北京十一晋元中学2022-2023学年上学期九年级数学开学诊断（线上版）试题（含答案）

这是一份北京十一晋元中学2022-2023学年上学期九年级数学开学诊断（线上版）试题（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京十一晋元中学2022-2023学年上学期九年级数学开学诊断试题 （附答案与解析）
一、选择题（共20分，每小题2分）
1．（2分）一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．3，﹣4，﹣5 B．3，﹣4，5 C．3，4，5 D．3，4，﹣5
2．（2分）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0时，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝9 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣9）2＝9 D．（x﹣9）2＝7
3．（2分）已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜10 B．m＝10 C．m＞10 D．m≥10
4．（2分）在▱ABCD中，∠A＝70°，则∠B的度数为（　　）
A．110° B．100° C．70° D．20°
5．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（　　）
A．y＝2x2﹣1 B．y＝2x2+1 C．y＝2（x+1）2 D．y＝2（x﹣1）2
6．（2分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝﹣（x+1）2+5上，则y1，y2，y3的关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（　　）

A．abc＞0 B．a+b+c＜0
C．2a+b＞0 D．当y＜0时，x＞﹣2
8．（2分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝9，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．3 D．4.5
9．（2分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．
10．（2分）如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）

A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
二、填空题（共20分，每小题2分）
11．（2分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是　 　．
12．（2分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，则△AOB的周长是　 　．

13．（2分）已知一次函数y＝﹣x+5，若﹣3＜x＜1，则函数值y的取值范围是 　 　．
14．（2分）已知，关于x的方程kx2+x﹣k+1＝0有两个不相等的整数根，则k的整数值是 　 　．
15．（2分）如图，在一块长为30米，宽为24米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为50平方米，设小路的宽为x米，则可列方程为 　 　．

16．（2分）已知抛物线y＝x2+2x+m（m为常数）与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的两个实数根分别是 　 　．
17．（2分）二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m　 　n（填“＞”或“＜”）．

18．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
1
2
3
4
5
6
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
则当x＝0时，y的值为 　 　．
19．（2分）某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为 　 　米．

20．（2分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为　 　．

三、解答题（共60分，第21题10分，第22、23每题5分，第24题6分，第25-27每题7分，28题6分，29题7分）
21．（10分）解一元二次方程：
（1）x2+5x﹣2＝0；
（2）x2﹣8x﹣84＝0．
22．（5分）已知：k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7的值．
23．（5分）市人民政府为了解决群众看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品，经过连续两次降价后，由每盒200元调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
24．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，E为AD的中点，∠ABD＝90°．
（1）求证：四边形BCDE是菱形；
（2）连接CE，若CE＝6，BC＝5，求四边形ABCD的面积．

25．（7分）已知一次函数y1＝kx+b的图象经过点（﹣1，﹣3）．且与正比例函数y2＝x的图象相交于点（4，a）．
（1）求a的值；
（2）求一次函数y1＝kx+b的表达式；
（3）请你画出这两个函数的图象，并判断当x取何值时，y1＞y2；
（4）求这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积．

26．（7分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数图象的开口方向 　 　，顶点坐标是 　 　，与x轴的交点坐标为 　 　，与y轴的交点坐标为 　 　；
（2）画函数图象；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是 　 　．

27．（7分）小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．
时间x（天）
1≤x＜30
30≤x≤50
售价（元/件）
x+40
70
每天销量（件）
100﹣2x
已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
28．（6分）阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连结EF，设DE＝a，EF＝b，FB＝c，则把关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0叫做正方形ABCD的关联方程，正方形ABCD叫做方程ax2﹣bx+c＝0的关联四边形．
探究方程ax2﹣bx+c＝0是否存在常数根t．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：t＝　 　．
参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若AD＝10，DE＝4，则正方形ABCD的关联方程为 　 　；
（2）正方形ABCD的关联方程是2x2﹣bx+3＝0，则正方形ABCD的面积＝　 　．


29．（7分）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB＝60°，求证：EG＝AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．


