江西省瑞金市第二中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

2021-2022学年度高二数学第一次月考

数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题

1．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若，则；②若 ，，，则；

③若，，则； ④若，，，，则．

其中正确的命题是（    ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

2．某圆锥的母线长为，底面半径长为，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

3．直线与平行,则（ ）

A． B．2 C．或 2 D．0 或 1

4．已知边长为1的菱形中，，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，平面平面，过，的直线，分别交、于、于 ，和，，若，，，则的长为(　　)

A． B． C． D．

6．已知直线被圆所截得的弦长为4，则k为（    ）

A． B． C．0 D．2

7．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（　　）

A． B． C． D．

8．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(    )

A．3 B．2 C． D．

9．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是，则图中x的值为（    ）

A． B． C．2 D．

10．在正三棱柱中，，则与平面所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

11．直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（    ）

A． B．或

C． D．

12．已知四边形为矩形，，E为的中点，将沿折起，连接，，得到四棱锥，M为的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（    ）

①平面；

②三棱锥的体积最大值为；

③；

④一定存在某个位置，使；

A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为___________.

14．过 2 x  y  8  0 和 x  y  3  0 的交点，且与直线 2x  3 y  10  0垂直的直线方程是_____________.

15．已知，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是___________.

16．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若各棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥MAB1C的体积为________．

三、解答题

17．求满足下列条件的直线l的方程：

（1）直线l经过点，并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍

（2）直线l过点，并且在x轴上的截距是在y轴上截距的．

18．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M，N分别为AC，PD的中点．

（1）求证：MN∥平面ABP；

（2）若BP⊥PC，求证：平面ABP⊥平面APC．

19．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点.

（1）若点到直线的距离为4，求直线的方程；

（2）求面积的最小值.

20．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.

图1                   图2

（1）求该蒙古包的侧面积；

（2）求该蒙古包的体积.

21．已知圆经过，两点，且圆心在直线上.

（1）求圆的方程；

（2）已知过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程.

22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA中点，且PA=AB=2.

（1）证明：BC⊥平面AMN；

（2）求三棱锥N-AMC的体积；

（3）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.

参考答案

1．D

【分析】

由面面垂直判断①；举特列判断②；由面面平行和线面平行的定义可判断③；由线面平行的性质可判断④.

【详解】

对于①：若，，则与可能平行，也可能相交，故①错误；

对于②：当时，就不能推出，如图. 故②错误；

对于③：若，则平面与平面无公共点，又，所以直线与平面也没有公共点，所以，故③正确；

对于④：因为，由得，又，所以，同理，从而，故④正确.

故选：D.

2．A

【分析】

由已知条件求出圆锥的高，从而可求出圆锥的体积

【详解】

解：由题意得圆锥的高为，

所以圆锥的体积为，

故选：A

3．B

【分析】

根据两条直线平行的条件列方程，由此解出的值，排除两条直线重合的情况，由此得出正确选项.

【详解】

由于两条直线平行，所以，解得或，当时，两条直线方程都为，即两条直线重合，不符合题意，故，所以本小题选B.

【点睛】

本小题主要考查两条直线平行求参数，考查两条直线重合，属于基础题.

4．C

【分析】

根据直观图和原图面积关系，求得这个菱形的直观图的面积.

【详解】

若原图的面积为，直观图的面积为，则，

原图为菱形，面积为，

所以直观图的面积为.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查斜二测画法面积的有关计算.

5．C

【解析】

选C.由易证

即，

故选C.

6．A

【分析】

利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k.

【详解】

设圆心到直线的距离为d，则由点到直线的距离公式得，

由题意得：，解得．

故选：A

7．A

【分析】

由题意平移AA1，异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，在△EFG中可求．

【详解】

解：取A1B1中点G，连接EG，FG，EG⊥FG，因为EG∥AA1，

所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，

在△EFG中，FG＝5，EG＝7，所以tan∠FEG，

故选A．

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，属于简单题．

8．D

【分析】

首先求出直线的方程和线段的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出的高的最小值，即可求解.

