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北京市中国人民大学附属中学2022—2023学年上学期九年级开学数学试卷（含答案）
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这是一份北京市中国人民大学附属中学2022—2023学年上学期九年级开学数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市人大附中九年级（上）开学数学试卷
（附答案与解析）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）把一次函数的图像y＝3x+1向上平移4个单位长度，得到图象表达式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x+4 C．y＝3x﹣4 D．y＝3x﹣5
2．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝35°，那么∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．70° D．110°
3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
5．（3分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点都在二次函数y＝2（x+1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
6．（3分）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
7．（3分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得（ ）
A．234（1+x）2＝345 B．234（1﹣2x）＝345
C．234（1+2x）＝345 D．234（1﹣x）2＝345
8．（3分）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝38°，则∠BFC的度数为（ ）
A．71° B．72° C．81° D．82°
二、填空题（本题共18分，每小题2分）
9．（2分）正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝ ．
10．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝80°，则∠B＝ ．
11．（2分）写出一个对称轴为y轴，且过（0，﹣2）的二次函数的解析式 ．
12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8，CD＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为 ．
13．（2分）一次函数y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是 ．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
15．（2分）如图，正方形ABCD在第一象限内，点 A、B坐标分别为（1，1），（3，1），若直线y＝2x+b把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是 ．
16．（2分）如图，线段AD为△ABC的中线，点P为线段AB上的动点（不与点A，B重合），PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝AC＝5，BC＝8，则EF的最小值为 ．
17．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①a＜0； ②； ③若点C（﹣1，y1），D（2，y2），E（4，y3）均在二次函数图像上，则y3＜y1＜y2； ④c+8a＜0．其中一定正确的结论的序号是 ．
三、解答题（本题共58分，第18-19题，每小题4分，第20-25题，每小题4分，第26题6分，第27-28题，每小题4分）
18．（4分）计算：．
19．（4分）解方程：x2+4x﹣2＝0．
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．
21．（5分）已知点A（a，2）为二次函数y＝x2﹣2x﹣4图像上的点，求代数式3a（a﹣2）+（a﹣1）2的值．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．
23．（5分）已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．
（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．
24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，4）在直线l1：y＝2x上，过点A的直线l2与x轴交于点B（﹣6，0）．与y轴交于点 C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）已知点P的坐标为（0，n），过点P的作y轴的垂线与l1，l2分别交于点 D、E（点D和点E不重合），当DE＝OC时，则n的值是 ．
25．（5分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，CE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）与y轴交于点 A．
（1）求点A的坐标以及抛物线的对称轴；
（2）抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2．
①当BC＝4时，求抛物线的表达式；
②当3x1+5x2≤12时，请直接写出a的取值范围．
27．（7分）如图1，点E为正方形ABCD边AB上的一点，连接EC，点F是线段EC上的一个动点（不与点E，C重合），直线DF交直线BC于点G．
（1）如图1，当DG⊥EC时，用等式表示BE，GC之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当CF＝CD时，
①补全图形；
②用等式表示BE，EC，CG之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
已知M（a，b），P（c，d），点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
（1）①若M（1，3），P（2，4），则点Q的坐标为 ；
②若c＝2，点Q的横坐标为m，则m的值为 （用含a的代数式表示）．
（2）已知M（1，1），点P在直线l：y＝2x上．
①当点Q在y轴上时，点P的坐标为 ；
②当点Q在第一象限时，c的取值范围是 ．
（3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为（4，4），点P（c，d）为正方形ABCD上的动点．
①当a＝b＝0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是 ；
②当点M（a，b）在直线l：y＝2x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则a的取值范围是 ．
2022-2023学年北京市人大附中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）把一次函数的图像y＝3x+1向上平移4个单位长度，得到图象表达式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x+4 C．y＝3x﹣4 D．y＝3x﹣5
【分析】根据一次函数”上加下减“的性质分析即可．
【解答】解：根据题意得，一次函数的图象平移后的解析式为：
y＝3x+1+4，
即y＝3x+5．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数”上加下减“的性质是解题的关键．
2．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝35°，那么∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．70° D．110°
