专题27：函数的极值与其导数的关系-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

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专题27：函数的极值与其导数的关系
精讲温故知新

①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
题型一：函数极值的辨析
例1：（2012·重庆·高考真题（理））设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
【答案】D
【解析】
【详解】
则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】
判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
举一反三
（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的奇偶性及函数的极值与导数的关系可判断各选项.
【详解】
对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A项不满足条件；
对于B选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；
对于C选项，函数的导数为，该函数在上单调递增，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
，当时，，当时，，
所以，为函数的极小值点，D选项满足条件.
故选：D.
题型二：函数极值点的辨析
例2：1.（2012·陕西·高考真题（文））设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D
【解析】
【详解】
，
由得，
又函数定义域为，
当时，，递减，
当时，，递增，
因此是函数的极小值点．故选D．
考点：函数的极值．
2．（多选）（2022·重庆八中模拟预测）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（       ）
A．是的最小值点
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．是的极大值点
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；
对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；
对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；
对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.
故选：BD.
举一反三
1．（2013·福建·高考真题（文））设函数一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图象关于y轴对称，所以是其极大值点,错误；对于C中的是将的图象关x轴对称，所以才是其极小值点，错误；而对于D中的是将的图象关原点对称，故是其极小值点，正确.
故选D.
（2013·辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
【详解】
函数满足，
，令，
则，
由，得，令，
则
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
又在单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.
【方法点睛】
本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
题型三：求已知函数的极值
例3：（多选）（2022·全国·高考真题）已知函数，则（       ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】
由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC.
举一反三
（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数，函数，则函数的极小值点为______；若，恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】         
【解析】
【分析】
利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值点；分析得出，构造函数，可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】
因为定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则当时，函数的取得极小值，即函数的极小值点为，
且，即，
因为，即，其中，
，
构造函数，当时，，则，
故函数在上为增函数，
所以，对任意的恒成立，所以，.
故答案为：；.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于构造新函数，将问题转化为函数在上的单调性，结合导数以及参变量分离法求解.
题型四：由极值求参数
例4：（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数在处有极值10，则（       ）
A．6 B． C．或15 D．6或
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出函数的导函数 ，然后根据在 时 有极值10，得到 ，求出满足条件的 ，然后验证在 时是否有极值，即可求出
【详解】
，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意

故选：B
举一反三
（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（       ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.
【详解】
解：，所以
因为函数在处取极小值，所以，所以，，，
令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.
故选：B
题型5：由极值点求参数
例5：（2022·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】
解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：

设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
【点睛】
本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
举一反三
（2022·湖北·荆州中学模拟预测）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用求解即可.
【详解】
解：因为，
所以，
又因为是极值点，
所以，
即：2a+b=-3.
又因为，
所以，
故答案为：

题型六：函数（导函数）的图像与极值的关系
例6：（2022·陕西·西安中学一模（文））已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，利用导数求得函数的单调性，以及结合图象中的函数单调性，即可求得的大小关系，得到答案.
【详解】
设，可得，
由图象可知，函数先递增，再递减，最后递增，且当时，取得极小值，
所以函数既有极大值，也有极小值，
所以有两个根，即，
所以，可得且，
又由，可得，
由，可得，
所以，所以.
故选：A.
举一反三
（2022·贵州毕节·三模（文））已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：
①函数在区间上单调递减；
②若，则；
③函数在上有3个极值点；
④若，则．
其中正确命题的序号是（       ）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象判断函数单调性和极值点情况，并利用单调性比较函数值的大小，逐一判断四个命题的正误即可.
【详解】
①中，看图知，在区间上，，在区间上，，故函数在区间上先增再减，①错误；
②中，看图知，在区间上，是下凸的，任意连接两点，中点为，线段一定在图象上方，故中点也在图象上方，即，故②正确；
③中，看图知，在区间上，，在区间上，，在区间上，，所以有一个极大值点和一个极小值点，故③错误；
④中，看图知，在区间上，，且递减，故单调递增，故，故，即④正确.
综上，正确命题的序号是②④.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：
利用导数判断函数的单调性和极值的方法：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，令 的区间即是增区间，令的区间即是减区间，③根据单调区间，判断极值点即可.
题型七：函数（导函数）的图像与极值点的关系
例7：（2022·天津·模拟预测）已知函数的图象如图所示，则等于（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据和是的根，列出方程组求得，得到，结合是函数的极值点，即可求解.
【详解】
由函数的图象知：和是的根，
即，解得，
所以，可得，
又由结合图象可得是函数的极值点，
即是的两个根，即是的两个实数根，
所以.
故选：C.
举一反三
1.（2022·甘肃·敦煌中学一模（理））函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用极小值的定义判断可得出结论.
【详解】
由导函数在区间内的图象可知，
函数在内的图象与轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数在开区间内的极小值点有个，
故选：A.
2．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】
（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：













增
极大值
减
极小值
增

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.


题型八：求已知函数的极值点
例8：（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数……自然对数底数）.
(1)当时，求函数f（x）的单调区间；
(2)当时，
（i）证明：存在唯一的极值点：
【解析】
(1)，构建
当时，则在上单调递减，且
当时，，当时，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)（i）由（1）可知：当时，在上单调递减

∴在内存在唯一的零点
当时，，当时，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
∴存在唯一的极值点
举一反三
1.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设.
(1)求在上的极值；
【解析】
(1)由，
得的单调减区间是，，
同理，的单调增区间是.
故的极小值为，极大值为.
2．（2018·北京·高考真题（理））设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
【答案】(1) 1   (2)（，）
【解析】
【详解】
分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．
详解：解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)0．
所以f (x)