专题5.2 三角函数的概念- 2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

专题5.2 三角函数概念

知识点一．任意角的三角函数的定义

(1)单位圆

在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以__单位长度__为半径的圆为单位圆．

(2)三角函数的定义

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

__y__叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；

__x__叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；

____叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

③由三角形相似的知识，我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．

设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么：

比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝____；

比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝____；

比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝____.

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．

[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．

(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．

(3)定义域：如表所示

2.三角函数值的符号

sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下：

[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．

3．公式一(k∈Z)

sin(α＋2kπ)＝__sinα__，

cos(α＋2kπ)＝__cosα__，

tan(α＋2kπ)＝__tanα__.

知识点二：同角三角函数的基本关系式

1．公式

(1)平方关系：__sin2α＋cos2α＝1.__

(2)商数关系：__＝tanα.__α≠kπ＋(k∈Z)

[知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解

(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．

(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．

(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．

3．常用的等价变形

sin2α＋cos2α＝1⇒

tanα＝⇒

[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？

(1)使用变形公式sinα＝±，cosα＝±时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．

(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知角的终边过点，则的值为（     ）

A． B． C． D．

3．已知角的终边经过点，则（       ）

A． B． C． D．－2

4．已知角的终边经过点，且，则（       ）

A． B．1 C．2 D．

5．在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则（       ）

A． B． C． D．

6．已知是第一象限角，若，那么是（       ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

7．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（       ）

A． B． C． D．

8．平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边是轴的非负半轴，终边经过点，若，则（       ）

A．-2 B． C． D．2

9．已知是角终边上一点，且，则的值是（       ）

A． B． C． D．

10．若，则的值为

A． B． C． D．

11．若，则（       ）

A． B． C．或 D．或

12．已知，且，则(       )

A． B． C． D．

13．已知角的终边在第三象限，且，则（       ）

A． B．1 C． D．

14．已知角，，则（        ）

A．2 B． C．1 D．-1

15．若，且，则是（       ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

16．已知中，若，则（       ）

A． B． C．或 D．或

17．若，且满足，则（       ）

A． B． C． D．

18．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（       ）

A． B．0 C．7 D．

19．已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（       ）

A． B． C．或 D．1

20．已知 ，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

二、解答题

21．已知．

(1)若，求的值；

(2)若，且，求实数的值．

22．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

23．已知是第二象限角，

(1)求的值；

(2)若，求tan．

24．已知，.

(1)求的值.

(2)求的值.

(3)求的值.

25．（1）已知，求的值；

（2）已知，且，求的值.