北京十一晋元中学2022-2023学年上学期九年级数学开学诊断试题 参考答案与试题解析
一、选择题（共20分，每小题2分）
1．（2分）一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．3，﹣4，﹣5 B．3，﹣4，5 C．3，4，5 D．3，4，﹣5
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣4，﹣5．
故选：A．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．（2分）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0时，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝9 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣9）2＝9 D．（x﹣9）2＝7
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣6x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣6x＝﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣6x+9＝﹣2+9，
配方得（x﹣3）2＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．（2分）已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜10 B．m＝10 C．m＞10 D．m≥10
【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，
∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，
解得m＞10．
故选：C．
【点评】本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）＜0是解此题的关键．
4．（2分）在▱ABCD中，∠A＝70°，则∠B的度数为（　　）
A．110° B．100° C．70° D．20°
【分析】根据平行四边形中相邻两内角互补求解；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝110°，
故选：A．

【点评】利用平行四边形的性质和算术平方根求解．运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
5．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（　　）
A．y＝2x2﹣1 B．y＝2x2+1 C．y＝2（x+1）2 D．y＝2（x﹣1）2
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝2x2向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝2（x+1）2，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．（2分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝﹣（x+1）2+5上，则y1，y2，y3的关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+5，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1）＜2﹣（﹣1），
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（　　）

A．abc＞0 B．a+b+c＜0
C．2a+b＞0 D．当y＜0时，x＞﹣2
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：∵二次函数的开口向上，
∴a＞0，
观察图象，抛物线与y轴的交点在x轴下方，则c＜0，
∵对称轴在y轴的右边，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故A正确，不符合题意；
观察图象，当x＝1时，函数值y＝a+b+c＜0，
故B正确，不符合题意；
∵对称轴在1的右边，
∴﹣＞1，
∴2a+b＞0，
故C正确，不符合题意；
观察图象，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0，
故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
8．（2分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝9，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．3 D．4.5
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长．
【解答】解：∵∠AFB＝90°，D为AB的中点，
∴DF＝AB＝3，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4.5，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
9．（2分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．
【分析】根据题意可知，AC＝2BC，∠B＝90°，所以根据勾股定理可知AC2＝AB2+BC2，即（2BC）2＝32+BC2，从而可求得BC的长．
【解答】解：∵AC＝2BC，∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴（2BC）2＝32+BC2，
∴BC＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
10．（2分）如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）

A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【解答】解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1＝﹣，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：D．

【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
二、填空题（共20分，每小题2分）
11．（2分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是　x1＝0，x2＝2　．
【分析】本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）＝0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．
【解答】解：原方程变形为：x（x﹣2）＝0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
12．（2分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，则△AOB的周长是　8　．

【分析】由题意根据勾股定理求出AC＝BD＝5，即可得到OA＝OB＝2.5，即可得出结果．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝BD＝＝＝5，
∴OA＝OB＝2.5，
∴△AOB的周长＝3+2.5+2.5＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是关键．
13．（2分）已知一次函数y＝﹣x+5，若﹣3＜x＜1，则函数值y的取值范围是 　4＜y＜8　．
【分析】先用y表示出x的值，再根据x的取值范围列出关于y的不等式，求出y的取值范围即可．
【解答】解：由一次函数y＝﹣x+5得，x＝﹣y+5，
∵﹣3＜x＜1，
∴﹣3＜﹣y+5＜1，
∴4＜y＜8．
故答案为：4＜y＜8．
【点评】本题考查了一次函数的性质，根据题意得出关于y的不等式是解答此题的关键．
14．（2分）已知，关于x的方程kx2+x﹣k+1＝0有两个不相等的整数根，则k的整数值是 　﹣1或1　．
【分析】根据方程kx2+x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根得到Δ＞0且k≠0，即Δ＝k2﹣k+1＞0且k≠0，求出k的取值范围，再解方程即可求出k的整数值．
【解答】解：∵关于x的方程kx2+x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k≠0，即Δ＝1﹣4k（﹣k+1）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2＞0且k≠0，
∴k≠且k≠0，
kx2+x﹣k+1＝0，
（kx﹣k+1）（x+1）＝0，
解得x1＝1﹣，x2＝﹣1，
∵关于x的方程kx2+x﹣k+1＝0有两个不相等的整数根，
∴k的整数值为﹣1或1．
故答案为：﹣1或1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根，也考查了一元二次方程的定义．
15．（2分）如图，在一块长为30米，宽为24米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为50平方米，设小路的宽为x米，则可列方程为 　30x+24x﹣x2＝50　．