【分析】根据矩形的性质证得OA＝OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵∠ADB＝35°，
∴∠OAD＝∠ODA＝35°，
∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，函数有最小值2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．
4．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：D．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．（3分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点都在二次函数y＝2（x+1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：∵y＝2（x+1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1），
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
6．（3分）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【分析】连接AC，根据正方形ABCD的面积为8，求得AC＝4，根据菱形的面积，即可得到结论．
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AC＝4，
∵菱形AECF的面积为4，
∴EF＝＝2，
故选：C．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．
7．（3分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得（ ）
A．234（1+x）2＝345 B．234（1﹣2x）＝345
C．234（1+2x）＝345 D．234（1﹣x）2＝345
【分析】根据该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可．
【解答】解：根据题意，得234（1+x）2＝345，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
8．（3分）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝38°，则∠BFC的度数为（ ）
A．71° B．72° C．81° D．82°
【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，再根据已知条件可知AD＝ED，可得∠DAE，再证明△ADF≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质即可求出∠DCF，进而解答即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵∠CDE＝38°，
∴∠ADE＝90°+40°＝128°，
∵ED＝CD，
∴AD＝ED，
∴∠DAE＝（180°﹣128°）÷2＝26°，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DCF＝∠DAF＝26°，
∴∠BCF＝90°﹣26°＝64°，
∴∠BFC＝180°﹣45°﹣64°＝71°，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，三角形的内角和，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
二、填空题（本题共18分，每小题2分）
9．（2分）正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝ 3 ．
【分析】把点的坐标代入函数解析式，求解即可得到k的值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx经过点（1，3），
∴k＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点的坐标代入解析式，利用方程求解即可．
10．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝80°，则∠B＝ 100° ．
【分析】在平行四边形ABCD中，因为∠A和∠B是一组相邻的内角，由平行四边形的性质可知，∠A+∠B＝180°，代值求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠A
＝180°﹣80°＝100°．
故答案为100°．
【点评】本题利用了平行四边形中邻角互补的性质．运用平行四边形的性质可解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．
11．（2分）写出一个对称轴为y轴，且过（0，﹣2）的二次函数的解析式 y＝x2﹣2 ．
【分析】二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据对称轴为y轴得b＝0，根据与y轴的交点坐标为（0，﹣2）得出c＝﹣2，写出一个符合的二次函数即可．
【解答】解：答案不唯一，如：y＝x2﹣2，
故答案为：y＝x2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键．
12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8，CD＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为 3 ．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BC＝8，CD＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE＝∠AEB．
13．（2分）一次函数y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是 2 ．
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征解决此题．
【解答】解：如图．
当x＝0，则y＝0+2＝2，此时B（0，2）．
当y＝0，则x＝﹣2，此时A（﹣2，0）．
∴OA＝2，OB＝2．
∴．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解决本题的关键．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
15．（2分）如图，正方形ABCD在第一象限内，点 A、B坐标分别为（1，1），（3，1），若直线y＝2x+b把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是 ﹣2 ．
【分析】连接AC，BD交于点K．求出点K的坐标，再利用待定系数法求出b的值．
【解答】解：连接AC，BD交于点K．
∵A（1，1），B（3，1），
∴AB＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴C（3，3），
∵AK＝KC，
∴K（2，2），
当直线y＝2x+b经过点K时，
2＝4+b，
∴b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查中心对称，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是求出点K的坐标，属于中考常考题型．
16．（2分）如图，线段AD为△ABC的中线，点P为线段AB上的动点（不与点A，B重合），PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝AC＝5，BC＝8，则EF的最小值为 ．
【分析】如图，连接EF．PD．证明四边形DEPF是矩形，推出EF＝DP，当DP⊥AB时，EF的值最小．
【解答】解：如图，连接EF．PD．
∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD是中线，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝4，
∴AD＝＝＝3，
