专题5.4 三角函数的图象与性质- 2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

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专题5.4  三角函数图像与性质 1.正弦函数的性质.(1).定义域: .(2).值域:   .  (3).周期性: 周期函数，周期是,最小正周期为.(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.(5).单调性:增区间：  减区间：(6).对称性: 对称轴：，   对称中心：2.余弦函数的性质.(1).定义域:  .(2).值域:   (3).周期性: 周期函数，周期是，最小正周期为.(4).奇偶性: 偶函数，其图象关于轴对称.(5).单调性: 减区间：增区间：(6).对称性: 对称轴：，   对称中心：3.正切函数的图象与性质.(1).定义域:  .(2).值域:   (3).周期性: 周期函数，周期是，最小正周期为.(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.(5).单调性: 增函数，为增区间.(6).对称性: 对称中心： 4.正弦型函数的性质.(1).定义域:  .(2).值域:   (3).周期性: 周期函数，周期是.(4).奇偶性: 当时为奇函数；当时为偶函数.(5).单调性: 当时：令，求解增区间.                        令，求解减区间. 当时：注意单调区间的转化.(6).对称性: 对称轴：令，求解对称轴方程，对称轴处取最值.            对称中心：令，求解对称中心坐标.  5.余弦型函数的性质.(1).定义域:  .(2).值域:   (3).周期性: 周期函数，周期是.(4).奇偶性: 当时为偶函数；当时为奇函数.(5).单调性: 当时：令，求解减区间.                        令，求解增区间. 当时：注意单调区间的转化.(6).对称性: 对称轴：令，求解对称轴方程，对称轴处取最值.            对称中心：令，求解对称中心坐标.    一、单选题1．已知函数，则（       ）A．的最小正周期为，对称中心为B．的最小正周期为，对称中心为C．的最小正周期为，对称中心为D．的最小正周期为，对称中心为【来源】陕西省榆林市第十中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D【解析】因为函数，所以的最小正周期为，对称中心为，故选：D 2．用“五点法”作函数在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是A． B．C． D．【答案】A【解析】令，得.∴该点坐标为.故选A 3．若函数 在区间内没有最值，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【来源】江西省新余市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】：函数的单调区间为，由，得．函数 在区间内没有最值，函数 在区间内单调，， 解得由，得．当时，得，当时，得，又，故，综上得的取值范围是故选A 4．已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（       ）A． B． C． D．【来源】山东省济宁市2022-2023学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：依题意，即，又，所以，解得，又，所以，所以，要使函数在内单调递减，所以，解得，即；故选：B 5．已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（       ）A． B． C． D．【来源】5.4 三角函数的图像与性质【答案】A【解析】因为是上的奇函数，则，所以，，因为的图象关于直线对称，则，可得，当时，，因为函数在区间内是单调函数，则，解得，所以，，，故，因此，.故选：A. 6．函数的值域为（       ）A． B．C． D．【来源】安徽省合肥市第六中学、第八中学、168中学等校2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题【答案】A【解析】设,因为，所以，因为正切函数在上为单调递增函数，且,所以．∴函数的值域为，故选：A． 7．已知且，则的取值范围为（       ）A． B．C． D．【来源】陕西省渭南市韩城市2022-2023学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：因为在上单调递增，当时，则即，解得，所以，当时，则即，解得，所以，当时，此时无意义，故舍去，综上可得.故选：B 8．已知函数在上单调递增，则的值可以是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，则，解得，当时，，结合选项可知，只有B选项符合.故选：B. 9．函数的一个单调递减区间是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解得，，时，；时，；时，，是的一个单调递减区间．故选：B． 10．已知函数在上有且只有4个零点，则取值范围是（       ）A． B． C． D．【来源】辽宁省沈阳市第三十一中学、丹东二中2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B【解析】由题意，，，∴，解得．故选：B． 11．函数的定义域是（       ）A． B．C． D．【来源】河南省濮阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】令，则，故选：B. 12．函数的单调减区间是（       ）A． B．C． D．【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2022-2023学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.令，所以.故选：A. 13．已知函数为偶函数，则的取值可以为（       ）A． B． C． D．0【来源】浙江省金华第一中学2022-2023学年高一（2-4班）下学期开学检测数学试题【答案】A【解析】因函数为偶函数，则，显然时，，即A满足，B，C，D都不满足.故选：A 14．记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（       ）A．1 B． C． D．3【来源】辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】：函数的最小正周期为，则，由，得，，的图像关于点中心对称，，且，则，．，，取，可得．，则．故选：D． 15．已知函数的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，直线是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（       ）A． B．C． D．【来源】北京市中国人民大学附属中学 2022-2023学年高一下学期期末数学模拟练习试题【答案】B【解析】因为函数的最大值为4，最小值为0，所以，解得，因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，所以，所以，所以，得，所以，因为直线是该函数图象的一条对称轴，所以，得，因为，所以，所以，故选：B 二、多选题16．