【分析】由两条小路的重合部分是边长为x米的正方形，可得出小路的占地面积＝矩形空地的长×小路的宽+矩形空地的宽×小路的宽﹣x2，此题得解．
【解答】解：依题意得30x+24x﹣x2＝50，
故答案为：30x+24x﹣x2＝50．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2分）已知抛物线y＝x2+2x+m（m为常数）与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的两个实数根分别是 　x1＝﹣3，x2＝1　．
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2+2x+m的对称轴为直线x＝﹣1，则利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（﹣3，0），即x＝1或x＝﹣3时，y＝0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的两个实数根．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+m的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣3，0），
∴x＝1或x＝﹣3时，y＝0，
∴关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的两个实数根分别是x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
17．（2分）二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m　＞　n（填“＞”或“＜”）．

【分析】根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系即可得出．
【解答】解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，
故m＞n，
故答案为＞．
【点评】本题考查了函数图象，抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系是本题的关键．
18．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
1
2
3
4
5
6
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
则当x＝0时，y的值为 　5　．
【分析】先确定出抛物线的对称轴，然后利用对称性求解即可．
【解答】解：依据表格可知抛物线的对称轴为x＝3，
∴当x＝0时与x＝6时函数值相同，
∴当x＝0时，y＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的对称性求解是解题的关键．
19．（2分）某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为 　15　米．

【分析】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y＝ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x＝5时y的值即可．
【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，

设抛物线表达式为y＝ax2+16，
由题意可知，B的坐标为（20，0）
∴400a+16＝0
∴a＝﹣
∴y＝﹣x2+16，
∴当x＝5时，y＝15．
答：与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米，
故答案为：15．
【点评】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
20．（2分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为　（﹣1，2）　．

【分析】首先求得A、B以及C的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得AC的解析式，AC与二次函数的对称轴的交点就是P．
【解答】解：连接AC．
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x＝﹣3或1．
则A的坐标是（﹣3，0），B的坐标是（1，0），
则对称轴是直线x＝﹣1．
令x＝0，解得y＝3，则C的坐标是（0，3）．
设经过A和C的直线的解析式是y＝kx+b．
根据题意得：，
解得：，
则AC的解析式是y＝x+3，
令x＝﹣1，则y＝2．
则P的坐标是（﹣1，2 ）．
故答案是（﹣1，2）．

【点评】本题考查了二次函数的坐标轴的交点，以及对称的性质，确定P的位置是本题的关键．
三、解答题（共60分，第21题10分，第22、23每题5分，第24题6分，第25-27每题7分，28题6分，29题7分）
21．（10分）解一元二次方程：
（1）x2+5x﹣2＝0；
（2）x2﹣8x﹣84＝0．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2+5x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝5，c＝﹣2，
∴Δ＝（5）2﹣4×1×（﹣2）＝25+8＝33＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
（2）x2﹣8x﹣84＝0，
（x﹣14）（x+6）＝0，
∴x﹣14＝0或x+6＝0，
∴x1＝14，x2＝﹣6．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
22．（5分）已知：k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7的值．
【分析】将一根k代入方程3x2﹣2x﹣1＝0，可得：3k2﹣2k﹣1＝0；再将代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7去括号，整理，问题可求．
【解答】解：∵k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴3k2﹣2k﹣1＝0，
∴3k2﹣2k＝1；
∴（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7，
＝k2﹣2k+1+2（k2﹣1）+7，
＝k2﹣2k+1+2k2﹣2+7，
＝3k2﹣2k+6，
＝1+6，
＝7．
【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程；
解题时，常常将其代入方程，对式子合理变形来解决问题．
23．（5分）市人民政府为了解决群众看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品，经过连续两次降价后，由每盒200元调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
【分析】因为该药品经过连续两次降价后由每盒200元调至128元，所以可设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是200（1﹣x）2，即可列方程求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得200×（1﹣x）2＝128
解得x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去）
答：这种药品平均每次降价率是20%．
【点评】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题，但应注意解的取舍．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
24．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，E为AD的中点，∠ABD＝90°．
（1）求证：四边形BCDE是菱形；
（2）连接CE，若CE＝6，BC＝5，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）根据已知条件得到四边形BCDE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE＝DE，于是得到结论；
（2）连接CE交BD于点O，由菱形的性质得到BD⊥CE于点O，OE＝OC＝CE＝3，根据勾股定理得到BD＝＝＝8，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，E为AD的中点，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）解：如图，连接CE交BD于点O，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BD⊥CE于点O，OE＝OC＝CE＝3，
∵E为AD的中点，
∴OE∥AB，且AB＝2OE＝6，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝2BC＝10，AB＝6，
∴BD＝＝＝8，
∴△ABD的面积S△ABD＝×AB×BD＝×6×8＝24，
△BCD的面积S△BCD＝×BD×OC＝×8×3＝12，
∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD+S△BCD＝36．