∵PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，
∴∠PED＝∠PFD＝∠EDF＝90°，
∴四边形DEPF是矩形，
∴EF＝PD，
∵当DP⊥AB时，DP的值最小，即EF的值最小，
此时•AB•DP＝•AD•DB，
∴DP＝，
∴EF使得最小值为．
【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①a＜0； ②； ③若点C（﹣1，y1），D（2，y2），E（4，y3）均在二次函数图像上，则y3＜y1＜y2； ④c+8a＜0．其中一定正确的结论的序号是 ①②④ ．
【分析】根据与坐标轴的交点判断出①a＜0，根据图象与x轴交于两点判断②，根据对称轴和开口方向即可判断③，根据图象过点．
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（m，0），与y轴交于正半轴，
∴a＜0，故①正确；
∵图象与x轴交于两点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，
∴，故②正确；
∵图象与x轴交于A（﹣2，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，
∴0＜﹣＜1，
∴y1与y2的大小不能判断，故③错误；
∵抛物线与x轴的交点有一个为（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，
∴4b＝8a+2c，
∵当x＝4时，y＜0，
∴14a+4b+c＜0，
∴14a+8a+2c+c＜0，
∴c+8a＜0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题的关键，结论④的判断有点难度，先根据与x轴的交点坐标求出4b＝8a+2c是关键．
三、解答题（本题共58分，第18-19题，每小题4分，第20-25题，每小题4分，第26题6分，第27-28题，每小题4分）
18．（4分）计算：．
【分析】先化简绝对值和二次根式，再加减．
【解答】解：
＝2+3﹣+3
＝5+2．
【点评】本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键．
19．（4分）解方程：x2+4x﹣2＝0．
【分析】先移项，得x2+4x＝2，再在两边同时加上22，再利用平方法即可解出原方程．
【解答】解：移项，得x2+4x＝2，
两边同加上22，得x2+4x+22＝2+22，
即（x+2）2＝6，
利用开平方法，得或，
∴原方程的根是，．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，难度适中．
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．
【分析】证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，DE＝BC，再证明DE＝CF，即可得出结论．
【解答】证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形DCFE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
21．（5分）已知点A（a，2）为二次函数y＝x2﹣2x﹣4图像上的点，求代数式3a（a﹣2）+（a﹣1）2的值．
【分析】将点A坐标代入解析式，化简代数式3a（a﹣2）+（a﹣1）2通过整体思想求解．
【解答】解：将（a，2）代入y＝x2﹣2x﹣4得2＝a2﹣2a﹣4，
整理得a2﹣2a＝6，
∴3a（a﹣2）+（a﹣1）2
＝3a2﹣6a+a2﹣2a+1
＝4a2﹣8a+1
＝4（a2﹣2a）+1
＝4×6+1
＝25．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过整体思想求解．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．
【分析】根据抛物线对称轴为x＝1，经过点A（3，0），列方程组即可解得b，c的值，从而得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．
【点评】本题考查二次函数解析式和二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．
23．（5分）已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．
（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝（k+2）2，然后根据非负数的性质得到Δ≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求得kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）的解为x1＝，x2＝﹣1，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．
【解答】（1）证明：Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）
＝（k+2）2，
∵（k﹣1）2≥0，
∴Δ≥0，
∴不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）解：kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0），
（kx﹣2）（x+1）＝0，
解得x1＝，x2＝﹣1，
因为该方程的两根均整数，
所以为整数，
所以整数k为±1或±2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，4）在直线l1：y＝2x上，过点A的直线l2与x轴交于点B（﹣6，0）．与y轴交于点 C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）已知点P的坐标为（0，n），过点P的作y轴的垂线与l1，l2分别交于点 D、E（点D和点E不重合），当DE＝OC时，则n的值是 2或6 ．
【分析】（1）先求出点A坐标，然后待定系数法求解析式即可；
（2）根据点P坐标，表示出点D和点E坐标，再根据DE＝OC列方程|2n﹣6﹣|＝3，求解即可．
【解答】解：（1）将点A（a，4）代入直线l1：y＝2x，
得2a＝4，
解得a＝2，
∴点A（2，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（2，4），B（﹣6，0）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线l2解析式为y＝；
（2）当x＝0时，y＝＝3，
∴点C坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点P的坐标为（0，n），
根据题意，点D和点E的纵坐标都为n，
将D点纵坐标代入直线l1：y＝2x，
得2x＝n，解得x＝，
∴点D坐标为（，n），
将E点纵坐标代入直线l2：y＝，
得，
解得x＝2n﹣6，
∴点E坐标为（2n﹣6，n），
∴DE＝|2n﹣6﹣|，
∵DE＝OC，
∴|2n﹣6﹣|＝3，
解得n＝2或n＝6，
故答案为：2或6．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及一次函数的交点问题，待定系数法求解析式等，求n的值时注意分情况讨论是关键．
25．（5分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，CE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．
【分析】（1）两条全等三角形的性质证明AD＝BC，推出四边形ABCD是平行四边形，可得结论；
（2）延长BA交ED的延长线于点T，连接CT，PT，过点T作TH⊥BE于点H，利用面积法求出TH，再利用勾股定理求出CT，由PC+PE＝PT+PC≥CT，可得结论．
【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BO平分∠ABC，
∴AO＝OC，
∵AD∥CB，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：延长BA交ED的延长线于点T，连接CT，PT，过点T作TH⊥BE于点H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，
