安徽省安庆市大观区第四中学2022—2023学年九年级上学期开学考数学试卷（含答案）

这是一份安徽省安庆市大观区第四中学2022—2023学年九年级上学期开学考数学试卷（含答案），共19页。

九年级上开学检测数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题4分）
1．（4分）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．1，，3 B．10，15，20 C．，3，4 D．2，3，4
3．（4分）我们知道正五边形不能进行平面镶嵌，若将三个全等的正五边形按如图所示拼接在一起，那么图中的∠1的度数是（　　）

A．18° B．30° C．36° D．54°
4．（4分）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
5．（4分）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG长为（　　）

A． B．2 C． D．1
6．（4分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边的长分别为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（　　）

A．144 B．49 C．64 D．25
7．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx+ac的图象可能是（　　）
8．（4分）已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则a2+a+3b的值是（　　）
A．7 B．﹣5 C．7 D．﹣2
9．（4分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　）

A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


二．填空题（共4小题，每小题4分）
11．（4分）把函数y＝x2﹣1的图象沿y轴向上平移1个单位长度，可以得到函数　 　的图象．
12．（4分）在二次函数y＝x2+2x﹣3中，当﹣3＜x＜3时y的取值范围为 　 　．
13．（4分）若一元二次方程（m﹣1）x2+4x+3＝0有两个实数根，则m的取值范围是 　 　．
14．（4分）如图，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3，AC＝6，点D是AC上一个动点，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE∥AC，交AB于点E．
（1）当四边形ADFE为菱形时，则∠AED　 　．
（2）当△DEF为直角三角形时，则CD＝　 　．

三．解答题（共5小题）
15．（6分）用配方法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
16．（8分）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．





17．（10分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了4000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%，他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘，现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示．
（1）这20条鱼质量的中位数是 　 　，众数是 　 　．
（2）求这20条鱼质量的平均数；
（3）经了解，近明市场上这种位的售价为每千克20元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

18．（10分）某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品每降低2元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品售价应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？并求最大利润值．








19．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
GD．

（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．

九年级上开学检测数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题4分）
1．（4分）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、＝2，不是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．1，，3 B．10，15，20 C．，3，4 D．2，3，4
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、因为12+（）2≠32，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、因为102+152≠202，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为32+（）2＝42，所以能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（4分）我们知道正五边形不能进行平面镶嵌，若将三个全等的正五边形按如图所示拼接在一起，那么图中的∠1的度数是（　　）

A．18° B．30° C．36° D．54°
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．
【解答】解：正五边形的内角：（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠1＝360°﹣108°×3＝36°，
故选：C．
4．（4分）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
10．（4分）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG长为（　　）

A． B．2 C． D．1
【分析】根据直角三角形的性质得出AB的长，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴AB＝2DE＝2，
∵F、G分别为AC、BC的中点，
∴FG是△ACB的中位线，
∴FG＝AB＝1，
故选：D．

6．（4分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边的长分别为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（　　）

A．144 B．49 C．64 D．25
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．
【解答】解：由题意可得，
小正方形的边长为﹣5＝7，
∴小正方形的周长为7×7＝49，
故选：B．
7．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx+ac的图象可能是（　　）
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c＝b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y＝bx+ac的图象．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象在第一象限有一个公共点，
∴b＞0，
∵交点横坐标为1，
∴a+b+c＝b，
∴a+c＝0，
∴ac＜0，
∴一次函数y＝bx+ac的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
8．（4分）已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则a2+a+3b的值是（　　）
A．7 B．﹣5 C．7 D．﹣2
【分析】根据方程的解的概念和根与系数的关系得出a2＝2a+1，a+b＝2，将a2＝2a+1先后两次代入a2+a+3b变形得出原式＝3（a+b）+1，再将a+b＝2代入计算可得．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴a2﹣2a﹣1＝0，即a2＝2a+1，a+b＝2，
则原式＝（2a+1）+a+3b
＝3（a+b）+1
＝3×2+1
＝7，
故选：A．
9．（4分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　）

A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．
【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；
③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；
④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2；
【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，

∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
二．填空题（共4小题，每小题4分）
11．（4分）把函数y＝x2﹣1的图象沿y轴向上平移1个单位长度，可以得到函数　y＝x2　的图象．
【分析】因为函数y＝x2﹣1的图象沿y轴向上平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数y＝x2．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣1的图象沿y轴向上平移1个单位长度．
∴y＝x2﹣1+1＝x2．
故可以得到函数y＝x2的图象．
12．（4分）在二次函数y＝x2+2x﹣3中，当﹣3＜x＜3时y的取值范围为 　﹣4≤y＜12　．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当﹣3＜x＜3时y的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数图象开口向上，当x＝1有最小值﹣4，
∴当x＝﹣3时，y＝12，当x＝3时，y＝0，
∵﹣3＜x＜3，
∴y的取值范围为﹣4≤y＜12，
故答案为：﹣4≤y＜12
13．（4分）若一元二次方程（m﹣1）x2+4x+3＝0有两个实数根，则m的取值范围是 　m≤且m≠1　．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝42﹣4（m﹣1）×3≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝42﹣4（m﹣1）×3≥0，
解得m≤且m≠1．
故答案为m≤且m≠1．
14．（4分）如图，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3，AC＝6，点D是AC上一个动点，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE∥AC，交AB于点E．
（1）当四边形ADFE为菱形时，则∠AED　60°　．
（2）当△DEF为直角三角形时，则CD＝　3或4.8　．

【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得∠ABC＝90°，利用菱形的性质即可得出答案；
（2）利用分类讨论结合①当∠DFE＝90°时．②当∠FDE＝90°时，③当∠DEF＝90°时，分别分析得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）∵AB＝3，BC＝3．AC＝6，
∴32+（3）2＝36＝62，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝30°，∠A＝60°，
∵四边形ADFE为菱形，
∴∠AEF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AED＝AEF＝60°．
故答案为：60°；
（2）讨论：
①当∠DFE＝90°时．
∵FE∥AC，∠C＝30°，
∴∠EFB＝∠C＝30°，
∴∠DFE＝180°﹣90°﹣30°＝60°≠90°，
∴这种情况不存在，
②当∠FDE＝90°时，如图2，

∵DF⊥BC，∠B＝90°，
∴∠DFC＝∠B＝90°，
∴DF∥AB，
∵EF∥AC，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AE＝DF＝CD，
∵∠DFC＝∠FDE＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝30°，∠AED＝∠B＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝（6﹣CD），
即CD＝（6﹣CD），
解得：CD＝3，
③当∠DEF＝90°时，如图3，

∵EF∥AC，∠C＝30°，
∴∠EFB＝∠C＝30°，
∵∠DFC＝90°，
∴∠DFE＝60°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FDE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠FEB＝60°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠AED＝30°，
∴∠ADE＝90°，∠AED＝∠FDE＝30°，
∴FD∥AE，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AE＝DF＝CD，
在Rt△ADE中，
∠ADE＝90°，∠AED＝30°，
∴AD＝AE，
即6﹣CD＝CD，
解得：t＝4.8．
综上所述，当△FED是直角三角形时，t的值为3或4.8．
故答案为：3或4.8．
三．解答题（共5小题，满分44分）
15．（6分）用配方法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】利用配方法得到（x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝4，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
16．（8分）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用割补法求ABC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）
∴由上两式解得
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝
把x＝代入，得y＝4
则点C坐标为（，4）
设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，
解得
∴AB解析式为：
∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D
将点D代入，解得m＝2
∴点D坐标为，
∴CD＝CE﹣DE＝2

过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝
∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE
∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝
17．（10分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了4000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%，他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘，现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示．
（1）这20条鱼质量的中位数是 　1.45　，众数是 　1.5　．
（2）求这20条鱼质量的平均数；
（3）经了解，近明市场上这种位的售价为每千克20元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解可得；
（2）利用加权平均数的定义求解可得；
（3）用单价乘（2）中所得平均数，再乘存活的数量，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，
∴这20条鱼质量的中位数是＝1.45（kg），众数是1.5kg．
故答案为：1.45，1.5；

（2）＝＝1.45（kg）．
故这20条鱼质量的平均数为1.45kg；

（3）20×1.45×4000×90%＝104400（元）．
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入104400元．
18．（10分）某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品每降低2元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品售价应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？并求最大利润值．
【分析】（1）根据总利润＝单件利润×销量即可列式计算；
（2）①分别表示出销量和单件的利润即可表示出总利润，从而列出方程求解；
②列出二次函数关系式后配方即可确定最大利润值．
【解答】解：（1）原来一天可获利润是：（200﹣160）×100＝4000元；
（2）①，依题意，得（200﹣160﹣x）（100+5x）＝4320
解得：x＝4或x＝16
则每件商品应降价4元或16元；
②y＝（200﹣160﹣x）（100+5x）＝﹣5（x﹣10）2+4500
∴当x＝10时，y有最大值，最大值是4500元，
19．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
GD．

（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．
【分析】（1）根据正方形性质求出A＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根据SAS推出△AGD≌△AEB即可；
（2）根据勾股定理求出DH、EG，求出GH，根据全等得出BE＝DG，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△AGD和△AEB中，
，
∴△AGD≌△AEB（SAS），
∴EB＝GD；

（2）解：作AH⊥DG于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝3．
∴由勾股定理得：EG＝＝6，
AH＝GH＝EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DH＝＝4，
∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．