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安徽省安庆九一六学校2022-2023学年九年级上学期开学素养展示数学试题(含答案)
展开安庆九一六学校2022—2023学年度第一学期开学素养展示
初三数学素养展示
考试范围:沪科版八下;考试时间:120分钟;
一、单选题(共40分)
1.(本题4分)下列方程:①;②;③;④;⑤.是一元二次方程的是( )
A.①② B.①②④⑤ C.①③④ D.①④⑤
2.(本题4分)一组数据6,9,8,8,9,7,9的众数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.(本题4分)小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店揽件日平均增长率为,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
4.(本题4分)下列命题是真命题的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.四边相等的平行四边形是正方形
5.(本题4分)已知,是方程的两个实数根,则代数式的值是( ) A.4045 B.4044 C.2022 D.1
6.(本题4分)如图,为测量池塘的宽度(A、B两点之间的距离),在池塘的一侧选取一点O,连接OA、OB,并分别取它们的中点D、E,连接DE,现测出DE=20米,那么A、B间的距离是( )
A.10米 B.20米 C.30米 D.40米
7.(本题4分)如图,已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值是( )
A.5 B.10 C.6 D.8
8.(本题4分)如图,矩形与矩形完全相同,,现将两个矩形按如图所示的位置摆放,使点恰好落在上,的长为( )
A.1 B.2 C. D.
9.(本题4分)已知关于的一元二次方程的两根分别记为,,若,则的值为( )A.7 B. C.6 D.
10.(本题4分)如图,▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,∠ADC=60°,BC=2AB=4,则下列结论:①AD=4OE;②BD=2;③30°<∠BOE<45°;④S△AOP=.其中正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(共20分)
11.(本题5分)在中,若两直角边,满足,则斜边的长度是______.
12.(本题5分)对任意实数a,b,定义一种运算:,若,则x的值为_________.
13.(本题5分)已知平面上有三个点,点,以点,点点为顶点画平行四边形,则第四个顶点的坐标为____.
14.(本题5分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,等边△AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上则下列结论:①CE=CF:②∠AEB=75°;③S△EFC=1;④,其中正确的有______(用序号填写)
三、解答题(共90分)
15.(本题8分)计算
(1) ; (2)
16.(本题8分)解方程:
(1) (2)
17.(本题8分)如图所示,在平面直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A(0,4),B(﹣4,1),C(2,0).
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并直接写出点B1的坐标 .
(2)在(1)的条件下,若点P在x轴上,当B1P+PA的值最小时,画出点P的位置,并直接写出B1P+PA的最小值.
(3)在x轴上是否存在一点M,使△MAC是等腰三角形,若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
18.(本题8分)如图,在4×5的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长均为1,点A、B均在格点上,以AB为边画等腰△ABC,要求点C在格点上.
(1)在图①、图②中画出两种不同形状的等腰三角形△ABC.
(2)格点C的不同位置有 处.
19.(本题10分)小明是一名健步走运动的爱好者,他用手机软件记录了他近期健步走的步数(单位:万步),绘制出如下的统计图①和统计图②,请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次记录的总天数为_____________,图①中m的值为______________;
(Ⅱ)求小名近期健步走步数的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)根据样本数据,若小明坚持健步走一年(记为365天),试估计步数为1.1万步的天数.
20.(本题10分)先观察下列等式,再回答问题:
①;
②;
③;
(1)根据上面三个等式,请猜想的结果(直接写出结果)
(2)根据上述规律,解答问题:
设,求不超过的最大整数是多少?
21.(本题12分)已知:关于关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程的一根是另一根的2倍,求k的值.
22.(本题12分)某服装店在销售中发现:进货价为每件50元,销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件.现服装店决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利.经市场调查发现:如果每件服装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.
(1)求销售价在每件90元的基础上,每件降价多少元时,平均每天销售这种服装能盈利1200元,同时又要使顾客得到较多的实惠?
(2)要想平均每天盈利2000元,可能吗?请说明理由.
23.(本题14分)如图①,四边形是正方形,点E是上一点,连接,以为一边作正方形,连接.
(1)求证:;
(2)如图②,连接交于点H,连接,求证:;
(3)在(2)的条件下,若,点H恰为中点,求的面积.
参考答案:
1.D
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断.
【详解】①该方程符合一元二次方程的定义;
②该方程中含有2个未知数,不是一元二次方程;
③该方程含有分式,它不是一元二次方程;
④该方程符合一元二次方程的定义;
⑤该方程符合一元二次方程的定义.
