江苏省泰州市兴化市2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（每题3分，共18分）

1．（3分）如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

2．（3分）下列式子中属于分式的是　　

A． B． C． D．

3．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

4．（3分）用配方法解方程时，配方结果正确的是　　

A． B． C． D．

5．（3分）已知反比例函数，下列说法不正确的是　　

A．图像经过点 

B．图像分别在二、四象限 

C．时， 

D．在每个象限内随增大而增大

6．（3分）在平行四边形中，，，当平行四边形的面积最大时，①；②；③；④．以上4个结论中正确的有　　

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④

二、填空题（每题3分，共27分）

7．（3分）若分式有意义，则的取值范围是　 　．

8．（3分）化简：　 　．

9．（3分）已知，是方程的两个实数根，则　　．

10．（3分）反比例函数的图像如图所示，则的取值范围是 　　．

11．（3分）如图，在中，半径，弦，是弦上的动点，则线段长的最小值是 　　．

12．（3分）如图，在中，，，，分别是边，，的中点．若的长为3，则的长是 　　．

13．（3分）若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 　　．

14．（3分）关于的方程的解是负数，则的取值范围是 　　．

15．（3分）如图，点是反比例函数图像上一点，将点绕原点逆时针旋转后，恰好落在轴的正半轴上，则线段的长为 　　．

三、解答题（共8题，共75分）

16．（8分）（1）计算：；

（2）化简：．

17．（8分）解方程：

（1）；

（2）．

18．（8分）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根是正数，求的取值范围．

19．（8分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原先生产420万剂疫苗所用的时间少1天．问原先每天生产多少万剂疫苗？

20．（8分）已知：如图，菱形，分别延长，到点，，使得，，连接，，，．

（1）求证：四边形为矩形；

（2）连接交于点，如果，，求的长．

21．（9分）如图，已知是的直径，交边于点，连接，且满足，点在的延长线上，交于点．

（1）求证：；

（2）如果，，，求直径的长．

22．（12分）已知：正方形中，为上一点．

（1）如图①，若为的平分线，，求的长；

（2）如图②所示，若为中点，为上的点，且为的平分线．

①求证：；

②点为边上任一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，无论点在边上如何运动，总成立，求的长．

23．（14分）已知点，都在反比例函数的图像上．

（1）求，的值；

（2）如图①，已知反比例函数的图像上有两点，，，，且，分别过，向轴作垂线，垂足分别为，，过，向轴作垂线，垂足分别为，．若记四边形和四边形的周长分别为，，试比较和的大小，并说明理由．

（3）如图②，若点关于原点对称点为，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由．

2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（上）开学数学试卷（详解版）

一、选择题（每题3分，共18分）

1．（3分）如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可．

【解答】解：．是中心对称图形，故此选项符合题意；

．不是中心对称图形，故此选项不合题意；

．不是中心对称图形，故此选项不合题意；

．不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：．

2．（3分）下列式子中属于分式的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据分式的定义判断即可．

【解答】解：，，选项的分母中没有字母，故，，选项不符合题意；

选项的分母中含有字母，故选项符合题意；

故选：．

3．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．

【解答】解：，

的结论不正确；

，

的结论不正确；

，

的结论不正确；

，

的结论正确，

故选：．

4．（3分）用配方法解方程时，配方结果正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．

【解答】解：，

，

．

故选：．

5．（3分）已知反比例函数，下列说法不正确的是　　

A．图像经过点 

B．图像分别在二、四象限 

C．时， 

D．在每个象限内随增大而增大

【分析】利用反比例函数图象与系数的关系进行分析判断．

【解答】解：、当时，，即反比例函数的图像经过点，说法正确；

、因为反比例函数中的，所以图像分别在二、四象限，说法正确；

、时，或，故说法不正确；

、因为反比例函数中的，所以在每个象限内随增大而增大，说法正确；

故选：．

6．（3分）在平行四边形中，，，当平行四边形的面积最大时，①；②；③；④．以上4个结论中正确的有　　

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④

【分析】由当的面积最大时，，可判定是矩形，由矩形的性质，可得②④正确，③错误，由勾股定理求得，即可得出答案．

【解答】解：当的面积最大时，，

是矩形，

，，，故④正确；

；故②正确；

，故①正确．

只有矩形是正方形时，，故③错误；

故选：．

二、填空题（每题3分，共27分）

7．（3分）若分式有意义，则的取值范围是　　．

【分析】分式有意义，分母，据此可以求得的取值范围．

【解答】解：当分母，即时，分式有意义．

故答案是：．

8．（3分）化简：　1　．

【分析】原式利用同底数幂的减法法则计算即可得到结果．

【解答】解：原式

．

故答案为：1．

9．（3分）已知，是方程的两个实数根，则　　．

【分析】根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可．

【解答】解：根据题意得：，，

所以．

故答案为：．

10．（3分）反比例函数的图像如图所示，则的取值范围是 　　．

【分析】连接，交双曲线于点，设，可得．再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到的取值范围．

【解答】解：如图所示，连接，交双曲线于点，

设，则，，

，

把代入反比例函数，

可得，

又，

的取值范围为：，

故答案为：．

11．（3分）如图，在中，半径，弦，是弦上的动点，则线段长的最小值是 　6　．

【分析】过点作于，连接，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后根据垂线段最短求解．

【解答】解：过点作于，连接，如图，

，

在中，，

线段长的最小值为6．

故答案为：6．

12．（3分）如图，在中，，，，分别是边，，的中点．若的长为3，则的长是 　3　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：在中，，是边的中点，，

