2021-2022学年湖北省荆州市松滋市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省荆州市松滋市七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列各数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    如图，是直线上一点，，图中和的关系是(    )

A. 互为余角
B. 互为补角
C. 对顶角
D. 同位角

3.    下面的调查中，不适合抽样调查的是(    )

A. 一批炮弹的杀伤力的情况
B. 了解一批灯泡的使用寿命
C. 在新冠疫情期间，为了解某社区居民有无上海接触史
D. 全市学生每天参加体育锻炼的时间

4.    下列说法正确的是(    )

A. 是的平方根 B. 是的算术平方根
C. 的平方根是 D. 的立方根是

5.    如果，那么下列结论中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    冰墩墩是年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，深受各国人们的欢迎．在下图中，将冰墩墩放入坐标系中，它盖住的点的坐标可能为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当，时，和的度数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.    我国古代数学著作孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”，设绳子长尺，木条长尺，根据题意所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，一条长度为的线段绕着点旋转一周，当与数轴重合时，点表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则______．
12. 如果一个数的两个不相等的平方根是和，则这个数为______．
13. 如图，有一块含的直角三角板，两个顶点放在直尺的对边上，如果，则______．

14. 如图，若，则，，三者之间的数量关系是______．

15. 如图所示，点，，，，，根据这个规律，可得点的坐标是______．

16. 运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作，若输入后程序操作进行了两次停止，则的取值范围是______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：；
    解方程组：．
18. 本小题分
    解不等式组：
    解不等式；
    解不等式组，把解集在数轴上表示出来．并写出其整数解．
     
19. 本小题分
    如图，已知，平分交于点．
    证明：；
    若于点，，求的度数．

20. 本小题分
    为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型只写一项”的随机抽样调查，相关数据统计如图：
    
    请根据以上信息解答下列问题：
    该校对多少名学生进行了抽样调查？
    请将图和图补充完整；并求出扇形统计图中小说所对应的圆心角度数．
    已知该校共有学生人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说人数约为多少人？
21. 本小题分
    阅读理解，解决问题：
    同学们玩游戏，借助两个三角形模板画平行线．
    规则：摆放一副三角板，画平行线．
    小颖是这样做的：如图，先画一条直线，之后摆放三角板，得到依据是______ ．
    小静如图摆放三角板，也得到依据是______ ．
    规则：请你利用图中所示的两个三角形模板摆放后画平行线在图中画出你摆放的两个三角形模板的位置．
     

22. 本小题分
    定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
    问题解决：
    在方程，，中，不等式组的“子方程”是______；填序号
    若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围．
23. 本小题分
    某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元．
    求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
    该专卖店计划恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具两种均购买，求专卖店共有几种采购方案．
    若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是元，元，则在的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点，动点在直线上运动直线上所有点的横坐标与纵坐标相等
    如图，当点在第一象限时，依次连接、、三点，交轴于点，连接，
    试求出用含的式子表示；
    当，求出、的坐标；
    如图，当点与、两点在同一条直线上时，求出点的坐标；
    当，直接写出直线与轴交点的纵坐标的取值范围．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：是直线上一点，
，
，
，
，
即与互为余角．
故选：．
依据是平角，是直角，即可得出与的关系．
本题主要考查了余角的定义，如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
 

3.【答案】 

【解析】解：一批炮弹的杀伤力的情况，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B.了解一批灯泡的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项B不符合题意；
C.在新冠疫情期间，为了解某社区居民有无上海接触史，适合使用全面调查，因此选项C符合题意；
D.全市学生每天参加体育锻炼的时，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据抽样调查与全面调查的意义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：、负数没有平方根，故A错误；
B、是的算术平方根，故B正确；
C、的平方根是，故C错误；
D、的立方根是，故D错误．
故选：．
依据平方根、算术平方根、立方根的定义求解即可．
本题主要考查的是平方根、立方根的定义和性质，熟练掌握平方根、立方根的定义和性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、两边都减去得，故本选项正确；
B、两边都乘以再加得，故本选项错误；
C、两边都乘以得，故本选项错误；
D、两边都乘以得，，故本选项错误．
故选：．
根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：冰墩墩在第三象限，
盖住的点的坐标可能为，
故选A．
根据各象限点的符号确定．
本题考查之比与图形变化平移，解题的关键是理解平移变换的规律，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
．
，，
．
，
．
故选：．
先根据得出的度数，再由得出的度数，根据即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此列方程组即可求解．
【解答】
解：设绳子长尺，木条长尺，
依题意有．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：根据点在位置，故当与数轴重合时，点表示的数为：．
故选：．
直接利用点位置得出与数轴重合时，对应点的数字．
此题主要考查了实数与数轴，正确结合点位置分析是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设长方形的长为，宽为，
则，
解得，
则，；
点在第二象限，
，
故选：．
本题结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看：长方形的两个宽一长；从水平方向看，两个长方形的长一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点，两个长方形的长，一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出点的坐标．
本题主要考查了二元一次方程组的综合运用，体现了数形结合思想，方程建模思想，并考查了学生的计算能力，观察能力．而解出长方形的长与宽之后，学生容易忘记从代数问题回归到几何问题，考虑第二象限坐标的正负性问题，是本题的易错点．
 

