上,AB=25米.
(1)求A与C之间的距离;
(2)求天线BE的高度.(参考数据:≈1.73,结果保留整数)
【解答】解:(1)由题意得,在Rt△ABD中,∠ADB=45°,
∴AD=AB=25米,
∵CD=5米,
∴AC=AD+CD=25+5=30(米),
即A与C之间的距离是30米;
(2)在Rt△ACE中.∠ACE=60°,AC=30米,
∴AE=30•tan60°=30(米),
∵AB=25米,
∴BE=AE﹣AB=(30﹣25)米,
∵1.73,
∴BE≈1.73×30﹣25=27米.
即天线BE的高度为27米.
12.(2020•鄂州)鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α,无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处,测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度,点M、C、D在同一条直线上.其中tanα=2,MC=50米.
(1)求无人机的飞行高度AM;(结果保留根号)
(2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73)
【解答】解:过点B作BN⊥MD,垂足为N,由题意可知,
∠ACM=α,∠BDM=30°,AB=MN=50米,
(1)在Rt△ACM中,tan∠ACM=tanα=2,MC=50米,
∴AM=2MC=100=BN,
答:无人机的飞行高度AM为100米;
(2)在Rt△BND中,
∵tan∠BDN=,即:tan30°=,
∴DN=300米,
∴DM=DN+MN=300+50=350(米),
∴CD=DM﹣MC=350﹣50≈264(米),
答:河流的宽度CD约为264米.
四.解直角三角形的应用-方向角问题(共6小题)
13.(2022•恩施州)如图,湖中一古亭,湖边一古柳,一沉静,一飘逸,碧波荡漾,相映成趣.某活动小组赏湖之余,为了测量古亭与古柳间的距离,在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°,他们向南走50m到达D点,测得古亭B位于北偏东45°.求古亭与古柳之间的距离AB的长(参考数据:≈1.41,≈1.73,结果精确到1m).
【解答】解:过点B作BC⊥AD,交DA的延长线于点C,
设AC=x米,
∵AD=50米,
∴CD=AC+AD=(x+50)米,
在Rt△ABC中,∠CAB=60°,
∴BC=AC•tan60°=x(米),
在Rt△BCD中,∠BDC=45°,
∴tan45°==1,
∴BC=CD,
∴x=x+50,
∴x=25+25,
∴AC=(25+25)米,
∴AB===50+50≈137(米),
∴古亭与古柳之间的距离AB的长约为137米.
14.(2021•鄂州)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐.一市民骑自行车由A地出发,途经B地去往C地,如图.当他由A地出发时,发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P.他由A地沿正东方向骑行4km到达B地,此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向,然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地.
(1)求A地与信号发射塔P之间的距离;
(2)求C地与信号发射塔P之间的距离.(计算结果保留根号)
【解答】解:(1)依题意知:∠PAB=45°,∠PBG=15°,∠GBC=75°,
过点B作BD⊥AP于D点,
∵∠DAB=45°,,
∴AD=BD=4,
∵∠ABD=∠GBD=45°,∠GBP=15°,
∴∠PBD=60°,
∵BD=4,
∴,
∴PA=(4+4)(km);
(2)∵∠PBD=60°,BD=4,
∴PB=8,
过点P作PE⊥BC于E,
∵∠PBG=15°,∠GBC=75°,
∴∠PBE=60°,
∵PB=8,
∴BE=4,,
∵BC=12,
∴CE=8,
∴PC==4(km).
15.(2021•荆门)某海域有一小岛P,在以P为圆心,半径r为10(3+)海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行,它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上,当海监船行驶20海里后到达B处,此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上.
(1)求A,P之间的距离AP;
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险?请说明理由.如果有触礁危险,那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域?
【解答】解:(1)过点P作PC⊥AB,交AB的延长线于点C,
由题意得,∠PAC=30°,∠PBC=45°,AB=20,
设PC=x,则BC=x,
在Rt△PAC中,
∵tan30°===,
∴x=10+10,
∴PA=2x=20+20,
答:A,P之间的距离AP为(20+20)海里;
(2)因为PC﹣10(3+)=10+10﹣30﹣10=10(+1)(﹣)<0,
所以有触礁的危险;
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD,作PE⊥BD,垂足为E,
当P到BD的距离PE=10(3+)海里时,
有sin∠PBE===,
∴∠PBD=60°,
∴∠CBD=60°﹣45°=15°,
90°﹣15°=75°,
因此,要小于75°才安全通过,
答:海监船由B处开始沿南偏东小于75°的方向航行能安全通过这一海域.