【详解】

由题意，易知直线的方程为，且,

∵圆可化为，

∴圆心为，半径为1，

又∵圆心到直线的距离，

∵的面积最小时，点C到直线的距离最短，该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径，

故面积的最小值为.

故选：D.

9．D

【分析】

根据三视图还原直观图，由几何体的表面积公式列方程求参数x.

【详解】

如图所示，该几何体为四棱锥，其中底面，底面是正方形．

∴该几何体的表面积，解得．

故选：D

10．B

【分析】

取中点，由线面垂直性质和等腰三角形三线合一可证得，，由线面垂直判定可知平面，从而得到所求角为，由长度关系可求得结果.

【详解】

取中点，连接，

三棱柱为正三棱柱，为等边三角形，平面，

为中点，平面，，，

又平面，，平面，

与平面所成角为，

不妨设，则，，，

，即与平面所成角的正切值为.

故选：B.

11．B

【分析】

首先根据题意得到曲线表示半圆，再结合图象即可得到直线与曲线有且仅有一个公共点时b的取值范围.

【详解】

将方程变形为．

当直线与曲线相切时，满足，

即，解得．

由图可知，当或时，直线与曲线有且仅有一个公共点．

故选：B.

12．B

【分析】

①通过线面平行的判定定理判断正确性；②求得三棱锥的体积最大值来判断正确性；③结合①判断正确性；④利用反证法判断正确性.

【详解】

①，设是的中点，折叠过程中是的中点，连接，

由于是的中点，所以是三角形的中位线，

所以.由于是的中点，所以.

所以，所以四边形是平行四边形，

所以，由于平面，平面，

所以平面，所以①正确.

②，由于是的中点，所以.

在折叠过程中，三角形的面积为定值，

当平面平面时，距离平面的距离最大.

过作，交于，连接，则.

当平面平面时，由于平面平面，

所以平面.，

则，

则.所以三棱锥体积的最大值为，

所以三棱锥体积的最大值为.所以②正确.

③，由①知，所以③正确.

④，由于，

所以.若，，

则平面，则，

根据折叠前后图象的对应关系可知，

与矛盾，所以④错误.

综上所述，正确的为①②③.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查线面平行、几何体体积、线线垂直等知识.

13．

【分析】

根据圆锥侧面展开图的面积计算圆锥的底面半径，再运用勾股定理求解圆锥的高即可.

【详解】

圆锥的侧面展开图的弧长为，圆锥的底面半径，
根据题意圆锥的母线长为3
∴该圆锥的高.
故答案为：.

14．

【分析】

将2 x  y  8  0 和 x  y  3  0联立方程得交点坐标，再根据直线的垂直关系得所求直线的斜率是，最后结合点斜式方程求解即可.

【详解】

解方程组，得，即交点为.

直线的斜率，

所求直线的斜率是.

故所求直线的方程是，即.

故答案为：.

15．

【分析】

直线与线段相交，分别求过端点、时的斜率，即可得的范围.

【详解】

由题意，过点且斜率为的直线与线段相交，

当过点时，；当过点时，；

∴由图知：的取值范围为.

故答案为：

16．

【分析】

换顶点，由计算体积．

【详解】

在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，则AA1⊥B1M.因为B1M是正三角形A1B1C1的中线，所以B1M⊥A1C1.因为A1C1∩AA1＝A1，所以B1M⊥平面ACC1A1，则＝＝×AC×AA1×B1M＝.

