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浙江省温州市第二中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）
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这是一份浙江省温州市第二中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试卷（含答案），共28页。
2022-2023学年浙江省温州二中九年级（上）开学数学试卷
（附答案与解析）
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝8
4．（3分）如图是根据打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．平均数是6 B．中位数是7 C．众数是7 D．方差是7
5．（3分）如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D．已知∠AEC＝∠BED，AC＝10cm，BD＝15cm，CD＝20cm，若球手恰好能击中B球，则DE的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．cm
6．（3分）已知直角三角形有两条边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则该直角三角形的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或8 D．10或
7．（3分）如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．65°
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECD的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
9．（3分）用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
10．（3分）由四个正方形相框拼成的照片墙如图1所示，图2是其平面几何图，其中正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4分米2，4分米2，16分米2，则正方形AGHI的面积为（ ）
A．5分米2 B．6分米2 C．6.25分米2 D．8分米2
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为 ．
13．（4分）三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是 ．
14．（4分）已知一组数据50，60，70，80，90，则这组数据的方差是 ．
15．（4分）如图，∠AED＝∠B，EC＝1，AD＝2，AE＝3，则DB的长为 ．
16．（4分）函数y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的图象如图所示，则以下4个结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③直线x＝1与y1，y2依次交于C，B两点，则BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是 ．
17．（4分）如图，坐标原点O为菱形ABCD的中心，AD∥x轴，A点坐标为（﹣4，3），则B点坐标为 ．
18．（4分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为 ．
三、解答题（本题有6小题，共58分）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：（2x+1）2﹣9＝0．
20．（8分）如图，点A，B，C是5×5的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）．
（1）在图1中画出一个以A，C为顶点的菱形，使点B在该图形内部（不包括在边界上）．
（2）在图2中画出一个以A，C为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与AB夹角为45°．
21．（8分）如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B，C都在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，点C在AB下方．设点B的横坐标为a（a＜0）．
（1）点A的坐标为 （用含a的代数式表示）．
（2）当∠A＝∠B＝45°时，求a的值．
22．（10分）某毕业班将举办同学会，特为参会同学购买文化衫，据文化衫销售商家介绍，购买不超过10件，每件价格为140元；若超出10件，每超出1件，文化衫单价就降低1元；若购买数量不少于60件时，一律每件80元．
（1）若购买x件（10＜x＜60）文化衫，总费用为 元（用x的代数式表示）；
（2）由于同学会筹备组没有统一协调好，导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件，但不超过40件，且两次购买文化衫一共支付了9200元，求第一次购买的文化衫数量．
23．（12分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4）．动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，设运动时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式．
（2）用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）．
（3）是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为6，E是AD边上一点（不含端点），连结CE，P是D点关于EC的对称点，连结PA，PB，PC，PE．CH平分∠PCB交AB于点H，G为CE中点，连结PH，PG．设ED的长为a．
（1）①求∠HPC的度数．
②当a＝3时，HP＝ ．
（2）如图2，当点P恰好落在线段AG上时，求证：AE2＝AP×AG．
（3）是否存在a的值，使得PG与△HBC的一边平行，若存在，求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年浙江省温州二中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】用b表示a，代入求解即可．
【解答】解：∵＝，
∴a＝b，
即＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单的比例问题，能够熟练掌握．
