第三章 函数的概念与性质（A卷•基础提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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第三章  函数的概念与性质（基础提升测试卷）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2022·湖南·长郡中学高二期中）函数的定义域为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】偶次开根根号下为非负，分式分母不为零，据此列出不等式组即可求解.【详解】依题意，解得，所以函数的定义域为.故选：B．2．（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果.【详解】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为.故选：C.3．（2015·山东·高考真题）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（       ）A． B． C．1 D．3【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】函数是奇函数，当时，，.故选：A.4．3．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（       ）A．3 B．8 C．9 D．16【答案】C【解析】【分析】根据题意设，则，然后由列方程组求4．（2022·新疆·沙湾县第一中学高一期中）已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[－2，2]，它们在[0，2]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范围为（       ）A．(－2，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(0，1)C．(－1，0)∪(1，2)D．(－2，－1)∪(1，2)【答案】C【解析】【分析】根据图象，函数的奇偶性以及符号法则即可解出．【详解】如图所示：当时，，，；当时，，，，故当时，其解集为，∵是偶函数，是奇函数，∴是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是 ．故选：C. 5．（2022·广西北海·高二期末（文））若函数，且，则实数的值为（       ）A． B．或 C． D．3【答案】B【解析】【分析】令，配凑可得，再根据求解即可【详解】令（或），，，，.故选；B6．（2022.全国卷）已知函数的定义域为R，且，则（       ）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．7．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.8．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知是上的奇函数，当时，，则满足的m的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数在公共的定义域函数单调性的性质及奇函数的性质，再利用函数单调性的定义即可求解.【详解】因为函数在上均为减函数，∴在上为减函数.又，且是上的奇函数，∴在上为减函数.又，得或，解得或.所以实数m的取值范围是.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（       ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】ACD【解析】【分析】根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】对于A，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A正确；对于B，，，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；对于C，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；对于D，与的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确.故选：ACD10．（2022·广东韶关·高一期末）已知函数，则（       ）A． B．若，则或C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为【答案】BD【解析】【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可【详解】函数的图象如左图所示．，故A错误；当时，，此时方程无解；当时，或，故B正确；由图象可得，在上单调递增，故C错误；由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．故选：BD．11．（2022·湖北咸宁·高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则（       ）A． B．当时，单调递减C．当时， D．，【答案】ABD【解析】【分析】根据奇函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，所以，故A正确．因为当时，单调递减，所以当时，单调递减，所以，故B正确，C错误；当时，，所以，，D正确．故选：ABD12．（2022·浙江省义乌中学高一期末）我们知道，函数的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 有同学发现可以将其推广为: 函数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 现在已知，函数 的图像关于点对称，则（        ）A．B．C．对任意，有D．存在非零实数，使【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可得函数为奇函数，从而可判断D；再根据，可求出的值，从而可判断A，B；令，解方程即可判断D.【详解】解：由题意，因为函数 的图像关于点对称，所以函数为奇函数，所以，故C正确；又，则，所以，解得，所以，则，故A正确，B错误；令，则，解得或，所以存在非零实数，使，故D正确.故选：ACD.三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：114．（2022·上海中学高一期末）不等式的解为______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的性质，分类讨论即可【详解】将不等式转化成 （Ⅰ） ，解得 ；（Ⅱ） ，解得 ；（Ⅲ） ，此时无解；综上，不等式的解集为： 故答案为：15．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.16．（2015·湖南·高考真题（理））已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点，有两个零点，即与的图象有两个交点，由可得，或①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意③当时，函数单调递增，故不符合题意④时，单调递增，故不符合题意⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点综上可得，或故答案为：【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数的定义域为．(1)求的定义域；(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）的定义域可以求出，即的定义域；（2）令，若，使得成立，即可转化为成立，求出即可.(1)∵的定义域为，∴．∴，则．(2)令，，使得成立，即大于在上的最小值．∵，∴在上的最小值为，∴实数的取值范围是．18．（2022·吉林·长春外国语学校高二期中）已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求时，函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.(1)设，则，所以又为奇函数，所以，所以当时，.(2)作函数的图像如图所示，要使在上单调递增，结合的图象知，所以，所以的取值范围是.19．（2020·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知函数（p，q为常数），且满足，.(1)求函数的解析式；(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据处函数值，代入解析式，即可得p，q的值，即可得答案.（2）由（1）可得解析式，根据基本不等式，可得的最小值，分析即可得答案.(1)，，解得，函数的解析式为.(2)，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，当，函数的最小值是2，要使，关于的不等式恒成立，只需，所以，解得.实数的取值范围是20．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知函数，，其中(1)若函数是偶函数，求实数a的值；(2)若函数在上具有单调性，求实数a的取值范围；(3)当a＝1时，若在区间上，函数的图象恒在函数的图象上方，试确定实数k的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定义即得；（2）利用二次函数的性质即得；（3）由题可得恒成立，然后利用二次函数的性质即得.(1)∵ 的定义域是R，若是偶函数，则，有，∴，即，有，∴；(2)∵图象开口向上，对称轴，若函数在上具有单调性，则在上单调递增或单调递减，即或，∴实数a的取值范围为；(3)当a＝1时，，依题意得即，在上恒成立∴恒成立令则，∴=1实数k的取值范围为.21．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)确定函数的解析式并用定义证明在上是增函数．(2)解不等式：.【答案】(1)，证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由题意可得，从而可求出，再由，可求出，从而可求出函数的解析式，然后利用单调性的定义证明即可，（2）由于函数为奇函数，所以将转化为，再利用函数为增函数可得，从而求得解集(1)因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，得，所以，因为，所以，解得，所以，证明：任取，且，则，因为，所以，，，所以，即，所以在上是增函数．(2)因为在上为奇函数，所以转化为，因为在上是增函数，所以，解得，所以不等式的解集为22．（2022·贵州贵阳·高一期末）阅读材料：我们研究了函数的单调性､奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的上方，则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度､全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：(1)请尝试列举一个下凸函数：___________；(2)求证：二次函数是上凸函数；(3)已知函数，若对任意，恒有，尝试数形结合探究实数a的取值范围.【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3).【解析】【分析】（1）根据下凸函数的定义举例即可；（2）利用上凸函数定义证明即可；（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.(1)，；(2)对于二次函数，，满足，即，满足上凸函数定义，二次函数是上凸函数.(3)由（2）知二次函数是上凸函数，同理易得二次函数为下凸函数，对于函数，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，若对任意，恒有，则函数满足上凸函数定义，即，即.