11.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
解得．
故答案为：．
通过点在轴上，由该点的纵坐标得到的值．
此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，在轴上的点的纵坐标为．
 

12.【答案】 

【解析】解：一个数的两个不相等的平方根是和，
，
解得．
，
这个数为．
故答案为：．
根据一个数的两个平方根互为相反数，列方程可求得值，代入，可求得这个数的一个平方根，最后依据平方根的定义可求得这个数．
本题考查平方根的定义和性质，要注意：一个正数的两个平方根互为相反数．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：

直尺两边平行，
，
由三角尺知，，
，
，
故答案为：．
根据三角尺及平行线的性质得出即可．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
依据可得出，，进而得到，，据此可得．
本题主要考查了平行线的性质，两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
 

15.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，
点的横坐标依次是、、、、、、，纵坐标依次是、、、、、、、、，四个一循环，
，
故点坐标是．
故答案为：．
由图形得出点的横坐标依次是、、、、、、，纵坐标依次是、、、、、、、、，四个一循环，继而求得答案．
本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得，
解不等式得，
解不等式得，，
则的取值范围是．
故答案为：．
根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
整理得，
得，
解得，
把代入得，
原方程组的解是． 

【解析】首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用，以及实数的运算，注意运算顺序．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
，
则；
由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：

则不等式组的整数解为、、、、、． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：平分，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
． 

【解析】由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得；
由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解．
此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得：．
答：该校对名学生进行了抽样调查．

名，．
补全图形如下：

答：科幻的有人，扇形统计图中小说所对应的圆心角度数为．

名，
答：喜欢小说人数约为人． 

【解析】根据喜欢小说类型的人数是人，所占的百分比是，据此即可求得总人数；
利用总人数减去其它组的人数即可求得喜欢科幻的人数，利用百分比的意义求得喜欢科幻的百分比，继而用乘以喜欢小说类型对应的百分比可得其对应圆心角度数；
利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】同位角相等，两直线平行  内错角相等，两直线平行 

【解析】解：同位角相等，两直线平行．或同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．
如图所示．
分别根据平行线的判定定理解答即可．
本题考查的是作图复杂作图，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：由，得，
由，得，
由，得，
由，得，
和不在的范围内，在的范围内，
不等式组的“子方程”是，
故答案为：；
由，得，
由，得，
方程是不等式组的“子方程”，
，
解得，
即的取值范围是．
先解出每个方程的解和不等式组的解集，再根据题目中定义，即可判断不等式组的“子方程”；
先解出方程的解和不等式组的解集，再根据题目中定义，即可得到关于的不等式，然后求解即可．
本题考查新定义、解一元一次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确新定义，会解一元一次方程和一元一次不等式组．
 

23.【答案】解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，
由题意得：，
解得，
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元；
设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，
或或，
专卖店共有种采购方案；
当，时，利润为：元；
当，时，利润为：元；
当，时，利润为：元；
，
利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，最大利润为元． 

【解析】设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，由题意：只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，由题意：专卖店计划恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具两种均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论；
分别求出种采购方案的利润，再比较即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

24.【答案】解：，
，
；
当时，
，
，
解得，
，
，
，
；
设直线的解析式为，
则，
，
，
当时，，
；
当点在的上方时，

，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
点的纵坐标的取值范围为；
当点在的下方时，同理得，，，

，
，
，
，
当时，，
当时，，
点的纵坐标的取值范围为，
综上：点的纵坐标的取值范围为或． 

【解析】根据坐标与图形的性质可得答案；
根据，可得的值，从而得出的坐，从而得出答案；
求出直线的解析式，利用点的横纵坐标相等，可得答案；
分点在的上方时或点在点的下方两种情形，由同理表示出三角形的面积，得出的长，再根据的范围即可解决问题．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，三角形面积的表示，不等式的解法等知识，利用面积法表示出的长是解题的关键．