2．（3分）如图，A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：由于点A是反比例函数y＝图象上一点，则S△AOB＝|k|＝3；
又由于k＞0，则k＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝8
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4，左边化为完全平方式，右边合并，即可得到结果．
【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0，
移项得：x2﹣4x＝6，
配方得：x2﹣4x+4＝10，即（x﹣2）2＝10．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．
4．（3分）如图是根据打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．平均数是6 B．中位数是7 C．众数是7 D．方差是7
【分析】根据图中数据分别求出平均数、众数、中位数及方差即可得出结论．
【解答】解：由题意知，
平均数为：＝7，
不存在众数；
中位数为：7；
方差为：＝8；
故选：B．
【点评】本题主要考查平均数、众数、中位数及方差的概念，熟练掌握平均数、众数、中位数及方差的概念是解题的关键．
5．（3分）如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D．已知∠AEC＝∠BED，AC＝10cm，BD＝15cm，CD＝20cm，若球手恰好能击中B球，则DE的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．cm
【分析】由AC⊥CD，BD⊥CD证明∠ACE＝∠BDE＝90°，又有∠AEC＝∠BED，即可证明△AEC∽△BED，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求出DE的长．
【解答】解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACE＝∠BDE＝90°，
∵∠AEC＝∠BED，
∴△AEC∽△BED，
∴＝，
∵AC＝10cm，BD＝15cm，
∴＝，
∴DE＝12（cm），
∴DE的长为12cm，
故选：C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，找到相似三角形对应角并通过证明补全三角形相似的条件是解题的关键．
6．（3分）已知直角三角形有两条边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则该直角三角形的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或8 D．10或
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，可求出方程x2﹣14x+48＝0的两个根，再利用勾股定理可求出另一边的长，此题得解．
【解答】解：∵x2﹣14x+48＝0，即（x﹣6）（x﹣8）＝0，
∴x1＝6，x2＝8．
当6，8为直角边长时，该直角三角形的斜边长是＝10；
当8为斜边长时，该直角三角形的另一直角边长为＝2．
∴该直角三角形的斜边长是10或8．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及勾股定理，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．
7．（3分）如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．65°
【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A，又由平角的定义，根据∠AMF＝50°，求得∠DMF的度数，然后可求得∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，
∴AB∥CD∥MN，
∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，
∵∠AMF＝50°，
∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，
∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质，注意数形结合思想的应用以及折叠中的对应关系，难度适中．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECD的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．
【解答】解：如图：
过点C作CF⊥BD于F．
∵矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，
∴∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝4，∠AEB＝∠CFD＝90°．
∴△ABE≌△CDF．
∴AE＝CF．
∴S△AED＝ED•AE，S△ECD＝ED•CF
∴S△AED＝S△CDE
∵AE＝2，DE＝2，
∴△ECD的面积是2．
故选：A．
【点评】此题考查了学生的识图能力，解题的关键是要注意问题的转化．此题还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
9．（3分）用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
【分析】设AB的长为x米，则AD的长为米，根据矩形的面积公式列出面积S关系x的函数解析式，再根据函数的性质求最值时x的值．
【解答】解：设AB的长为x米，则AD的长为米，
由矩形面积公式得：S矩形ABCD＝AD•AB＝x×＝﹣2x2+24x＝﹣2（x﹣6）2+72，
∵48﹣4x＞0，
∴x＜12，
∴0＜x＜12，
∵﹣2＜0，
∴当x＝6时，矩形的面积有最大值，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，表示出所需长度是解题基础，列出函数关系式是关键．
10．（3分）由四个正方形相框拼成的照片墙如图1所示，图2是其平面几何图，其中正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4分米2，4分米2，16分米2，则正方形AGHI的面积为（ ）
A．5分米2 B．6分米2 C．6.25分米2 D．8分米2
【分析】根据题意，可以得到BI、BA、DG的长，设AG＝2x，然后根据锐角三角函数可以用含x的式子表示出NI，BN，再根据勾股定理，可以得到x2的值，从而可以得到正方形AGHI的面积．
【解答】解：作DM⊥AG于点M，作IN⊥BA交BA的延长线于点N，
∵正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4平方分米，4平方分米，16平方分米，