综上,①④⑤一元二次方程.
故选:D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
2.D
【分析】根据众数的概念求解即可.
【详解】解:这组数据中9出现3次,次数最多,
所以这组数据的众数为9,
故选:D.
【点睛】本题主要考查众数,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
3.A
【分析】平均增长率为x,关系式为:第三天揽件量=第一天揽件量×(1+平均增长率)2,把相关数值代入即可.
【详解】解:由题意得:第一天揽件200件,第三天揽件242件,
∴可列方程为:,
故选:A.
【点睛】此题考查一元二次方程的应用,得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点,难度一般.
4.C
【分析】根据矩形的判定方法对A、B矩形判断;根据正方形的判定方法对C、D矩形判断.
【详解】解:A、对角线相等的平行四边形是矩形,所以A选项错误;
B、对角线相等的平行四边形是矩形,所以B选项错误;
C、对角线互相垂直的矩形是正方形,所以C选项正确;
D、四边相等的菱形是正方形,所以D选项错误.
故选C.
【点睛】本题考查了命题与定理:命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
5.A
【分析】根据一元二次方程的解,以及一元二次方程根与系数的关系即可求解.
【详解】解:解:∵,是方程的两个实数根,
∴,,
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的定义,掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
6.D
【分析】有已知条件可得为三角形的中位线,根据中位线定理即可求得.
【详解】 D、E是OA、OB的中点,
,
,
.
故选D.
【点睛】本题考查了三角形中位线定理,掌握中位线定理是解题的关键.
7.A
【分析】作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,求出CP、BP,根据勾股定理求出BC长,证出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.
【详解】解:作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,则P是AC中点,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,
即Q在AB上,
∵MQ⊥BD,
∴AC∥MQ,
∵M为BC中点,
∴Q为AB中点,
∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,
∴BQ∥CD,BQ=CN,
∴四边形BQNC是平行四边形,
∴PQ∥AD,
而点Q是AB的中点,
故PQ是△ABD的中位线,即点P是BD的中点,
同理可得,PM是△ABC的中位线,
故点P是AC的中点,
即点P是菱形ABCD对角线的交点,
∵四边形ABCD是菱形,
则△BPC为直角三角形,
,
在Rt△BPC中,由勾股定理得:BC=5,
即NQ=5,
∴MP+NP=QP+NP=QN=5,
故选:A.
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置.
8.D
【分析】由勾股定理求出,进而可得结论.
【详解】解:∵
∴,
又∵矩形与矩形完全相同,
∴
∴,
∴
故选:D.
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的应用,运用勾股定理求出是解答此题的关键.
9.B
【分析】根据根与系数关系求出=3,a=3,再求代数式的值即.
【详解】解:∵一元二次方程的两根分别记为,,
∴+=2,
∵,
∴=3,
∴·=-a=-3,
∴a=3,
∴.
故选B.
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系,代数式的值,掌握一元二次方程的根与系数关系,代数式的值是解题关键.
10.A
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得:∠BAE=∠BEA,则AB=BE=2,由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得:△ABE是等边三角形,即可得到E为BC中点,再根据中位线定理得到AB=2OE,即AD=4OE ;②先根据三角形中位线定理得:OE=AB=1,OE∥AB,根据勾股定理计算OC,OD的长,即可求BD的长;③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案;④过点P分别作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N可以得到即可求得,由此求出即可得出结论.
【详解】解:∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC=60°,AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE=2,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=BE=2,
∵BC=4,
∴EC=2,
∴AE=EC,
∴∠EAC=∠ACE,
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°,
∴∠ACE=30°,
∵AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACE=30°,
∴∠BAC=∠DCA=90°,
∵CE=BE=2
∴E为BC的中点
∴OE为△ABC的中位线
∴OE=AB=1,OE∥AB,
∴∠EOC=∠BAC=90°,
∵BC=2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正确
Rt△EOC中,OC=,
在Rt△OCD中,OD=
BD=2OD=2
故②正确
在Rt△AOE中,∵AE是斜边
∴AE>AO
∴AB>AO
∴∠AOB>∠ABO
∴∠AOB>45°
∴∠BOE=90°-∠AOB<45°
∵OE=
∴∠BOE>∠OBE
∵∠ACB=30°,∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°
∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE>30°
∴③正确
过点P分别作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N
∴PM=PN(角平分线的性质)
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC=,
∴
∴④正确
综上,正确的个数是4个
故选:A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积,角平分线的性质,三角形中位线定理,大角对大边等知识;熟练掌握平行四边形的性质,证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键,并熟练掌握同高三角形面积的关系.