∴OD＝OB＝＝＝2，
∵AC∥ET，BO＝OD，
'∴BA＝AT，BC＝CT，
∴BE＝BT＝10，DT＝DE＝2，
∴TE＝4，
∵TH⊥BE，
∴S△BET＝×BE×TH＝×ET×BD，
∴TH＝＝8，
∴EH＝＝＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝1，
∴CT＝＝＝，
∵BD⊥TE，DT＝DE，
∴PE＝PT，
∴PC+PE＝PT+PC≥CT＝，
∴PC+PE的最小值为．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）与y轴交于点 A．
（1）求点A的坐标以及抛物线的对称轴；
（2）抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2．
①当BC＝4时，求抛物线的表达式；
②当3x1+5x2≤12时，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）令x＝0，可得y＝3，可得A（0，3），根据对称轴为直线x＝﹣，求解即可；
（2）①利用根与系数的关系，构建方程求解；
②利用求根公式，求出方程的解，分两种情形，构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（0，3）；
对称轴为直线x＝﹣＝1；
（2）①∵抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），
∴ax2﹣2ax+3＝2，
整理得：ax2﹣2ax+1＝0，
∴x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝，
∵BC＝x2﹣x1＝4，
∴（x2﹣x1）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝16，
∴22﹣4×＝16，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
②∵抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），
∴ax2﹣2ax+3＝2，
整理得：ax2﹣2ax+1＝0，
∴x＝＝1±，
当a＞0时，x1＝1﹣，x2＝1+，
∵3x1+5x2≤12，
∴3﹣3×+5+5×≤12，
化简得，≤2a，
∴3a2+a≥0且a2﹣a＞0，
∴a＞1．
当a＜0时，x1＝1+，x2＝1﹣，
∵3x1+5x2≤12，
∴3+3×+5﹣5×≤12，
∴≤﹣2a，
∴a2﹣a≤4a2，
∴3a2+a≥0，
∴a（3a+1）≥0，
∵a＜0，
∴3a+1＜0，
∴a＜﹣，
综上所述，a＞1或a＜﹣．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的性质，二次函数与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题．
27．（7分）如图1，点E为正方形ABCD边AB上的一点，连接EC，点F是线段EC上的一个动点（不与点E，C重合），直线DF交直线BC于点G．
（1）如图1，当DG⊥EC时，用等式表示BE，GC之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当CF＝CD时，
①补全图形；
②用等式表示BE，EC，CG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）结论：BE＝CG．证明△CBE≌△DCG（ASA），可得结论；
（2）①根据要求作出图形即可；
②结论：BE+CE＝CG．如图2中，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则△CBE≌△DCT，证明TG＝TD＝CE，BE＝CT，可得结论．
【解答】解：（1）结论：BE＝CG．
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠CBE＝∠DCG＝90°，
∵DG⊥CE，
∴∠ECB+∠CGD＝90°，∠CGD+∠CDG＝90°，
∴∠BCE＝∠CDG，
在△CBE和△DCG中，
，
∴△CBE≌△DCG（ASA），
∴BE＝CG；
（2）①图形如图2所示：
②结论：BE+CE＝CG．
理由：如图2中，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则△CBE≌△DCT，
∴CE＝DT，BE＝CT，
∵CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∴∠G+∠FCG＝∠CDT+∠FDT，
∵∠FCG＝∠CDT，
∴∠G＝∠TDG，
∴GT＝DT＝EC，
∴CG＝GT+CT＝CE+BE，
即BE+CE＝CG．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
已知M（a，b），P（c，d），点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
（1）①若M（1，3），P（2，4），则点Q的坐标为 （2，5） ；
②若c＝2，点Q的横坐标为m，则m的值为 a+1 （用含a的代数式表示）．
（2）已知M（1，1），点P在直线l：y＝2x上．
①当点Q在y轴上时，点P的坐标为 （﹣2，﹣4） ；
②当点Q在第一象限时，c的取值范围是 c＞﹣1 ．
（3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为（4，4），点P（c，d）为正方形ABCD上的动点．
①当a＝b＝0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是 1 ；
②当点M（a，b）在直线l：y＝2x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则a的取值范围是 ≤a≤ ．
【分析】（1）①由定义可求P'（3，7），再由中点坐标公式求出Q（2，5）即可；
②根据P'的横坐标可建立方程2+a＝2m﹣a，从而可求m；
（2）①求出P'（c+1，2c+1），Q（，c+1），由题意可得＝0，求出即可求解；
②由①可得＞0，c+1＞0，即可求c的范围；
（3）①求出P'（c，d），Q（，），由此可知Q点形成的正方形边长为1，则点Q形成的图形的面积是1；
②由题意可知M（a，2a），则P'（c+a，d+2a），Q（a+，2a+），再由3≤c≤5，3≤d≤5，当a+＝3时，可得3≤6﹣2a≤5，则≤a时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；当2a+＝5时，可得3≤10﹣4a≤5，则≤a≤时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，即可求a的范围．
【解答】解：（1）①P（2，4）向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到P'（3，7），
∴P'与M的中点Q（2，5），
故答案为：（2，5）；
②∵c＝2，
∴P（2，d），
∵点Q的横坐标为m，
∴P'的横坐标为2m﹣a，
∵M（a，b），
∴P'的横坐标为2+a，
∴2m﹣a＝2+a，
∴m＝a+1，
故答案为：a+1；
（2）①∵点P在直线l：y＝2x上，
∴P'（c+1，2c+1），
∴Q（，c+1），
∵点Q在y轴上，
∴＝0，
∴c＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）；
②∵点Q在第一象限，
∴＞0，c+1＞0，
∴c＞﹣1；
（3）①当a＝b＝0时，M（0，0），
∵P（c，d），
∴P'（c，d），
∴Q（，），
∵P点在正方形ABCD上，
∴Q点的运动形成的图形也是正方形
∵正方形ABCD的边长为2，
∴Q点形成的正方形边长为1，
∴点Q形成的图形的面积是1；
②∵点M（a，b）在直线l：y＝2x上，
∴M（a，2a），
∵点P（c，d），
∴P'（c+a，d+2a），
∴Q（a+，2a+），
∵正方形的中心是（4，4），边长为2，
∴3≤c≤5，3≤d≤5，
当a+＝3时，c＝6﹣2a，
∴3≤6﹣2a≤5，
∴≤a时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
当2a+＝5时，d＝10﹣4a，
∴3≤10﹣4a≤5，
∴≤a≤时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