∴AD＝2，DG＝2，BI＝4，∠IAG＝∠BAD＝90°，
∴∠IAB+∠MAD＝180°，
又∵∠IAB+∠IAN＝180°，
∴∠IAN＝∠MAD，
设AG＝2x，
∵DA＝DG＝2，DM⊥AG，
∴cos∠MAD＝＝，
∵cos∠IAN＝＝，
∴＝，
∴AN＝x2，
∴NI2＝AI2﹣AN2＝（2x）2﹣（x2）2＝4x2﹣x4，
∵BI＝4，BN＝BA+AN＝2+x2，∠BNI＝90°，
∴42＝（2+x2）2+4x2﹣x4，
解得，x2＝，
∴正方形AGHI的面积为：（2x）2＝4x2＝4×＝6，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≤ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，3﹣4x≥0，
解得，x≤，
故答案为：x≤．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为 6 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出＝＝，再根据DF＝BF×代入计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
∵BF＝10，
∴DF＝10×＝6；
故答案为；6．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．
13．（4分）三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是 24 ．
【分析】已知三角形三条中位线的长，从而可求得三角形三条边的长，从而不难求得其周长的值．
【解答】解：∵三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，
∴三角形的三条边的长分别是6，8，10，
∴这个三角形的周长＝6+8+10＝24．
【点评】此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14．（4分）已知一组数据50，60，70，80，90，则这组数据的方差是 200 ．
【分析】根据题意得出这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数是（50+60+70+80+90）÷5＝70，
∴这组数据的方差＝×[（50﹣70）2+（60﹣70）2+（70﹣70）2+（80﹣70）2+（90﹣70）2]＝200．
故答案为：200．
【点评】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．（4分）如图，∠AED＝∠B，EC＝1，AD＝2，AE＝3，则DB的长为 4 ．
【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AED∽△ABC，即可根据相似三角形的对应边成比例求出AB的长，再求出BD的长，得到问题的答案．
【解答】解：∵EC＝1，AD＝2，AE＝3，
∴AC＝AE+EC＝3+1＝4，
∴∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
∴AB＝＝＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4，
∴DB的长为4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应角和对应边是解题的关键．
16．（4分）函数y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的图象如图所示，则以下4个结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③直线x＝1与y1，y2依次交于C，B两点，则BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质解题即可．
【解答】解：①∵两个函数图象的交点为A，令y1＝y2，
∴x＝，
∴x＝2，代入y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）得：y＝2，
∴A（2，2），故本选项正确；
②当x＞2时，y1＞2，y2＜2，故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝1，y2＝4，
∴BC＝y2﹣y1＝4﹣1＝3，故本选项正确；
④根据图象可知，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项正确．
所以①③④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了反比例和正比例函数的性质．对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
17．（4分）如图，坐标原点O为菱形ABCD的中心，AD∥x轴，A点坐标为（﹣4，3），则B点坐标为 （﹣，﹣3） ．
【分析】由菱形的性质可得OA⊥OD，由勾股定理可求DE的长，即可求点D坐标，即可求解．
【解答】解：如图，连接OA，OD，
∵菱形ABCD的对称中心为坐标原点，
∴OA⊥OD，
设AD与y轴交点为E，DE＝x，则AD＝4+x，
在Rt△ODE中，OD2＝OE2+ED2＝32+x2，
在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2＝32+42＝25，
在Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，
即25+32+x2＝（x+4）2，
解得x＝，
∴点D（，3），
∴点B（﹣，﹣3），
故答案为：（﹣，﹣3）．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
18．（4分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为 ．
【分析】先根据已知可得：AD＝EM，设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，由勾股定理列方程可得：b＝a，延长BF交CD于N，根据平行线分线段成比例定理可得＝＝＝＝（也可以利用面积法得出，设PN＝x，则BG＝4x，证明△BFG≌△DEP（AAS），则PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，同理列方程可得a的值，从而得结论．
【解答】解：∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴＝，
∴AD＝EM，
设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴b2+（a+b）2＝（a）2，
∴b2+2ab﹣4a2＝0，
（b﹣a）（b+2a）＝0，
∵b+2a≠0，
∴b﹣a＝0，
∴b＝a，
∴AE＝DM＝a，
如图，延长BF交CD于N，
