2023年高考数学一轮复习高考解答题专项五第1课时圆锥曲线中的最值或范围问题含解析北师大版文

第1课时　圆锥曲线中的最值(或范围)问题

1.(2021全国乙,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程;

(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.

解:(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y2=4x.

(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).

又F(1,0),则=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2).

因为=9,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,

得x1=10x2-9,y1=10y2.

又因为点P在抛物线C上,所以=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),

则点Q的轨迹方程为y2=x-.

易知直线OQ的斜率存在.

设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=x-相切时,斜率取得最大值、最小值.

由得k2x2=x-,

即k2x2-x+=0,(*)

当直线OQ和曲线y2=x-相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即-4k2·=0,解得k=±,所以直线OQ斜率的最大值为.

2.(2021浙江温州模拟,21)已知抛物线E:x2=4y与椭圆C:=1(a>b>0)具有相同的焦点,且椭圆的离心率为,过椭圆C上顶点的直线l交抛物线E于A,B两点,分别以A,B为切点作抛物线E的切线l1,l2相交于点M.

(1)求椭圆C的方程;

(2)求△MAB面积的最小值.

解:(1)由抛物线E:x2=4y,得其焦点坐标为(0,1),

故椭圆的焦点也为(0,1),∴c=1,由椭圆的离心率为e=,得a=2,

∴b=,椭圆C的方程为=1.

(2)由(1)可知,椭圆的上顶点的坐标为(0,2),

设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因为抛物线E:x2=4y,

所以y'=,所以kAM=,kBM=,得lAM:y-y1=(x-x1),lBM:y-y2=(x-x2),

M(x0,y0)同时在直线lAM,lBM上,

所以

所以直线AB的方程为y0-y=(x0-x),

化简可得x0x=2(y+y0),

又直线AB经过椭圆的上顶点,所以y0=-2,所以直线AB的方程为x0x=2(y-2),

联立方程可得x0x=2-2,

∴x2-2x0x-8=0,Δ=4+32>0恒成立.

|AB|=,

M到直线AB的距离d=,

∴S=×()3≥8,故△MAB面积的最小值为8.

3.(2021河南郑州三模,理20)已知抛物线C:x2=4y和圆E:x2+(y+1)2=1,过抛物线上一点P(x0,y0)作圆E的两条切线,分别与x轴交于A,B两点.

(1)若切线PB与抛物线C也相切,求直线PB的斜率;

(2)若y0≥2,求△PAB面积的最小值.

解:(1)设切线PB的方程为y=kx+m,代入抛物线的方程得x2-4kx-4m=0,

由相切的条件可得Δ=16k2+16m=0,即k2+m=0,

由直线与圆相切可得圆心到直线的距离d==1,即k2=m2+2m,

所以m2+3m=0,m=-3或m=0(舍去),k2=3,k=±.

(2)因为y0≥2,所以切线PA,PB的斜率一定存在.设圆E的切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,圆心到直线的距离d==1,

整理得(-1)k2-(2x0y0+2x0)k++2y0=0,

设PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=,k1k2=,令y=0,得xA=x0-,xB=x0-,

|AB|=x0--x0-=·y0=·y0=,

S△PAB=|AB|·y0=·y0=,

令f(y)=,因为y≥2,

所以f'(y)=>0,f(y)在[2,+∞)上单调递增,所以f(y)min=f(2)=4.

所以S△PAB的最小值为2.

4.(2021黑龙江哈尔滨三中一模,文20)已知平面内的两个定点F1,F2,|F1F2|=2,平面内的动点M满足|MF1|+|MF2|=4.记M的轨迹为曲线E.

(1)请建立适当的平面直角坐标系,求E的方程;

(2)过F2作直线l交曲线E于A,B两点,若点O是线段F1F2的中点,点C满足=-,求△ABC面积的最大值,并求出此时直线l的方程.

解:(1)M满足|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|,由椭圆的定义知动点M的轨迹为椭圆,以F1F2的中点为原点,直线F1F2为x轴,以过F1F2的中点且垂直于F1F2的直线为y轴建立平面直角坐标系,由题意,得2c=2,2a=4,

所以b2=a2-c2=1,故E的方程为+y2=1.

(2)因为F2(,0),设直线l:x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立消去x,整理得(m2+4)y2+2my-1=0,

由于Δ=16(m2+1)>0恒成立,则有y1+y2=,y1y2=,|AB|=·|y1-y2|=,

点O到直线l的距离d=.

则S△AOB=|AB|·d=≤1,当且仅当,即m=±时取等号,

又由于=-,知S△ABC=S△AOB≤,

此时直线l的方程为x=±y+,即x+y-=0,或x-y-=0.

5.已知椭圆E:=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;

(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.

解:(1)当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).

直线AM的方程为y=k(x+2),

代入椭圆方程,消去y,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,

解得x=-2或x=-,则|AM|=·2-=,

由MA⊥NA,直线NA的斜率为-(k>0),

所以|AN|=,

由|AM|=|AN|,得,

所以,即4k3-3k2+3k-4=0,

整理可得(k-1)(4k2+k+4)=0,由4k2+k+4>0可得k=1,

即有△AMN的面积为|AM|2=2=.

(2)由题意t>3,k>0,A(-,0).

将直线AM的方程y=k(x+)代入=1,

消去y,整理得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.

由x1·(-)=得x1=,

故|AM|=|x1+.

由题设,直线AN的方程为y=-(x+),

故同理可得|AN|=.

由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).

当k=时上式不成立,

因此t=.

t>3等价于<0,即<0.

由此得解得<k<2.

因此k的取值范围是(,2).

6.(2021广东深圳一模,21)设点O是坐标原点,以点F1,F2为焦点的椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为2,以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点.

(1)求C的方程;

(2)P是C外的一点,过P的直线l1,l2均与C相切,且l1,l2的斜率之积为m-1≤m≤-,记u为|PO|的最小值,求u的取值范围.

解:(1)由题意,2a=2,∴a=.

又以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点,即b=c,

又b2+c2=a2=2,∴b=c=1,∴C的方程为+y2=1.

(2)由题意,l1,l2的斜率存在且不为零,设过点P(x0,y0)的切线l:y-y0=k(x-x0),

由方程组消去y,

整理得(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-2=0,

∵l与C相切,

∴Δ=16k2(y0-kx0)2-8(1+2k2)[(y0-kx0)2-1]=0,

化简并整理,得(y0-kx0)2=2k2+1,

整理成关于k的一元二次方程得(-2)k2-2x0y0k+-1=0(易知x0≠±).

设l1,l2的斜率分别为k1,k2,

易知k1,k2为方程(-2)k2-2x0y0k+-1=0的两根,

∴k1·k2==m,∴=m+1-2m,

∴=(1+m)+1-2m,

∴|PO|=,

∵-1≤m≤-,

∴当x0=0时,有u=|PO|min=.

又-1≤m≤-,∴≤u≤,

即u的取值范围为[].