综上所述：≤a≤时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，灵活应用中点坐标公式，数形结合解题是关键．
2022-2023学年北京市人大附中九年级（上）开学数学试卷
（附答案与解析）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）把一次函数的图像y＝3x+1向上平移4个单位长度，得到图象表达式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x+4 C．y＝3x﹣4 D．y＝3x﹣5
2．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝35°，那么∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．70° D．110°
3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
5．（3分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点都在二次函数y＝2（x+1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
6．（3分）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
7．（3分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得（ ）
A．234（1+x）2＝345 B．234（1﹣2x）＝345
C．234（1+2x）＝345 D．234（1﹣x）2＝345
8．（3分）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝38°，则∠BFC的度数为（ ）
A．71° B．72° C．81° D．82°
二、填空题（本题共18分，每小题2分）
9．（2分）正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝ ．
10．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝80°，则∠B＝ ．
11．（2分）写出一个对称轴为y轴，且过（0，﹣2）的二次函数的解析式 ．
12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8，CD＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为 ．
13．（2分）一次函数y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是 ．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
15．（2分）如图，正方形ABCD在第一象限内，点 A、B坐标分别为（1，1），（3，1），若直线y＝2x+b把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是 ．
16．（2分）如图，线段AD为△ABC的中线，点P为线段AB上的动点（不与点A，B重合），PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝AC＝5，BC＝8，则EF的最小值为 ．
17．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①a＜0； ②； ③若点C（﹣1，y1），D（2，y2），E（4，y3）均在二次函数图像上，则y3＜y1＜y2； ④c+8a＜0．其中一定正确的结论的序号是 ．
三、解答题（本题共58分，第18-19题，每小题4分，第20-25题，每小题4分，第26题6分，第27-28题，每小题4分）
18．（4分）计算：．
19．（4分）解方程：x2+4x﹣2＝0．
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．
21．（5分）已知点A（a，2）为二次函数y＝x2﹣2x﹣4图像上的点，求代数式3a（a﹣2）+（a﹣1）2的值．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．
23．（5分）已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．
（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．
24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，4）在直线l1：y＝2x上，过点A的直线l2与x轴交于点B（﹣6，0）．与y轴交于点 C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）已知点P的坐标为（0，n），过点P的作y轴的垂线与l1，l2分别交于点 D、E（点D和点E不重合），当DE＝OC时，则n的值是 ．
25．（5分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，CE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）与y轴交于点 A．
（1）求点A的坐标以及抛物线的对称轴；
（2）抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2．
①当BC＝4时，求抛物线的表达式；
②当3x1+5x2≤12时，请直接写出a的取值范围．
27．（7分）如图1，点E为正方形ABCD边AB上的一点，连接EC，点F是线段EC上的一个动点（不与点E，C重合），直线DF交直线BC于点G．
（1）如图1，当DG⊥EC时，用等式表示BE，GC之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当CF＝CD时，
①补全图形；
②用等式表示BE，EC，CG之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
已知M（a，b），P（c，d），点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
（1）①若M（1，3），P（2，4），则点Q的坐标为 ；
②若c＝2，点Q的横坐标为m，则m的值为 （用含a的代数式表示）．
（2）已知M（1，1），点P在直线l：y＝2x上．
①当点Q在y轴上时，点P的坐标为 ；
②当点Q在第一象限时，c的取值范围是 ．
（3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为（4，4），点P（c，d）为正方形ABCD上的动点．
①当a＝b＝0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是 ；
②当点M（a，b）在直线l：y＝2x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则a的取值范围是 ．
2022-2023学年北京市人大附中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）把一次函数的图像y＝3x+1向上平移4个单位长度，得到图象表达式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x+4 C．y＝3x﹣4 D．y＝3x﹣5
【分析】根据一次函数”上加下减“的性质分析即可．
【解答】解：根据题意得，一次函数的图象平移后的解析式为：
y＝3x+1+4，
即y＝3x+5．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数”上加下减“的性质是解题的关键．
2．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝35°，那么∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．70° D．110°
【分析】根据矩形的性质证得OA＝OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵∠ADB＝35°，
∴∠OAD＝∠ODA＝35°，
∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，函数有最小值2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．
4．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：D．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．（3分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点都在二次函数y＝2（x+1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：∵y＝2（x+1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1），
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
6．（3分）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【分析】连接AC，根据正方形ABCD的面积为8，求得AC＝4，根据菱形的面积，即可得到结论．
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AC＝4，
∵菱形AECF的面积为4，
∴EF＝＝2，
故选：C．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．
7．（3分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得（ ）
A．234（1+x）2＝345 B．234（1﹣2x）＝345
C．234（1+2x）＝345 D．234（1﹣x）2＝345
【分析】根据该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可．
【解答】解：根据题意，得234（1+x）2＝345，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
8．（3分）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝38°，则∠BFC的度数为（ ）
A．71° B．72° C．81° D．82°
【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，再根据已知条件可知AD＝ED，可得∠DAE，再证明△ADF≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质即可求出∠DCF，进而解答即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵∠CDE＝38°，
∴∠ADE＝90°+40°＝128°，
∵ED＝CD，
∴AD＝ED，
∴∠DAE＝（180°﹣128°）÷2＝26°，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DCF＝∠DAF＝26°，
∴∠BCF＝90°﹣26°＝64°，
∴∠BFC＝180°﹣45°﹣64°＝71°，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，三角形的内角和，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
二、填空题（本题共18分，每小题2分）
9．（2分）正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝ 3 ．
【分析】把点的坐标代入函数解析式，求解即可得到k的值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx经过点（1，3），
∴k＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点的坐标代入解析式，利用方程求解即可．
10．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝80°，则∠B＝ 100° ．
【分析】在平行四边形ABCD中，因为∠A和∠B是一组相邻的内角，由平行四边形的性质可知，∠A+∠B＝180°，代值求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠A
＝180°﹣80°＝100°．
故答案为100°．
【点评】本题利用了平行四边形中邻角互补的性质．运用平行四边形的性质可解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．
11．（2分）写出一个对称轴为y轴，且过（0，﹣2）的二次函数的解析式 y＝x2﹣2 ．
【分析】二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据对称轴为y轴得b＝0，根据与y轴的交点坐标为（0，﹣2）得出c＝﹣2，写出一个符合的二次函数即可．
【解答】解：答案不唯一，如：y＝x2﹣2，
故答案为：y＝x2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键．
12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8，CD＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为 3 ．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BC＝8，CD＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE＝∠AEB．
13．（2分）一次函数y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是 2 ．
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征解决此题．
【解答】解：如图．
当x＝0，则y＝0+2＝2，此时B（0，2）．
当y＝0，则x＝﹣2，此时A（﹣2，0）．
∴OA＝2，OB＝2．
∴．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解决本题的关键．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
15．（2分）如图，正方形ABCD在第一象限内，点 A、B坐标分别为（1，1），（3，1），若直线y＝2x+b把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是 ﹣2 ．
【分析】连接AC，BD交于点K．求出点K的坐标，再利用待定系数法求出b的值．
【解答】解：连接AC，BD交于点K．
∵A（1，1），B（3，1），
∴AB＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴C（3，3），
∵AK＝KC，
∴K（2，2），
当直线y＝2x+b经过点K时，
2＝4+b，
∴b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查中心对称，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是求出点K的坐标，属于中考常考题型．
16．（2分）如图，线段AD为△ABC的中线，点P为线段AB上的动点（不与点A，B重合），PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝AC＝5，BC＝8，则EF的最小值为 ．
【分析】如图，连接EF．PD．证明四边形DEPF是矩形，推出EF＝DP，当DP⊥AB时，EF的值最小．
【解答】解：如图，连接EF．PD．
∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD是中线，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝4，
∴AD＝＝＝3，
∵PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，
∴∠PED＝∠PFD＝∠EDF＝90°，
∴四边形DEPF是矩形，
∴EF＝PD，
∵当DP⊥AB时，DP的值最小，即EF的值最小，
此时•AB•DP＝•AD•DB，
∴DP＝，
∴EF使得最小值为．