【点评】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
25．（7分）已知一次函数y1＝kx+b的图象经过点（﹣1，﹣3）．且与正比例函数y2＝x的图象相交于点（4，a）．
（1）求a的值；
（2）求一次函数y1＝kx+b的表达式；
（3）请你画出这两个函数的图象，并判断当x取何值时，y1＞y2；
（4）求这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积．

【分析】（1）将点（4，a）代入正比例函数y2＝x即可求出a的值；
（2）根据（1）所求，及一次函数y＝kx+b的图象经过两点（﹣1，﹣3）、（4，2），用待定系数法可求出函数关系式；
（3）根据两点确定一直线画出这两个函数的图象，观察函数图象得到当x＞4时，一次函数y1＝kx+b的图象在正比例函数y2＝x的图象的上方，即y1＞y2；
（4）先确定一次函数与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）∵正比例函数y2＝x的图象过点（4，a），
∴a＝×4＝2；

（2）∵一次函数y1＝kx+b的图象经过两点（﹣1，﹣3）、（4，2），
∴，解得，
∴y＝x﹣2．
故所求一次函数的解析式为y1＝x﹣2；

（3）函数图象如图：

由图象可知，当x＞4时，y1＞y2；

（4）一次函数的表达式为：y1＝x﹣2，与x轴交于（2，0），
∵正比例函数y＝x与一次函数y＝x﹣2的交点为（4，2），
∴两个函数图象与x轴所围成的三角形面积为×2×2＝2．
【点评】本题考查了一次函数函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，三角形的面积等知识，都是基础知识，需熟练掌握．
26．（7分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数图象的开口方向 　向上　，顶点坐标是 　（2，﹣1）　，与x轴的交点坐标为 　（1，0），（3，0）　，与y轴的交点坐标为 　（0，3）　；
（2）画函数图象；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是 　﹣1≤y＜3　．

【分析】（1）先把一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质可判断抛物线的开口方向，顶点坐标；然后解方程x2﹣4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，计算自变量为0所对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；
（2）利用描点法画出二次函数的图象；
（3）结合函数图象和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
故答案为：向上；（2，﹣1）；（1，0），（3，0）；（0，3）；
（2）如图，

（3）当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝3，
所以当1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质与图象．
27．（7分）小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．
时间x（天）
1≤x＜30
30≤x≤50
售价（元/件）
x+40
70
每天销量（件）
100﹣2x
已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意可以分别求得1≤x＜50和50≤x≤90时的y与x的函数关系式；
（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）当1≤x＜30时，y＝（100﹣2x）（x+40﹣10）＝﹣2x2+40x+3000，
当30≤x≤50时，y＝（100﹣2x）（70﹣10）＝﹣120x+6000，
综上所述：y与x的函数关系式为y＝；
（2）当1≤x＜30时，
二次函数y＝﹣2x2+40x+3000＝﹣2（x﹣10）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝10时，y最大＝3200，
当30≤x≤50时，
y＝﹣120x+6000中y随x的增大而减小，
∴当x＝30时，y最大＝2800，
综上所述，该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
28．（6分）阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连结EF，设DE＝a，EF＝b，FB＝c，则把关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0叫做正方形ABCD的关联方程，正方形ABCD叫做方程ax2﹣bx+c＝0的关联四边形．
探究方程ax2﹣bx+c＝0是否存在常数根t．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：t＝　1　．
参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若AD＝10，DE＝4，则正方形ABCD的关联方程为 　14x2﹣29x+15＝0　；
（2）正方形ABCD的关联方程是2x2﹣bx+3＝0，则正方形ABCD的面积＝　36　．