∵BN∥DE，CF＝FM，
∴DN＝CN，
∴EN＝DM＝a，
∵PN∥BG，
∴＝＝＝＝，
设PN＝x，则BG＝4x，
∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，
∴△BFG≌△DEP（AAS），
∴PD＝BG＝4x，
同理得：EG＝FP，
∴DN＝3x＝CN，
∴PC＝2x，
∵CP∥BG，
∴＝，即＝，
∴PH＝PG＝，
∵＝，
∴EF＝a＝GP＝，
∴a＝，
∴AD＝a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题有6小题，共58分）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：（2x+1）2﹣9＝0．
【分析】（1）先化简，然后根据平方差公式计算即可；
（2）先移项，然后根据直接开平方法，可以求得x的值．
【解答】解：（1）
＝（3﹣2）（3+2）
＝18﹣12
＝6；
（2）∵（2x+1）2﹣9＝0，
∴（2x+1）2＝9，
∴2x+1＝±3，
∴2x+1＝3或2x+1＝﹣3，
解得x1＝1，x2＝﹣2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是是明确二次根式混合运算的运算法则和解一元二次方程的方法．
20．（8分）如图，点A，B，C是5×5的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）．
（1）在图1中画出一个以A，C为顶点的菱形，使点B在该图形内部（不包括在边界上）．
（2）在图2中画出一个以A，C为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与AB夹角为45°．
【分析】（1）根据网格即可在图1中画出一个以A，C为顶点的菱形，使点B在该图形内部；
（2）根据网格即可在图2中画出一个以A，C为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与AB夹角为45°．
【解答】解：（1）如图1，即为以A，C为顶点的菱形；
（2）如图2，即为以A，C为顶点的平行四边形．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解决本题的关键是掌握菱形和平行四边形的判定方法．
21．（8分）如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B，C都在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，点C在AB下方．设点B的横坐标为a（a＜0）．
（1）点A的坐标为 （2a，﹣） （用含a的代数式表示）．
（2）当∠A＝∠B＝45°时，求a的值．
【分析】（1）先求得点B的坐标，进而利用y＝﹣（x＜0）即可求得点A的坐标；
（2）利用等腰直角三角形的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵点B的横坐标为a（a＜0），
∴B（a，﹣），
∵AB∥x轴，
∴A点的纵坐标为﹣，
代入y＝﹣（x＜0）得﹣＝﹣，
∴x＝2a，
∴点A的坐标为（2a，﹣），
故答案为：（2a，﹣）；
（2）∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴C（a，﹣+a），
∵点C在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴a（﹣+a）＝﹣2，
解得a＝﹣或a＝（舍去），
a的值为﹣．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
22．（10分）某毕业班将举办同学会，特为参会同学购买文化衫，据文化衫销售商家介绍，购买不超过10件，每件价格为140元；若超出10件，每超出1件，文化衫单价就降低1元；若购买数量不少于60件时，一律每件80元．
（1）若购买x件（10＜x＜60）文化衫，总费用为 （﹣x2+150x） 元（用x的代数式表示）；
（2）由于同学会筹备组没有统一协调好，导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件，但不超过40件，且两次购买文化衫一共支付了9200元，求第一次购买的文化衫数量．
【分析】（1）由题意得单价为（150﹣x）元，利用单价乘以数量即可表示出总费用；
（2）设第一次购买了x（30＜x≤40）件，则第二次购买（100﹣x）件，由题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：x[140﹣（x﹣10）]＝x（150﹣x）＝﹣x2+150x，
故答案为：（﹣x2+150x）；
（2）设第一次购买了x（30＜x≤40）件，则第二次购买（100﹣x）件，
由题意得：x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，
解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40，
答：第一次购买了40件文化衫．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解决问题的关键．
23．（12分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4）．动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，设运动时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式．
（2）用含t的代数式表示P的坐标 （3﹣t，t） （直接写出答案）．
（3）是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）通过证明△APG∽△ACO，可得PG＝t，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，
∴AO∥BC，OC∥AB，
∵点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4），
∴点C（0，4），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）延长NP，交OA于点G，可得出PG⊥OA，
∵动点运动t秒后，
∴BN＝OM＝t，
∴CN＝3﹣t，
∵点A，C的坐标分别为（3，0），（0，4），
∴OA＝3，OC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵PG∥OC，
∴△APG∽△ACO，
∴＝，
∴＝，
则PG＝t，AP＝t，
∴P点的坐标为 （3﹣t，t），
故答案为：（3﹣t，t）；
（3）当∠AMP＝∠AOC＝90°时，且∠CAO＝∠PAM，则△APM∽△ACO，
∴，
∴，
∴t＝，
当∠APM＝∠AOC＝90°时，且∠CAO＝∠PAM，则△APM∽△AOC，
∴，
∴，
