2022-2023学年广东省惠州三中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州三中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    以下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.    某班为了解学生每周“家务劳动”情况，随机调查了名学生每周的劳动时间，一周内累计参加家务劳动的时间分别为：小时、小时、小时、小时、小时、小时、小时，则这组数据的中位数为(    )

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时

4.    已知三角形的周长是，它的三条中位线围成的三角形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，四边形的对角线，交于点，则不能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

6.    下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.    一次函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

8.    在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    小刚从家出发徒步到同学家取自行车，在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回，他骑车速度是徒步速度的倍，设他从家出发后所用的时间为分钟，所走的路程为米，则与之间的关系大致可以用图象表示为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、上，且，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 将直线向下平移个单位，平移后的直线解析式为______．
12. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，则长为______．

13. 已知一组数据，，，，，它的平均数是，这组数据的方差是______．
14. 如图是“勾股树”的部分图，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为______．

15. 如图，一次函数与轴、轴分别交于、两点，则不等式的解集是______．

三、解答题（本大题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：．
17. 本小题分
    四边形中，，，，，垂足分别为、求证：四边形是平行四边形．

18. 本小题分
    如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出米，然后把风筝线沿直线向后拉开米，发现风筝线末端刚好接触地面如图为示意图请你帮小旭求出风筝距离地面的高度．

19. 本小题分
    某公司为了了解员工每人所创年利润情况，公司从各部抽取部分员工对每年所创年利润情况进行统计，并绘制如图，图统计图．
    
    将图补充完整；
    本次共抽取员工______人，每人所创年利润的众数是______，平均数是______；
    若每人创造年利润万元及含万元以上位优秀员工，在公司员工中有多少可以评为优秀员工？
20. 本小题分
    如图，在正方形中，点为线段上一动点点不与点、重合，点关于直线的对称点为，作射线交于，连接．
    求证：；
    连接，小王通过观察、实验，提出猜想：点在运动过程中，的度数始终保持不变你帮助小王求出的度数．

21. 本小题分
    如图，一次函数的图象与轴相交于点，与过点的一次函数的图象相交于点．
    求一次函数图象相应的函数表达式；
    求的面积．

22. 本小题分
    某地实验中学为活跃班级体育大课间，计划分两次购进一批羽毛球和乒乓球．第一次分别购进羽毛球和乒乓球盒和盒，共花费元；第二次分别购进羽毛球和乒乓球盒和盒，共花费元．若两次购进的羽毛球和乒乓球的价格均分别相同．
    羽毛球和乒乓球每盒的价格分别是多少元？
    若购买羽毛球和乒乓球共盒，且乒乓球的数量少于羽毛球数量的倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
23. 本小题分
    如图，在中，是边上的中线，点是的中点，过点作交的延长线于，连接．
    求证：≌；
    若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
    在的情况下，如果，点在线段上移动，当有最小值时，求的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：，据此求出的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，是直角三角形，不符合题意；
B、，不是直角三角形，符合题意；
C、，是直角三角形，不符合题意；
D、，是直角三角形，不符合题意．
故选：．
欲判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，就是判断三边的长是否为勾股数，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：把这些数据从小到大排列为小时、小时、小时、小时、小时、小时、小时，排在最中间的数是小时，
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．
 

4.【答案】 

【解析】解：三角形的周长是，
它的三条中位线围成的三角形的周长是．
故选：．
由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．
此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，
又，
≌，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，不能判断四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，，
，，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

6.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减运算法则进行计算，然后作出判断．
本题考查二次根式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
一次函数的图象经过一、二、四象限．
故选：．
根据一次函数图象的性质可进行判断．
此题考查一次函数的性质，一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．
 