【分析】阅读下面材料：
由四边形ABCD是正方形，把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，可证明△GAF≌△EAF（SAS），从而GF＝EF，即BG+BF＝EF，有a+c＝b，即a﹣b+c＝0，故关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0有一个根是x＝1，即t＝1；
（1）在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，可得（10﹣c）2+62＝（c+4）2，从而可解得正方形ABCD的关联方程为4x2﹣x+＝0；
（2）由阅读材料知，正方形ABCD的关联方程2x2﹣bx+3＝0存在常数根x＝1，可得b＝5，即得DE＝2，BF＝3，EF＝5，设正方形ABCD的边长为m，有（m﹣2）2+（m﹣3）2＝52，解得正方形ABCD的边长为6，正方形ABCD的面积为36．
【解答】解：阅读下面材料：
如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴AE＝AG，∠ABG＝∠D＝90°，∠GAB＝∠EAD，DE＝BG＝a，
∴∠AGB+∠ABC＝180°，∠EAD+∠BAE＝90°＝∠GAB+∠BAE，
∴G，B，F共线，∠GAE＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF＝45°，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF＝EF，即BG+BF＝EF，
∵BG＝a，EF＝b，FB＝c，
∴a+c＝b，即a﹣b+c＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0有一个根是x＝1，
∴t＝1，
故答案为：1；
（1）如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝10，
∵DE＝4＝a，
∴CE＝CD﹣DE＝6，
由阅读材料知DE+BF＝EF＝b，FB＝c，
∴EF＝4+c，CF＝BC﹣BF＝10﹣c，
在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
∴（10﹣c）2+62＝（c+4）2，
解得c＝，
∴b＝EF＝4+c＝，
而a＝4，
∴正方形ABCD的关联方程为4x2﹣x+＝0，
化简整理得14x2﹣29x+15＝0，
故答案为：14x2﹣29x+15＝0；
（2）如图：

由阅读材料知，正方形ABCD的关联方程2x2﹣bx+3＝0存在常数根x＝1，
∴2×12﹣b+3＝0，
解得b＝5，
∴正方形ABCD的关联方程是2x2﹣5x+3＝0，
∴DE＝2，BF＝3，EF＝5，
设正方形ABCD的边长为m，
在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
∴（m﹣2）2+（m﹣3）2＝52，
解得m＝6，
∴正方形ABCD的边长为6，
∴正方形ABCD的面积为36，
故答案为：36．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，一元二次方程，新定义等知识，解题的关键是证明△GAF≌△EAF．
29．（7分）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB＝60°，求证：EG＝AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）首先作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB＝60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论；
（2）首先作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH是等腰直角三角形，则可求得答案．
【解答】（1）证明：如图①，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB＝∠HAE．
∵∠EAB＝∠EGB，∠APE＝∠BPG，
∴∠ABG＝∠AEH．
在△ABG和△AEH中，
，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG＝EH，AG＝AH．
∵∠GAH＝∠EAB＝60°，
∴△AGH是等边三角形．
∴AG＝HG．
∴EG＝AG+BG；

（2）EG＝AG﹣BG．
如图②，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB＝∠HAE．
∵∠EGB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABG+∠AEG＝∠AEG+∠AEH＝180°．
∴∠ABG＝∠AEH．
∵又AB＝AE，
∴△ABG≌△AEH．
∴BG＝EH，AG＝AH．
∵∠GAH＝∠EAB＝90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴AG＝HG．
∴EG＝AG﹣BG．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．