11.13
【分析】利用非负数的和为0,求出a与b的值,再利用勾股定理求即可.
【详解】解:∵,,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得c=.
故答案为:13.
【点睛】本题考查非负数的性质,勾股定理,掌握非负数的性质,勾股定理是解题关键.
12.2或-3##-3或2
【分析】根据题意得到关于x的一元二次方程,解方程即可.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
解得或,
故答案为:2或-3.
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算,解一元二次方程,正确理解题意是解题的关键.
13.或或
【分析】根据平行四边形的性质,分别以AB、AC、BC为对角线画出平行四边形,然后写出第四个顶点D的坐标.
【详解】如图,以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0,2)或(6,6)或(4,-2).
故答案为:(0,2)或(6,6)或(4,-2).
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,坐标与图形性质.根据平行四边形的性质,结合坐标画出图形,找出D点坐标的三种情况.
14.①②④
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误;根据角角之间的数量关系,以及三角形内角和为180°判断②的正误;根据等边三角形的边长求得直角三角形的边长,从而求得面积③的正误,根据勾股定理列方程可以判断④的正误.
【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,
在Rt△ABE和Rt△ADF中,,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF,
∵BC=DC,
∴BC-BE=CD-DF,
∴CE=CF,
∴①说法正确;
∵CE=CF,
∴△ECF是等腰直角三角形,
∴∠CEF=45°,
∵∠AEF=60°,
∴∠AEB=75°,
∴②说法正确;
∵正方形ABCD的边长为1,
③说法错误,
∵∠AEB=75°,∠AEF=60°,
∴∠CEF=45°,
∴△CEF是等腰直角三角形,
设BE=DF=x,
∴CE=CF=1-x,
(不合题意,舍去),
∴EF= ;④说法正确;
∴正确的有①②④.
故答案为①②④.
【点睛】本题主要考查正方形的性质的知识点,解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法,此题难度不大.
15.(1);
(2)
【分析】(1)首先化简二次根式,之后进行实数的加减运算即可;
(2)首先化简二次根式、计算零次幂,去绝对值,最后进行实数加减运算即可.
(1)
解:原式;
(2)
解:原式.
【点睛】本题主要考查实数的运算,掌握二次根式的化简、零次幂运算、绝对值的性质是解题的关键.
16.(1),
(2),
【分析】(1)根据因式分解可进行求解方程;
(2)根据公式法进行求解方程即可.
(1)
解:
或
解得:;
(2)
解:原方程化简为,
∴,
∴,
∴,
即,.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
17.(1)画图见解析,;(2)作图见解析,最小值为;(3)
【分析】(1)分别确定关于轴对称点 再顺次连接再根据的位置写其坐标,从而可得答案;
(2)连接 交轴于 由 可得即为所求作的点;
(3)△MAC是等腰三角形且在轴上,分三种情况讨论,当,当,当 再结合点的位置与等腰三角形的性质可得答案.
【详解】解:(1)如图,即为所求作的三角形,
的坐标为:
(2)如图,连接 交轴于
则即为所求作的点,
(3)在轴上,且为等腰三角形,
而
当时,满足条件,
此时
当时,轴,
当在的垂直平分线上时,如图, 则
设 由勾股定理可得:
解得: 则
综上:的坐标为:
【点睛】本题考查的是轴对称的作图,两点之间,线段最短,等腰三角形的性质,勾股定理的应用,二次根式的化简,注意在确定满足等腰三角形的点的位置时的分类讨论要做到不遗漏,不重复.
18.(1)见解析;(2)3
【分析】(1)根据等腰三角形的定义,利用勾股定理、数形结合的思想解决问题即可.
(2)根据画出的图形判断即可.
【详解】解:(1)所求作的△ABC如图所示;
(2)在图②中再作出符合条件的点C´,所以格点C的位置有3处,
故答案为3.
【点睛】本题考查了格点中画等腰三角形、等腰三角形的定义、勾股定理,能根据等腰三角形的定义,利用勾股定理、数形结合的思想解决问题是解答的关键.