故答案为：．

17．（1）；（2）或．

【分析】

（1）求出直线的斜率，利用斜率表示倾斜角，再求直线l的斜率，利用点斜式写出直线l的方程，化为一般形式；

（2）讨论直线l在两轴上的截距为0和不为0时，求出对应直线的方程．

【详解】

（1）设直线的倾斜角为，则，

直线l的斜率为；

又直线l经过点，

直线l的方程为：，

即；

（2）若直线l在两轴上的截距均不为0，设直线l在x轴上的截距为，

则直线l在y轴上的截距为2a，

可设l：，将点代入，解得；

直线l：即；

若直线l在两轴上的截距均为0，由直线l过点，

直线l的方程是：或．

18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即连结，证明；

（2）要证明面面垂直，需证明线面垂直，利用垂直关系转化，证明平面.

【详解】

证明： （1）连结BD，由已知，M为AC和BD的中点，

又∵N为PD的中点，∴MN∥BP．

∵MN⊄平面ABP，BP⊂平面ABP，∴MN∥平面ABP．

（2）∵AB⊥BP，AB⊥BC，BP∩BC＝B，∴AB⊥平面BPC．

∵PC⊂平面BPC，∴AB⊥PC．

∵BP⊥PC，AB∩BP＝B，∴PC⊥平面ABP．

∵PC⊂平面APC，∴平面ABP⊥平面APC．

19．（1）（2）

【分析】

（1）直线过定点P，故设直线l的方程为，再由点到直线的距离公式，即可解得k，得出直线方程；（2）设直线方程，，表示出A，B点的坐标，三角形面积为，根据k的取值范围即可取出面积最小值．

【详解】

解：（1）由题意可设直线的方程为，即，

则，解得.

故直线的方程为，即.

（2）因为直线的方程为，所以，，

则的面积为.

由题意可知，则（当且仅当时，等号成立）.

故面积的最小值为.

【点睛】

本题考查求直线方程和用基本不等式求三角形面积的最小值．

20．（1）平方米；（2）立方米.

【分析】

（1）结合圆锥的侧面积和圆柱的侧面积公式即可直接求解；

（2）结合圆锥的体积和圆柱的体积公式即可直接求解.

【详解】

由题意可知米，米，米，米.

（1）圆锥部分的侧面积平方米.

圆柱部分的侧面积平方米.

故该蒙古包的侧面积平方米.

（2）圆锥部分的体积立方米，

圆柱部分的体积立方米.

故该蒙古包的体积立方米.

故答案为：（1）平方米；（2）立方米.

21．（1）；（2）或.

【分析】

（1）结合线段的垂直平分线以及求得圆心，再求得半径，由此求得圆的方程.

（2）根据的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长求得直线的方程.

【详解】

（1）线段的中点为，直线的斜率为，

所以线段的垂直平分线为，

由解得，所以圆心为，半径为，

所以圆的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，由，

即直线与圆相交所得弦长为符合题意.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

由于，

所以，所以.

综上所述，直线的方程为或.

22．（1）详解见解析；（2）；（3）存在点E为PD的中点，PE=

【分析】

（1）先证明BCAM，再证明PABC，即可证明BC⊥平面AMN.；

（2）以做为底面，AN作为高度，进行计算即可；

（3）取PD中点E，证明MCEN是平行四边形，得，即可证得MN∥平面ACE，从而求得PE的长

【详解】

（1）证明：因为ABCD为菱形，所以AB=BC，

又∠ABC=60°，所以AB=BC=AC，

又M为BC中点，所以BC⊥AM ，

又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，故PA⊥BC

又PA∩AM=A，所以BC⊥平面AMN.

（2）由（1）知为等边三角形，AB=BC=AC=2

又M为BC中点，则BM=CM=1，故

因此，

又PA⊥平面ABCD，PA=2，N为PA的中点，故AN=1

所以.

（3）存在点E，

取PD中点E，连接NE，EC，AE，如图所示：

因为N，E分别为PA，PD中点，所以，且，

又在菱形ABCD中，，且，

所以，且，即MCEN是平行四边形，故，

又平面ACE，NM平面ACE，故平面ACE，

即在PD上存在一点E，使得MN平面ACE，此时PE=PD=