，

，分别是边，的中点，

，

故答案为：3．

13．（3分）若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 　　．

【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．

【解答】解：由题意得：

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

14．（3分）关于的方程的解是负数，则的取值范围是 　且　．

【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数确定出的范围即可．

【解答】解：去分母得：，

解得：，

分式方程的解为负数，

，且，

解得：且．

故答案为：且．

15．（3分）如图，点是反比例函数图像上一点，将点绕原点逆时针旋转后，恰好落在轴的正半轴上，则线段的长为 　4　．

【分析】过点作轴于点，根据，可知是等腰直角三角形，根据点在反比例函数图象上，可得点的坐标，根据勾股定理可得的长，进一步可得的长；

【解答】解：设反比例函数的图象上点绕原点逆时针旋转后到点，

过点作轴于点，如图所示：

则，

，

，

，

，

设，

点，

点在反比例函数的图象上，

，

解得或（舍，

，

根据勾股定理，得．

三、解答题（共8题，共75分）

16．（8分）（1）计算：；

（2）化简：．

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先利用异分母分式加减法计算括号里，再算括号外，即可解答．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

．

17．（8分）解方程：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用公式法求解即可．

（2）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，然后求解即可，最后进行检验．

【解答】解：（1），

，，，

，

，

，．

（2）方程两边都乘以得，

，

，

，

解得，

检验：当时，，

是原方程的根．

18．（8分）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根是正数，求的取值范围．

【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；

（2）求得方程两根，再结合条件判断即可．

【解答】（1）证明：依题意，得△，

，

方程总有两个实数根；

（2）解：．

，

得，，

方程有一个根是正数，

，

．

19．（8分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原先生产420万剂疫苗所用的时间少1天．问原先每天生产多少万剂疫苗？

【分析】设原先每天生产万剂疫苗，由题意：某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原先生产420万剂疫苗所用的时间少1天．列出分式方程，解方程即可．

【解答】解：设原先每天生产万剂疫苗，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意．

答：原先每天生产20万剂疫苗．

20．（8分）已知：如图，菱形，分别延长，到点，，使得，，连接，，，．

（1）求证：四边形为矩形；

（2）连接交于点，如果，，求的长．

【分析】（1）根据菱形的性质以及矩形的判定证明即可；

（2）连接，根据菱形的判定和性质以及直角三角形的性质解答即可．

【解答】证明：（1），，

四边形为平行四边形，

四边形为菱形，

，

，

，即，

四边形为矩形；

（2）连接，

由（1）可知，，且，

四边形为平行四边形，

，

四边形为菱形，

，，，

菱形中，，，

，，

在中，，

．

21．（9分）如图，已知是的直径，交边于点，连接，且满足，点在的延长线上，交于点．

（1）求证：；

（2）如果，，，求直径的长．

【分析】（1）根据，得出，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；

（2）由，得到，根据三角函数的定义即可得到结果．

【解答】（1）证明：，

，

，

，

，

；

（2）解：，，

，

，

在中，，

，

，，

，

，

即直径为4．

22．（12分）已知：正方形中，为上一点．

（1）如图①，若为的平分线，，求的长；

（2）如图②所示，若为中点，为上的点，且为的平分线．

①求证：；

②点为边上任一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，无论点在边上如何运动，总成立，求的长．

【分析】（1）如图①中，过点作于点．证明，求出，可得结论；

（2）①如图②中，延长交的延长线与点．证明，，可得结论；

②首先判断出正方形的边长为2，再利用相似三角形的性质求出．

【解答】（1）解：如图①中，过点作于点．

四边形是正方形，

，，，

平分，，，

，

，

，

，

，

；

（2）①证明：如图②中，延长交的延长线与点．

四边形是正方形，

，，，

，

是的中点，

，

在和中，

，

，

，

平分，

，

，

，

，

；

②解：如图③中，

，

的最小值为，此时，重合，，

正方形的边长为2，

，，

由①可知，．，

，

，

，，

，

，

，

，

．

23．（14分）已知点，都在反比例函数的图像上．

（1）求，的值；

（2）如图①，已知反比例函数的图像上有两点，，，，且，分别过，向轴作垂线，垂足分别为，，过，向轴作垂线，垂足分别为，．若记四边形和四边形的周长分别为，，试比较和的大小，并说明理由．

（3）如图②，若点关于原点对称点为，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由．

【分析】（1）根据反比例函数图象上点的特征求、即可；

（2）由题意求出，，再由作差法比较大小即可；

（3）设，过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接，，，则与关于直线对称，、、共线，由对称性可知，分别求出直线的解析式，直线的解析式，可得，再由平行线的性质可得．

【解答】解：（1）点，在反比例函数图像上，

，

解得，

；

（2），

，

，，

，

，，

，

，

，

，

当时，，此时没有的值满足不等式；

当时，，此时存在满足不等式，

，

，

；

（3），

，

设，

过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，

连接，，，

与关于直线对称，

、、共线，

由对称性可知，

设直线的解析式为，

，

解得，

，

设直线的解析式为，

，

解得，

，

，

，

．