已知函数，则下列说法正确的是（       ）A．在定义域内是增函数 B．是奇函数C．的最小正周期是 D．图像的对称中心是【来源】辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高一下学期4月阶段性测试数学试题【答案】BD【解析】A错误，∵的定义域是，其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性；B正确，，易知其是奇函数；C错误，函数的最小正周期为；D正确，令，解得，所以图像的对称中心是.故选：BD. 17．已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（       ）A．为奇函数B．若的一个零点为，且，则C．在区间的零点个数为3个D．若大于1的零点从小到大依次为，则【来源】江西省上饶中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】ABD【解析】因为，所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，时，，所以当，时，，当，时，，当，，则，由于的一个零点为，则，故B正确；如图：当时，令，，则大于0的零点为，，的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且，所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；由图可知，大于1的零点，，，所以，而，故推出，故D正确.故选：ABD. 18．已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则（       ）A． B． C． D．【来源】陕西省榆林市第十中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题【答案】AD【解析】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为，得.则由得，即得.由，且存在单调减区间，则可得，∴.由得，因，可得或，当时，，由，得，则函数的单调减区间为，令，由，得函数在上单调递减，所以满足题意；当时，，由，得，则函数的单调减区间为，令，由，得函数在上单调递减，所以满足题意；综上可得：或满足题意.故选：AD. 19．设函数，若在上有且仅有3条对称轴，则（       ）A．在上有且仅有2个最大值点B．在上有且仅有2个零点C．的取值范围是D．在上单调递增【来源】江西省上饶市六校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题【答案】ACD【解析】∵，，∴，∴，令，∴，画出图象进行分析：对于A选项：由图象可知：在上有且仅有，对应的这2个最大值点，故A选项正确；对于B选项：当，即时，在有且仅有2个零点；当，即时，在有且仅有3个零点，故B选项不正确；对于C选项：∵在有且仅有3条对称轴，∴，∴，∴的取值范围是，故C选项正确；对于D选项：∵，，∴，∴，由C选项可知，，∴，即在上单调递增，故D选项正确.故选：ACD. 20．已知函数，则下列命题正确的是（       ）A．若在上有10个零点，则B．若在上有11条对称轴，则C．若＝在上有12个解，则D．若在上单调递减，则【来源】云南省保山市2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题【答案】ACD【解析】【分析】：因为，所以，对于A，因为在上有10个零点，所以，解得，故A正确；对于B，若在上有11条对称轴，所以，解得，故B错误；对于C，若＝在上有12个解，又，所以，解得，故C正确；对于D，因为，所以，若在上单调递减，则，解得，又因，所以，故D正确.故选：ACD. 21．函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的取值可以为（       ）A． B． C． D．【来源】辽宁省沈阳市第一中学2022-2023学年高一下学期第三次阶段数学试题【答案】AC【解析】由可得：.因为，所以.因为，所以.因为对于任意的，方程仅有一个实数根，所以，解得：.对照四个选项，只有A、C在.故选：AC 22．已知函数，则下列关于的判断正确的是（          ）A．在区间上单调递增 B．最小正周期是C．图象关于直线成轴对称 D．图象关于点成中心对称【来源】黑龙江省哈尔滨市第一六二中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题【答案】ABD【解析】对于选项A，时，，此时为增函数；对于选项B，的最小正周期为；对于选项C，因为，，所以图象不是关于直线成轴对称；对于选项D，令，，得，令得，所以图象关于点成中心对称.故选：ABD. 三、解答题23．已知(1)函数（）在区间上恰有三条对称轴，求的取值范围．(2)函数，①当时，求函数(x)的零点；②当，恒有，求实数的取值范围．【来源】宁夏银川唐徕回民中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题【答案】(1)(2)①或；②【解析】(1)解：当时，，由函数（）在区间上恰有三条对称轴，所以，解得；(2)解：①当时，令得，因为，所以，即，因为，所以，因为，所以或；②令，则，函数，对称轴，当即，，得，所以，当即，令，得，所以，当即，令，得，所以，综上：为实数的取值范围为． 24．已知函数，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．(1)求函数的单调区间和对称中心．(2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【解析】(1)函数，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．周期，即，那么，可得．，令，，解得，，可得函数的单调递增区间，，令，，解得，，∴可得函数的单调递减区间， 令，解得，可得对称中心为；(2)方程在上有实数解，即在上有实数解，令，上，， 则在上有解，，易得在上单调递增，且时，，所以，所以范围为. 25．已知函数.(1)请用五点法做出一个周期内的图像；(2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.【来源】北京市石景山区2022-2023学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）列表00100（2）的取值范围是. 26．已知函数，）函数关于对称.(1)求的解析式；(2)用五点法在下列直角坐标系中画出在上的图象；(3)写出的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量的取值集合．【答案】(1),(2)详见解析(3)单调递增区间是，，最小值为，取得最小值的的集合.【解析】(1)因为函数关于直线对称，所以，，因为，所以，所以(2)首先根据“五点法”，列表如下：  (3)令，解得：，，所以函数的单调递增区间是，，最小值为 令，得，函数取得最小值的的集合. 27．已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的所有零点之和.【来源】陕西省西安市蓝田县2022-2023学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由，解得.函数的单调递增区间为.（2）解：由，得，则或.或又，或或.即函数在区间上的所有零点为，，，故零点之和为.