8.【答案】 

【解析】解：点到原点的距离等于，
，
解得：，
故选：．
由勾股定理得出，即可求解．
本题考查了勾股定理和两点间的距离公式，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：小刚取车的整个过程共分三个阶段：
徒步从家到同学家，随时间的增大而增大；
在同学家逗留期间，不变；
骑车返回途中，速度是徒步速度的倍，随的增大而增大，并且比徒步时的直线更陡；
纵观各选项，只有选项符合．
故选：．
根据题意，把小刚的运动过程分为三个阶段，分别分析出、之间的变化关系，从而得解．
本题考查了函数图象，根据题意，分析出整个过程的运动情况，并判断出各阶段的图象变化情况是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据菱形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，设，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明≌是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将直线向下平移个单位，平移后的直线解析式为，
故答案为：．
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查一次函数的图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
，，
，
为等边三角形；
，
．
故答案为：．
利用矩形的性质得，，可判断为等边三角形，然后根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：由平均数的公式得：，
解得；
方差．
故答案为：．
根据平均数确定出后，再根据方差的公式计算方差．
此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所以数据的和除以所有数据的个数．方差的公式
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
正方形的面积，正方形的面积，
正方形的面积，正方形的面积，
又，，
正方形、、、的面积和．
故答案为：．
根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
本题考查了勾股定理，正方形的面积，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

15.【答案】 

【解析】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，即随的增大而减小，
一次函数的图象与轴交于点，
当时，有．
故答案为
由一次函数的图象过点，且随的增大而减小，从而得出不等式的解集．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键．
 

17.【答案】证明：，
，
即，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】证≌，得，则，再由，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明≌是解题的关键．
 

18.【答案】解：设，则，
由图可得，，，
中，，
即，
解得，
答：风筝距离地面的高度为米． 

【解析】设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度．
本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
 

19.【答案】解：万元的员工的百分比为：，
抽取员工总数为：人
万元的员工人数为：人
万元的员工人数为：人

；万元；万元
人
答：在公司员工中有人可以评为优秀员工． 

【解析】

【分析】
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及加权平均数的计算公式，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
求出万元的员工的百分比，万元的员工人数及万元的员工人数，再据数据制图．
利用万元的员工除以它的百分比就是抽取员工总数，利用定义求出众数及平均数．
优秀员工公司员工万元及含万元以上优秀员工的百分比．
【解答】
解：见答案；
抽取员工总数为：人，
每人所创年利润的众数是 万元，
平均数是：万元；
见答案．  

20.【答案】解：证明：点关于直线的对称点为，
，，
又，
≌，
，
；
连接，如图：

由得，，
，，，
≌，
，
又，在正方形中，，
． 

【解析】由轴对称的性质可得，，再结合，可判定≌，从而可得，再根据垂直的定义可得结论；
利用判定≌，根据全等三角形的性质可得，再结合，在正方形中，，可得．
本题考查了正方形的性质、轴对称的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：点在一次函数的图象上，
，
点，
设一次函数图象相应的函数表达式为，
把点，代入，
得，
解得，
一次函数图象相应的函数表达式；
一次函数的图象与轴交于点，
当时，，解得，
，
，，
，
． 

【解析】本题考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，掌握待定系数法是解题的关键．
把点代入即可求得的值，根据待定系数法即可求解；
求得的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
 

22.【答案】解：设羽毛球每盒的价格是元，乒乓球每盒的价格是元，
依题意得：，
解得：．
答：羽毛球每盒的价格是元，乒乓球每盒的价格是元．
设购买羽毛球盒，则购买乒乓球盒，
依题意得：，
解得：．
设购买羽毛球和乒乓球共盒所需费用为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值，此时．
答：当购买羽毛球盒，乒乓球盒时费用最低，最低费用为元． 

【解析】设羽毛球每盒的价格是元，乒乓球每盒的价格是元，根据“第一次分别购进羽毛球和乒乓球盒和盒，共花费元；第二次分别购进羽毛球和乒乓球和盒，共花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出羽毛球和乒乓球每盒的价格；
设购买羽毛球盒，则购买乒乓球盒，根据乒乓球的数量少于羽毛球数量的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设购买羽毛球和乒乓球共盒所需费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】证明：，
，
点是的中点，
，
，
在和中，
，
≌；
四边形是菱形，理由如下：
≌，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，是边上的中线，
，
四边形是菱形；
连接交于，则点即为所求，

四边形是菱形，
点与点关于直线对称，
，
，即有最小值．
，
．
，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得到，利用定理证明≌；
根据全等三角形的性质得到，得到四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，证明四边形是菱形；
连接交于，则点即为所求，根据菱形的性质得到点与点关于直线对称，根据轴对称的性质作图得出的位置，由相似三角形的性质即可得出的长度
本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理以及轴对称最短路径等知识；掌握邻边相等的平行四边形是菱形、全等三角形的判定定理是解题的关键．