【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①a＜0； ②； ③若点C（﹣1，y1），D（2，y2），E（4，y3）均在二次函数图像上，则y3＜y1＜y2； ④c+8a＜0．其中一定正确的结论的序号是 ①②④ ．
【分析】根据与坐标轴的交点判断出①a＜0，根据图象与x轴交于两点判断②，根据对称轴和开口方向即可判断③，根据图象过点．
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（m，0），与y轴交于正半轴，
∴a＜0，故①正确；
∵图象与x轴交于两点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，
∴，故②正确；
∵图象与x轴交于A（﹣2，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，
∴0＜﹣＜1，
∴y1与y2的大小不能判断，故③错误；
∵抛物线与x轴的交点有一个为（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，
∴4b＝8a+2c，
∵当x＝4时，y＜0，
∴14a+4b+c＜0，
∴14a+8a+2c+c＜0，
∴c+8a＜0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题的关键，结论④的判断有点难度，先根据与x轴的交点坐标求出4b＝8a+2c是关键．
三、解答题（本题共58分，第18-19题，每小题4分，第20-25题，每小题4分，第26题6分，第27-28题，每小题4分）
18．（4分）计算：．
【分析】先化简绝对值和二次根式，再加减．
【解答】解：
＝2+3﹣+3
＝5+2．
【点评】本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键．
19．（4分）解方程：x2+4x﹣2＝0．
【分析】先移项，得x2+4x＝2，再在两边同时加上22，再利用平方法即可解出原方程．
【解答】解：移项，得x2+4x＝2，
两边同加上22，得x2+4x+22＝2+22，
即（x+2）2＝6，
利用开平方法，得或，
∴原方程的根是，．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，难度适中．
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．
【分析】证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，DE＝BC，再证明DE＝CF，即可得出结论．
【解答】证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形DCFE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
21．（5分）已知点A（a，2）为二次函数y＝x2﹣2x﹣4图像上的点，求代数式3a（a﹣2）+（a﹣1）2的值．
【分析】将点A坐标代入解析式，化简代数式3a（a﹣2）+（a﹣1）2通过整体思想求解．
【解答】解：将（a，2）代入y＝x2﹣2x﹣4得2＝a2﹣2a﹣4，
整理得a2﹣2a＝6，
∴3a（a﹣2）+（a﹣1）2
＝3a2﹣6a+a2﹣2a+1
＝4a2﹣8a+1
＝4（a2﹣2a）+1
＝4×6+1
＝25．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过整体思想求解．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．
【分析】根据抛物线对称轴为x＝1，经过点A（3，0），列方程组即可解得b，c的值，从而得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．
【点评】本题考查二次函数解析式和二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．
23．（5分）已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．
（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝（k+2）2，然后根据非负数的性质得到Δ≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求得kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）的解为x1＝，x2＝﹣1，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．
【解答】（1）证明：Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）
＝（k+2）2，
∵（k﹣1）2≥0，
∴Δ≥0，
∴不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）解：kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0），
（kx﹣2）（x+1）＝0，
解得x1＝，x2＝﹣1，
因为该方程的两根均整数，
所以为整数，
所以整数k为±1或±2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，4）在直线l1：y＝2x上，过点A的直线l2与x轴交于点B（﹣6，0）．与y轴交于点 C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）已知点P的坐标为（0，n），过点P的作y轴的垂线与l1，l2分别交于点 D、E（点D和点E不重合），当DE＝OC时，则n的值是 2或6 ．
【分析】（1）先求出点A坐标，然后待定系数法求解析式即可；
（2）根据点P坐标，表示出点D和点E坐标，再根据DE＝OC列方程|2n﹣6﹣|＝3，求解即可．
【解答】解：（1）将点A（a，4）代入直线l1：y＝2x，
得2a＝4，
解得a＝2，
∴点A（2，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（2，4），B（﹣6，0）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线l2解析式为y＝；
（2）当x＝0时，y＝＝3，
∴点C坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点P的坐标为（0，n），
根据题意，点D和点E的纵坐标都为n，
将D点纵坐标代入直线l1：y＝2x，
得2x＝n，解得x＝，
∴点D坐标为（，n），
将E点纵坐标代入直线l2：y＝，
得，
解得x＝2n﹣6，
∴点E坐标为（2n﹣6，n），
∴DE＝|2n﹣6﹣|，
∵DE＝OC，
∴|2n﹣6﹣|＝3，
解得n＝2或n＝6，
故答案为：2或6．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及一次函数的交点问题，待定系数法求解析式等，求n的值时注意分情况讨论是关键．
25．（5分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，CE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．
【分析】（1）两条全等三角形的性质证明AD＝BC，推出四边形ABCD是平行四边形，可得结论；
（2）延长BA交ED的延长线于点T，连接CT，PT，过点T作TH⊥BE于点H，利用面积法求出TH，再利用勾股定理求出CT，由PC+PE＝PT+PC≥CT，可得结论．
【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BO平分∠ABC，
∴AO＝OC，
∵AD∥CB，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：延长BA交ED的延长线于点T，连接CT，PT，过点T作TH⊥BE于点H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，
∴OD＝OB＝＝＝2，
∵AC∥ET，BO＝OD，
'∴BA＝AT，BC＝CT，
∴BE＝BT＝10，DT＝DE＝2，
∴TE＝4，
∵TH⊥BE，
∴S△BET＝×BE×TH＝×ET×BD，
∴TH＝＝8，