19.(Ⅰ)25,12;(Ⅱ)平均数为1.22万步,众数为1.3万步,中位数为1.2万步;(Ⅲ)若小明坚持健步走一年(记为365天),步数为1.1万步的天数约为73天
【分析】(Ⅰ)根据统计图②的数据可以计算除总天数,根据扇形统计图的数据求出m的值.
(Ⅱ)根据数据图分析,用步数×天数算出总步数,然后再除以天数之和,可求得平均数,在这组数据中,1.3出现了8次,出现的次数最多,可求得众数,从小到大排序能得到中间的数字是1.2,可求得中位数.
(Ⅲ)样本中的数据显示步数为1.1万约占20%,用总天数365×20%可求得结果.
【详解】解:(Ⅰ)2+5+7+8+3=25,100-32-28-20-8=12;
(Ⅱ)∵ =;
∴ 这组数据的平均数为1.22万步;
∵ 在这组数据中,1.3万步出现了8次,出现的次数最多;
∴ 这组数据的众数为1.3万步;
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的数是1.2万步;
∴ 这组数据的中位数为1.2万步;
(Ⅲ)∵在统计的健步走的步数样本数据中,步数为1.1万约占20%;
∴估计365天中,步数为1.1万约占20%;
365×20%=73;
答:若小明坚持健步走一年(记为365天),步数为1.1万步的天数约为
73天.
【点睛】本题主要考查了通过扇形统计图和条形统计图中的数据求解众数、中位数、平均数,理解图表的意义很重要.
20.(1)1;(2)不超过m的最大整数是2019.
【分析】(1)由①②③的规律写出式子即可;
(2)根据题目中的规律计算即可得到结论.
【详解】解:(1)观察可得,=1;
(2)m=++…+
=1+1+1+…+
=1×2019+(+++…+)
=2019+(1﹣+﹣+﹣+…+)
=2019+(1﹣)
=,
∴不超过m的最大整数是2019.
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简,解题的关键是找出规律.
21.(1)见解析
(2)k的值0或3
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出,由偶次方的非负性可得出,进而可证出方程总有两个实数根;
(2)根据求根公式表示方程的两个根,再根据2倍关系,分类讨论列方程解之即可.
(1)
证明:在方程中,
∵
∴程总有两个实数根
(2)
解:∵,
∴,.
∵方程的一根是另一根的2倍,
∴或.
解得或.
∴k的值0或3.
【点睛】本题考查根的判别式以及求根公式,解题的关键是:(1)熟知“当时,方程有两个实数根”;(2)牢记求根公式:.
22.(1)每件降价20元
(2)不可能,理由见解析
【分析】(1)根据题意列出方程,即每件服装的利润×销售量=总盈利,再求解,把不符合题意的舍去;
(2)根据题意列出方程进行求解即可.
(1)
解:设每件服装降价x元.
由题意得:
(90-x-50)(20+2x)=1200,
解得:x1=20,x2=10,
为使顾客得到较多的实惠,应取x=20;
答:每件降价20元时,平均每天销售这种服装能盈利1200元,同时又要使顾客得到较多的实惠;
(2)
解:不可能,理由如下:
依题意得:
(90-x-50)(20+2x)=2000,
整理得:x2-30x+600=0,
Δ=(-30)2-4×600=900-2400=-1500<0,
则原方程无实数解.
则不可能每天盈利2000元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是找准等量关系,正确列出一元二次方程.
23.(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)由正方形的性质得AB=AD,∠BAD=∠EAG=90°,AE=AG,再证∠BAE=∠DAG,然后证△ADG≌△ABE(SAS即可得出结论;
(2)证△AEH≌△AGH(SAS),得EH=GH,再证C、D、G三点共线,然后由GH=DG+DH=BE+DH,即可得出结论;
(3)设BE=x,则CE=4−x,DG=BE=x,EH=BE+DH=x+2,再由勾股定理得出方程,求出x=,则CE=4−x=,然后由三角形面积公式即可得出答案.
(1)∵四边形是正方形∴∴∵四边形是正方形∴∴∴在和中∴∴.
(2)由(1)知∴∵∴∴H,D,G三点共线∵四边形是正方形∴在和中,∴∴∵∴
(3)∵四边形是正方形,∴∵H恰中点∴∵∴设,则由(2)知在中,由勾股定理知∴解得, ∴∴.
【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三点共线等知识,本题综合性强,熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解题的关键,属于中考常考题型.
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