第二章一元二次函数、方程和不等式（A卷•基础提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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第二章  一元二次函数、方程和不等式基础提升测试 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则下列大小关系正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.【详解】为正数，为负数，所以，，，所以.故选：C2．不等式的解集是（       ）A．    B．     C． D．，或【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由，解得，即不等式的解集为；故选：C3．负实数，满足，则的最小值为（       ）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意有，再代入根据基本不等式求解最小值即可【详解】根据题意有，故，当且仅当，时取等号.故选：A4．已知，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由于，所以，则，然后利用基本不等式可求出其最小值【详解】由于，所以所以，当且仅当，即时取等号.故选：A.5．设，则下列不等式一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由不等式的运算性质即可得到答案.【详解】由题意，.故选：B.6．已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知得， 代入得，令，根据基本不等式可求得答案.【详解】解：因为，所以，所以 ，所以，令，则，且 ，所以，当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值是.故选：A.7．已知，则且是且成立的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分不必要条件的定义和不等式的性质进行判断可得答案.【详解】因为且，所以且；取，，则且，但不满足，所以前者是后者的充分不必要条件.故选：A.8．已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由题设可得，又即为方程两个不等的实根，即有，结合、得，即可求其最小值.【详解】由题意知：当有，∵知：是两个不等的实根.∴，而，∵，即，∴，令，则，∴当时，的最小值为.故选：B【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为，结合韦达定理以及，应用二次函数的性质求最值即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．若，则（       ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.【详解】A：由重要不等式知：，而，故，正确；B：由，则，故，错误；C：由，则，错误；D：，故，正确.故选：AD10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，，则下面结论正确的有（       ）A．若，则B．C．若，则有最大值D．若，则【答案】AC【解析】【分析】根据基本不等式及其推理分别判断各选项.【详解】因为，，若，则，当且仅当且，即，时取等号，A正确；因为，即，当且仅当时取等号，所以，B错误；若，则，当且仅当时取等号，C正确；若，则，解得，所以，D错误.故选：AC.11．如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（       ）A． B．C． D．当时，或【答案】ABC【解析】【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.【详解】因为二次函数的图象的对称轴为，所以得，故A正确；当时，，故B正确；该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确；因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为，所以当时，或，故D错误.故选：ABC.12．已知x>0，y>0，且x+2y=3，则下列正确的是（       ）A．的最小值为3 B．的最大值为6C．xy的最大值为 D．【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式求解判断．【详解】因为，，当且仅当，即时等号成立，A正确；由得，所以，B错；，，当且仅当时，等号成立，C正确；，当且仅当，即时等号成立，D正确．故选：ACD．三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是______.【答案】且【解析】【分析】直接求解分式方程，然后由解为正数和分母不为零可求出的取值范围【详解】方程解得，依题意得且，解得且4，故答案为：且14．若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】分和两种情况讨论，当时需满足，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：当时，不等式无解，满足题意；当时，，解得；综上，实数的取值范围是．故答案为：15．已知正实数a，b满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】化简得，，再将看成整体，利用基本不等式求解最小值即可【详解】由有，则，当且仅当，即，时取等号.故答案为：16．已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.【答案】[0，1]##【解析】【分析】可根据已知条件，构造函数，通过分类讨论得到的解析式，然后利用二次函数的对称轴确定其单调性，列式求解即可.【详解】对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，即，令，即只需在[0，2]上单调递增即可，当时，，函数图象恒过；当时，；当时，； 要使在区间[0，2]上单调递增，则当时，的对称轴，即；当时，的对称轴，即；且,综上故答案为：[0，1].四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．(1)若不等式的解集为，求的值.(2)不等式的解集为A，求集合A.【答案】(1)；(2){或}.【解析】【分析】(1)根据二次不等式的解法即可求解；(2)根据分式不等式的解法求解即可.【详解】(1)由题意得：－1，3就是方程的两根，∴，则，∴；(2)将不等式转化为，∴或，∴或.18．（1）已知，求的最小值．（2）求关于x的不等式的解集：．【答案】（1）8 ；（2）时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为．【解析】【分析】（1）整理可得，结合基本不等式分析计算；（2）不等式分类讨论问题，结合本题，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小．【详解】解：（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8．（2），当时，不等式为，解集为，时，不等式分解因式可得，当时，故，此时解集为．当时，，故此时解集为，当时，可化为，又，解集为．当时，可化为，又，解集为，综上所述：时，解集为，时，解集为，时，解集为，时，解集为，时，解集为．19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．(1)求的取值范围；(2)若，求方程的两个根．【答案】(1)且；(2)，.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，从而到关于的不等式，求出的范围即可；（2）利用根与系数的关系可得，根据可得关于的方程，整理后即可解出的值，最后求出方程的根．(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且，即且，解得：且．(2)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，∴，∵，∴，解得：，经检验：是分式方程的解，∴当时，方程为：，解得：，．20．冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为（单位：），经过市场调查了解到：每月土地占地费（单位：万元）与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则与分别为万元和万元.记两项费用之和为.(1)求关于的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．【答案】(1)(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元【解析】【分析】（1）依题意设出，，然后根据已知求出，然后可得；（2）通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.(1)∵每月土地占地费（单位：万元）与成反比，∴可设，∵每月库存货物费（单位：万元）与（4x+1）成正比，∴可设，又∵在距离车站5km处建仓库时，与分别为12.5万元和7万元，∴，.∴∴.(2)当且仅当，即x＝6.5时等号成立，∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．21．已知函数的图象过点，且满足．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最小值；【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据函数图象过点，得到，再根据求解；（2）由，，分，，求解.(1)解：因为函数的图象过点，所以又，所以，解得，所以；(2)，，当时，即时，函数在上单调递减，所以，当时，即时，函数在上单调递减，在单调递增，所以；当时，函数在上单调递增，所以．综上：22．已知函数．(1)若的解集是，求实数的值．(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，函数在有解，求的取值范围．【答案】(1)1(2)(3)【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集的端点值为一元二次方程的根，由此求解出的值；（2）要使恒成立，即，根据的取值进行分类讨论，由此求解出不等式解集；（3）将问题转化为“在有解”，然后分析二次函数在的最小值小于等于，由此求解出的取值范围，即可求出的取值范围.(1)由题意可知：且，解得．(2)若恒成立，则当时，不恒成立；当时，解得：.实数的取值范围为：.(3)时，在有解，即在有解，因为的开口向上，对称轴，①即，时，函数取得最小值即，∴．②即时，当取得最小值，此时，解得．③当即时，当时取得最小值，此时，解得，综上，或．所以：的范围为：.