∴EH＝＝＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝1，
∴CT＝＝＝，
∵BD⊥TE，DT＝DE，
∴PE＝PT，
∴PC+PE＝PT+PC≥CT＝，
∴PC+PE的最小值为．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）与y轴交于点 A．
（1）求点A的坐标以及抛物线的对称轴；
（2）抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2．
①当BC＝4时，求抛物线的表达式；
②当3x1+5x2≤12时，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）令x＝0，可得y＝3，可得A（0，3），根据对称轴为直线x＝﹣，求解即可；
（2）①利用根与系数的关系，构建方程求解；
②利用求根公式，求出方程的解，分两种情形，构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（0，3）；
对称轴为直线x＝﹣＝1；
（2）①∵抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），
∴ax2﹣2ax+3＝2，
整理得：ax2﹣2ax+1＝0，
∴x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝，
∵BC＝x2﹣x1＝4，
∴（x2﹣x1）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝16，
∴22﹣4×＝16，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
②∵抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），
∴ax2﹣2ax+3＝2，
整理得：ax2﹣2ax+1＝0，
∴x＝＝1±，
当a＞0时，x1＝1﹣，x2＝1+，
∵3x1+5x2≤12，
∴3﹣3×+5+5×≤12，
化简得，≤2a，
∴3a2+a≥0且a2﹣a＞0，
∴a＞1．
当a＜0时，x1＝1+，x2＝1﹣，
∵3x1+5x2≤12，
∴3+3×+5﹣5×≤12，
∴≤﹣2a，
∴a2﹣a≤4a2，
∴3a2+a≥0，
∴a（3a+1）≥0，
∵a＜0，
∴3a+1＜0，
∴a＜﹣，
综上所述，a＞1或a＜﹣．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的性质，二次函数与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题．
27．（7分）如图1，点E为正方形ABCD边AB上的一点，连接EC，点F是线段EC上的一个动点（不与点E，C重合），直线DF交直线BC于点G．
（1）如图1，当DG⊥EC时，用等式表示BE，GC之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当CF＝CD时，
①补全图形；
②用等式表示BE，EC，CG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）结论：BE＝CG．证明△CBE≌△DCG（ASA），可得结论；
（2）①根据要求作出图形即可；
②结论：BE+CE＝CG．如图2中，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则△CBE≌△DCT，证明TG＝TD＝CE，BE＝CT，可得结论．
【解答】解：（1）结论：BE＝CG．
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠CBE＝∠DCG＝90°，
∵DG⊥CE，
∴∠ECB+∠CGD＝90°，∠CGD+∠CDG＝90°，
∴∠BCE＝∠CDG，
在△CBE和△DCG中，
，
∴△CBE≌△DCG（ASA），
∴BE＝CG；
（2）①图形如图2所示：
②结论：BE+CE＝CG．
理由：如图2中，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则△CBE≌△DCT，
∴CE＝DT，BE＝CT，
∵CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∴∠G+∠FCG＝∠CDT+∠FDT，
∵∠FCG＝∠CDT，
∴∠G＝∠TDG，
∴GT＝DT＝EC，
∴CG＝GT+CT＝CE+BE，
即BE+CE＝CG．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
已知M（a，b），P（c，d），点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
（1）①若M（1，3），P（2，4），则点Q的坐标为 （2，5） ；
②若c＝2，点Q的横坐标为m，则m的值为 a+1 （用含a的代数式表示）．
（2）已知M（1，1），点P在直线l：y＝2x上．
①当点Q在y轴上时，点P的坐标为 （﹣2，﹣4） ；
②当点Q在第一象限时，c的取值范围是 c＞﹣1 ．
（3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为（4，4），点P（c，d）为正方形ABCD上的动点．
①当a＝b＝0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是 1 ；
②当点M（a，b）在直线l：y＝2x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则a的取值范围是 ≤a≤ ．
【分析】（1）①由定义可求P'（3，7），再由中点坐标公式求出Q（2，5）即可；
②根据P'的横坐标可建立方程2+a＝2m﹣a，从而可求m；
（2）①求出P'（c+1，2c+1），Q（，c+1），由题意可得＝0，求出即可求解；
②由①可得＞0，c+1＞0，即可求c的范围；
（3）①求出P'（c，d），Q（，），由此可知Q点形成的正方形边长为1，则点Q形成的图形的面积是1；
②由题意可知M（a，2a），则P'（c+a，d+2a），Q（a+，2a+），再由3≤c≤5，3≤d≤5，当a+＝3时，可得3≤6﹣2a≤5，则≤a时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；当2a+＝5时，可得3≤10﹣4a≤5，则≤a≤时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，即可求a的范围．
【解答】解：（1）①P（2，4）向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到P'（3，7），
∴P'与M的中点Q（2，5），
故答案为：（2，5）；
②∵c＝2，
∴P（2，d），
∵点Q的横坐标为m，
∴P'的横坐标为2m﹣a，
∵M（a，b），
∴P'的横坐标为2+a，
∴2m﹣a＝2+a，
∴m＝a+1，
故答案为：a+1；
（2）①∵点P在直线l：y＝2x上，
∴P'（c+1，2c+1），
∴Q（，c+1），
∵点Q在y轴上，
∴＝0，
∴c＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）；
②∵点Q在第一象限，
∴＞0，c+1＞0，
∴c＞﹣1；
（3）①当a＝b＝0时，M（0，0），
∵P（c，d），
∴P'（c，d），
∴Q（，），
∵P点在正方形ABCD上，
∴Q点的运动形成的图形也是正方形
∵正方形ABCD的边长为2，
∴Q点形成的正方形边长为1，
∴点Q形成的图形的面积是1；
②∵点M（a，b）在直线l：y＝2x上，
∴M（a，2a），
∵点P（c，d），
∴P'（c+a，d+2a），
∴Q（a+，2a+），
∵正方形的中心是（4，4），边长为2，
∴3≤c≤5，3≤d≤5，
当a+＝3时，c＝6﹣2a，
∴3≤6﹣2a≤5，
∴≤a时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
当2a+＝5时，d＝10﹣4a，
∴3≤10﹣4a≤5，
∴≤a≤时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
综上所述：≤a≤时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，灵活应用中点坐标公式，数形结合解题是关键．
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