16.(2020•恩施州)如图,一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行,在A处测得小岛P位于其西北方向(北偏西45°方向),2小时后轮船到达B处,在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向.求此时船与小岛P的距离(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732).
【解答】解:如图,过点P作PH⊥AB于H,
由题意得:AB=30×2=60(海里),∠PBH=90°﹣60°=30°,∠PAH=90°﹣45°=45°,
则△PHA是等腰直角三角形,
∴AH=PH,
在Rt△PHA中,设AH=PH=x海里,
在Rt△PBH中,PB=2PH=2x海里,BH=AB﹣AH=(60﹣x)海里,
∴tan∠PBH=tan30°==,
∴,
解得:,
∴PB=2x=≈44(海里),
答:此时船与小岛P的距离约为44海里.
17.(2020•荆门)如图,海岛B在海岛A的北偏东30方向,且与海岛A相距20海里,一艘渔船从海岛B出发,以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行,同时一艘快艇从海岛A出发,向正东方向航行.2小时后,快艇到达C处,此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处.
(1)求∠ABE的度数;
(2)求快艇的速度及C,E之间的距离.
(参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,≈1.73)
【解答】解:(1)过点B作BD⊥AC于点D,作BF⊥CE于点F,
由题意得,∠NAB=30°,∠GBE=75°,
∵AN∥BD,
∴∠ABD=∠NAB=30°,
而∠DBE=180°﹣∠GBE=180°﹣75°=105°,
∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=30°+105°=135°;
(2)BE=5×2=10(海里),
在Rt△BEF中,∠EBF=90°﹣75°=15°,
∴EF=BE×sin15°≈10×0.26=2.6(海里),
BF=BE×cos15°≈10×0.97=9.7(海里),
在Rt△ABD中,AB=20,∠ABD=30°,
∴AD=AB×sin30°=20×=10(海里),
BD=AB×cos30°=20×=10≈10×1.73=17.3(海里),
∵BD⊥AC,BF⊥CE,CE⊥AC,
∴∠BDC=∠DCF=∠BFC=90°,
∴四边形BDCF为矩形,
∴DC=BF=9.7,FC=BD=17.3(海里),
∴AC=AD+DC=10+9.7=19.7(海里),
CE=EF+CF=2.6+17.3=19.9(海里),
设快艇的速度为v海里/小时,则v==9.85(海里/小时).
答:快艇的速度为9.85海里/小时,C,E之间的距离约为19.9海里.
18.(2020•黄冈)因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园,“国庆黄金周”期间,游人络绎不绝,现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览,当船在A处时,船上游客发现岸上P1处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向,当游船向正东方向行驶600m到达B处时,游客发现遗爱亭在北偏西15°方向,当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时,游客发现临摹亭在北偏西60°方向.
(1)求A处到临摹亭P1处的距离;
(2)求临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离.(计算结果保留根号)
【解答】解:(1)作P1M⊥AC于M,
设P1M=xm,
在Rt△P1AM中,∵∠P1AB=45°,
∴AM=P1M=xm,
在Rt△P1CM中,∵∠P1CA=30°,
∴MC==xm,
∵AC=1000 m,
∴x+=1000,解得x=500(﹣1)(m),
∴P1M=500(﹣1)m
∴P1A==500(﹣)m,
故A处到临摹亭P1处的距离为500(﹣)m;
(2)作BN⊥AP2于N,
∵∠P2AB=45°,∠P2BA=75°,
∴∠P2=60°,
在Rt△ABN中,∵∠P1AB=45°,AB=600 m
∴BN=AN=AB=300 m,
∴P1N=500(﹣)﹣300=(500﹣800) (m),
在Rt△P2BN中,∵∠P2=60°,
∴P2N=BN=×=100 (m),
∴P1P2=100﹣(500﹣800)=(800﹣400) (m).
故临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离是(800﹣400)m.
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