第四章 指数函数与对数函数（知识通关详解）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

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第四章  指数函数与对数函数专题详解一．指数与指数函数（一）指数1．根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0。注意：(1)(2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时， 2．分数指数幂正数的正分数指数幂的意义，规定：正数的正分数指数幂的意义： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）（2）（3）题型一：根式的化简求值例1：下列运算中正确的是（       ）A． B． C． D．举一反三1.式子的计算结果为（       ）A． B． C． D．2．化简________.题型二：指数幂的运算例2：计算：___．举一反三1．（多选）下列化简结果中正确的有（m、n均为正数）（       ）A． B．C． D．2．计算：(1)；(2). 题型三：分数指数幂与根式的互化例3：已知，为正数，化简_______．举一反三1．（     ）A．1 B． C． D．2.若，则等于（       ）A． B． C． D．题型四：指数幂的化简、求值例4：化简：，并求当时的值.举一反三已知，则=__________.二 指数函数1．指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是．2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：  图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数3.与指数函数相关的定义域及值域问题 （1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式.（2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。4.指数式的大小比较 （1）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较（2）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较.（3）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较.题型一：指数函数的概念例5：函数是指数函数，则（       ）A．或 B． C． D．且举一反三若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．题型二：指数函数的图像例6：在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（     ）A．  B． C． D．举一反三如图所示，函数的图像是（       ）A．B．C．D．题型三：指数函数的定义域例7：函数的定义域为___________举一反三1.已知函数的定义域为，则_________．2．函数的定义域为 _________.题型四：指数函数的值域例8：函数的值域为_________________.举一反三函数且的值域是，则实数 ____.题型五：指数函数的单调性例9：不等式恒成立，则的取值范围是_________．举一反三1.求函数的单调区间___________.2．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．题型六：指数函数过定点问题例10：函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（       ）A． B． C． D．举一反三函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________. 题型七：指数函数中的参数问题例11：已知函数为奇函数，则方程的解是________．举一反三已知的最小值为2，则m的取值范围为______________题型八：指数函数实际应用例12：企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（       ）A．40% B．50% C．64% D．81%举一反三我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（       ）（参考数据：）A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h二．对数与对数函数对数1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：（ a— 底数， N— 真数，— 对数式）说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0  3. 注意对数的书写格式．2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数,   ；（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , ．3、对数式与指数式的互化对数式        指数式对数底数← a → 幂底数对数← x → 指数真数← N → 幂结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa=1,   loga1=0  特别地， lg10=1,  lg1=0 ,  lne=1,  ln1=0(3) 对数恒等式：例1：1．已知，则（       ）A． B． C． D．2．设，则__________．举一反三1．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即（且），已知，，则（       ）A．1 B．2 C．3 D．42．方程的解是（       ）A．1 B．2 C．e D．3对数的运算性质如果 a > 0，a  1，M > 0， N > 0  有：1、      两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2 、         两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3 、         一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍说明:1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0,＋∞)4) 特别注意：              例2：1．计算：（       ）A．10 B．1 C．2 D．2．计算：（       ）A．0 B．1 C．2 D．33．计算：___________．4．计算(1)(2).举一反三1．计算：________.2．计算=________.3．若，则__________4．计算下列各题：(1)已知，求的值；(2)求的值. 换底公式利用换底公式推导下面的结论① ②③例3：1．已知，则下列能化简为的是（       ）A． B． C． D．2．______．（用数字作答）举一反三1．计算：_____2．计算：等于___________. 对数函数1.对数函数的概念：一般地，形如的函数叫对数函数.2.对数函数的图像和性质。图像性质（1）定义域：（2）值域：（3）图像过定点：（4）在上是增函数（1）定义域：（2）值域：（3）图像过定点：（4）在上是减函数3.指对数函数性质比较 图象特征函数性质  共性向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在x轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）  0<a<1自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时,0<y<1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x<0时,y>1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；  a>1自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；4.反函数：一般地,设A,B分别为函数y=的定义域和值域,如果由函数y=f(x)可解得唯一也是一个函数(即对任意一个,都有唯一的与之对应),那么就称函数是函数y=的反函数,记作.在中，y是自变量,x是y的函数,习惯上改写成的形式.指数函数(a>0,且a≠1)与对数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x       指数型函数： y=kax 考点：（1）ab=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。（4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。4.与对数函数有关的函数的定义域（1）对数函数的定义域为(0,+∞)。（2）形如的函数,定义域由来确定。（3）形如的复合函数在求定义域时,必须保证每一部分都要有意义。5.对数式的大小比较：（1）若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.（2）若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论(分0<a<l,a>1).（3）若底数不同、真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以画出对数函数的图象,再进行比较。（4）若底数与真数都不同,则常借助0,1等中间值进行比较。题型一：对数函数的概念例4：下列函数中，是对数函数的是（       ）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1  C．  D．y＝log5x举一反三若函数的反函数的图像经过点，则=_______．题型二：对数函数的定义域例5：函数的定义域为（       ）A． B． C． D．举一反三1．函数的定义域是_______．2．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．题型三：对数函数的值域例6：已知函数，则的值域为（       ）A． B． C． D．举一反三1．函数的值域是________.2．若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.题型四：对数函数的图像例7：已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（       ）A．， B．，C．， D．，举一反三函数与的大致图像是（       ）A．B．C．D．题型五：对数函数的单调性例8：1．满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（       ）A． B． C． D．2．已知，则实数a的取值范围为______．举一反三1．若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．2．函数的单调递减区间为_____题型六：反函数例9：已知函数，它的反函数为，则_______．举一反三已知，分别是方程，的根，则（       ）A．1 B．2 C． D．题型七：对数函数的应用例10：人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（       ）倍．(参考数据：)A． B． C． D．举一反三（多选）某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（       ）A．函数的定义域为，且是偶函数B．对于任意的，都有C．对于任意的a，，都有D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，，总满足题型八：对数函数的过定点例11：（2022·上海市实验学校模拟预测）已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为_____．举一反三已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．题型九：对数函数的参数问题例12：已知，，，，，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．举一反三若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是_____．题型十：指数函数与对数函数的综合例13：1.若关于x的方程有解，则实数的取值范围为(       )A． B． C． D．2.（多选）已知函数，若，则实数的值可能是（       ）A． B． C． D．举一反三1．春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据）（       ）A．17天 B．15天 C．12天 D．10天2．（多选）已知函数，若，则的所有可能值为（   ）A．1 B． C．10 D．