第四章 指数函数与对数函数（知识通关详解）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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第四章 指数函数与对数函数
一．指数与指数函数
（一）指数
1．根式的概念：
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0。
注意：(1)
(2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时，
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义，规定：
正数的正分数指数幂的意义：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）
（2）
（3）
题型一：根式的化简求值
例1：下列运算中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，所以，错误；
对于B，因为，所以，则，错误；
对于C，，正确；
对于D，，错误．
故选：C．
举一反三
1.式子的计算结果为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.
故选：D.
2．化简________.
【答案】##
【详解】.故答案为：.
题型二：指数幂的运算
例2：计算：___．
【答案】##0.5
【详解】原式.
故答案为：
举一反三
1．（多选）下列化简结果中正确的有（m、n均为正数）（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】A. ，故正确；B. ，故错误；
C. ，故错误；D. ，故正确.
故选：AD
2．计算：
(1)；
(2).
解：(1)
(2)

题型三：分数指数幂与根式的互化
例3：已知，为正数，化简_______．
【答案】
【详解】原式．故答案为：．
举一反三
1．（     ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】.故选：B.
2.若，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，则．
故选：C．
题型四：指数幂的化简、求值
例4：化简：，并求当时的值.
【详解】由

时，原式
举一反三
已知，则=__________.
【答案】
【解析】
【详解】
,,, .
二 指数函数
1．指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是．
2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：



图象


性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过定点，即时
（4）在上是增函数
（4）在上是减函数
3.与指数函数相关的定义域及值域问题
（1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式.
（2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。
4.指数式的大小比较
（1）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较
（2）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较.
（3）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较.
题型一：指数函数的概念
例5：函数是指数函数，则（       ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
举一反三
若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．
【答案】
解：设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1），
∴，解得，∴.故答案为：.
题型二：指数函数的图像
例6：在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：函数的是指数函数，且，排除选项C，
如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确；
如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．故选：B．
举一反三
如图所示，函数的图像是（       ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，时，时，.
故选：B.
题型三：指数函数的定义域
例7：函数的定义域为___________
【答案】
【详解】由题，即，即，
因为为单调递增函数，所以，即故答案为：
举一反三
1.已知函数的定义域为，则_________．
【答案】
【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
故答案为：.
2．函数的定义域为 _________.
【答案】
解：要使有意义，则；解得，且；
的定义域为.
故答案为：
题型四：指数函数的值域
例8：函数的值域为_________________.
【答案】
【详解】当时，，则，故函数的值域为.
故答案为：.
举一反三
函数且的值域是，则实数 ____.
【答案】或
【详解】当时，函数且是增函数，
值域是， ；
当时，函数且是减函数，
值域是， .
综上所述，可得实数或.
故答案为：或
题型五：指数函数的单调性
例9：不等式恒成立，则的取值范围是_________．
【答案】
解：因为 在R上递增，所以不等式恒成立，
即，恒成立，亦即恒成立，
则，解得，故的取值范围是．
故答案为：
举一反三
1.求函数的单调区间___________.
【详解】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x0且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式．
2、两个重要对数：
（1）常用对数：以10为底的对数, ；
（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , ．
3、对数式与指数式的互化

对数式 指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0
(3) 对数恒等式：
例1：1．已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，所以，
所以
故选：B
2．设，则__________．
【答案】16
【详解】由得 .故答案为：16
举一反三
1．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即（且），已知，，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
故选：B.
2．方程的解是（       ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】D
【详解】∵，∴，∴.
故选：D.
对数的运算性质
如果 a > 0，a ¹ 1，M > 0， N > 0 有：
1、 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
2 、 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
3 、 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
说明:
1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式
3) 真数的取值必须是(0,＋∞)
4) 特别注意：


例2：1．计算：（       ）
A．10 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
2．计算：（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
解：；
故选：B
3．计算：___________．
【答案】2
解：，
故答案为：2.
4．计算
(1)
(2).
【解析】
(1)

；
(2)原式＝．
举一反三
1．计算：________.
【答案】4
【详解】，
故答案为：
2．计算=________.
【答案】##5.5
【详解】.
故答案为：.
3．若，则__________
【详解】,即，可得
故答案为：6
4．计算下列各题：
(1)已知，求的值；
(2)求的值.
解：因为，所以、，
所以，，
所以；
(2)解：





换底公式
利用换底公式推导下面的结论
① ②③
例3：1．已知，则下列能化简为的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：B.
2．______．（用数字作答）
【答案】1
【详解】
.
故答案为：1
举一反三
1．计算：_____
【答案】##2.5
【详解】
；
故答案为： .
2．计算：等于___________.
【答案】1
【详解】.
故答案为：1．
对数函数
1.对数函数的概念：一般地，形如的函数叫对数函数.
2.对数函数的图像和性质。



图像


性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）图像过定点：
（4）在上是增函数
（1）定义域：
（2）值域：
（3）图像过定点：
（4）在上是减函数
3.指对数函数性质比较

图象特征
函数性质


共性
向x轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
过定点（0，1）


01;
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
当x