专题2.3 二次函数与一元二次不等式- 2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

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专题2.3 二次函数与一元二次不等式  一、一元二次不等式的相关概念1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）3、一元二次不等式的解集使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。二、一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅四、解一元二次不等式的步骤第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集.五、含参数的一元二次不等式讨论依据1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。   题型一  不含参数不等式【例1】的解集为（    ）A．        B．或        C．        D．【答案】B【解析】因为时，解得或，所以的解集为或.故选：B.    【例题2】不等式的解集是（    ）A．R        B．        C．或        D．【答案】B【解析】由题意得所求，令，为开口向上的抛物线，，所以恒成立，所以不成立，故的解集为.故选：B 【例题3】求下列不等式的解集：（1）；    （2）；    （3）；【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1），解得：不等式解集为：.（2），整理得：，即解得：，不等式解集为：.（3），整理得：，故不等式再实数范围内无解不等式解集为：.  题型二： 解含参数不等式【例1】解关于的不等式：【解析】方程的解为，，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.  【例题2】解关于x的不等式【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】关于x的不等式，可化为（1）当时，，解得．（2）当，所以所以方程的两根为-1和，当，即时，不等式的解集为或}，当，即时，不等式的解集为．当，即时，不等式的解集为或}．（3）当时，因为方程的两根为—1和，又因为，所以．即不等式的解集是，综上所述：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或}. 【例题3】设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】的解集为，则的解集为R.的解集为，则的解集为，转化为所以不等式的解集为.故选：B.题型三： 参数不等式参数范围问题  【例1】关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（    ）A．        B．        C．或        D．【答案】A【解析】因不等式的解集为空集，则当时，不成立，因此，满足题意，当时，必有，解得，综上得，所以实数k的取值范围是：.故选：A  【例题2 】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）A．或     B．     C．或     D．【答案】B【解析】由题意得，即，所以，即，解得．故选：B 【例题3】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】不等式，即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；故实数m的取值范围为．故选：C 题型四  一元二次不等式恒成立问题以及存在使成立问题 【例1】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】当时，该不等式为，成立；当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需，解得，综上所述，的取值范围是，故选：A. 【例题2】若不等式在上有解，则a的取值范围是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】解：因为，所以不等式化为，又在上单调递减，所以当时，有最小值．所以a的取值范围是．故选：B． 一、单选题1．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．2．若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（       ）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，1） D．[1，+∞）3．不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（       ）A． B．C． D．4．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（       ）A． B． C． D．5．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）A．  B． C．  D． 6．若不等式的解集是，则不等式的解集是（　）A． B．C． D．7．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（       ）A． B． C． D．8．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．9．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ）A． B．{或} C． D．或10．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．11．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．12．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（       ）A．             B．C．  D．13．已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（       ）A． B．C． D． 14．已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（       ）A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]15．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（       ）A． B． C． D．二、多选题16．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（       ）A． B．不等式的解集为C．不等式的解集为或 D．17．已知，关于x的不等式的解集可能是（       ）A． B．C． D．18．已知关于x的不等式的解集为，则（       ）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为19．若不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ）A． B．C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为20．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（       ）A． B．C． D．21．下列结论错误的是（       ）A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R；B．不等式在R上恒成立的条件是且；C．若关于x的不等式的解集为R，则；D．不等式的解为.三、填空题22．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.23．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为___________.24．方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．25．若函数在上的最小值为．则____．26．如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______.