∴t＝，
综上所述：t＝或．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为6，E是AD边上一点（不含端点），连结CE，P是D点关于EC的对称点，连结PA，PB，PC，PE．CH平分∠PCB交AB于点H，G为CE中点，连结PH，PG．设ED的长为a．
（1）①求∠HPC的度数．
②当a＝3时，HP＝ 2 ．
（2）如图2，当点P恰好落在线段AG上时，求证：AE2＝AP×AG．
（3）是否存在a的值，使得PG与△HBC的一边平行，若存在，求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由对称性质可得△PEC≌△DEC，再证明△BCH≌△PCH，即可解答；
②在①两对三角形全等的基础上，可得点H、P、E在同一条直线上，设HP＝HB＝x，AH＝6﹣x，HE＝3+x，在Rt△AHE中，由勾股定理得AH2+AE2＝EH2，解方程即可解答；
（2）证明两角相等．得到△EAP∽△GAE，即可证明结论；
（3）分三种情况讨论求解，分别是：①当PG∥HC时，ED＝PE＝BH＝PH＝a，AE＝AH＝6﹣a，HE＝2a，易得Rt△AHE是等腰直角三角形，所以＝sin45°，即＝，即可得a的值；②当PG∥BC时，可得∠GPC＝∠GCP＝∠DCE＝∠BCP，所以∠GCP+∠DCE+∠BCP＝90°，即∠DCE＝30°，在Rt△DCE中，根据30°锐角的正切三角函数即可求出a的值；③当PG∥BH时，易得PG∥CD，最后证明出∠PCG＝∠DCE＝60°，即∠PCG+∠DCE＝120°＞∠DCB，故此种情况不成立．
【解答】（1）解：①∵P是D点关于EC的对称点，
∴△PEC≌△DEC，
∴PC＝DC＝BC，
∵CH平分∠PCB，
∴∠BCH＝∠PCH，
在△BCH和△PCH中，
，
∴△BCH≌△PCH（SAS），
∴∠HPC＝∠HBC＝90°，
即∠HPC＝90°；
②由①得△PEC≌△DEC，△BCH≌△PCH，
∴∠EPC＝∠D＝90°，ED＝PE＝3，AE＝3，
∴∠HPE＝∠EPC+∠HPC＝180°，即点H、P、E在同一条直线上，
设HP＝x，
∵△BCH≌△PCH，
∴HP＝HB＝x，AH＝6﹣x，HE＝3+x，
在Rt△AHE中，AH2+AE2＝EH2，
即（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得：x＝2，
即HP＝2，
故答案为：2；
（2）证明：∵G为CE中点，∠EPC＝90°，
∴PG＝GC＝EG，
∴∠2＝∠3＝∠1，
∵四边形EPCD中，∠PED+∠1+∠2＝360°﹣∠D﹣∠EPC＝180°，
∠PED+∠5＝180°，
∴∠5＝∠1+∠2，
∵∠4＝∠2+∠3＝∠2+∠1，
∴∠5＝∠4，
又∵∠EAP＝∠GAE，
∴△EAP∽△GAE，
∴＝，
∴AE2＝AP×AG；
（3）解：存在，a＝6﹣6或2，理由：
①如图：当PG∥HC时：
∵EG＝GC，
∴EP＝PH，
又∵ED＝PE，BH＝PH，
∴ED＝PE＝BH＝PH＝a，AE＝AH＝6﹣a，HE＝2a，
∴Rt△AHE是等腰直角三角形，
＝sin45°，即＝，
解得：a＝6﹣6；
②如图：当PG∥BC时：
∴∠GPC＝∠PCB，
∵PG＝GC，∠PCG＝∠DCE，
∴∠GPC＝∠GCP＝∠DCE＝∠BCP，
∵∠GCP+∠DCE+∠BCP＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∵tan∠DCE＝，
∴ED＝DC×tan30°＝6×＝2，即a＝2；
③当PG∥AB时：
∵AB∥CD，当PG∥AB时，
则PG∥CD，
∴∠DCE＝∠PGC，
∵∠PCG＝∠DCE，∠GPC＝∠GCP，
∴∠PCG＝∠GPC＝∠PGC＝60°，
∴∠PCG＝∠DCE＝60°，即∠PCG+∠DCE＝120°＞∠DCB，
故此种情况不成立．
综上所述，存在a的值即当a＝6﹣6或2，使得PG与△HBC的一边平行．
【点评】本题是一个综合探究题，主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、正方形的性质及勾股定理是解题的关键
2022-2023学年浙江省温州二中九年级（上）开学数学试卷
（附答案与解析）
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝8
4．（3分）如图是根据打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．平均数是6 B．中位数是7 C．众数是7 D．方差是7
5．（3分）如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D．已知∠AEC＝∠BED，AC＝10cm，BD＝15cm，CD＝20cm，若球手恰好能击中B球，则DE的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．cm
6．（3分）已知直角三角形有两条边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则该直角三角形的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或8 D．10或
7．（3分）如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．65°
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECD的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
9．（3分）用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
10．（3分）由四个正方形相框拼成的照片墙如图1所示，图2是其平面几何图，其中正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4分米2，4分米2，16分米2，则正方形AGHI的面积为（ ）
A．5分米2 B．6分米2 C．6.25分米2 D．8分米2
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为 ．
13．（4分）三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是 ．
14．（4分）已知一组数据50，60，70，80，90，则这组数据的方差是 ．
15．（4分）如图，∠AED＝∠B，EC＝1，AD＝2，AE＝3，则DB的长为 ．
16．（4分）函数y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的图象如图所示，则以下4个结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③直线x＝1与y1，y2依次交于C，B两点，则BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是 ．
17．（4分）如图，坐标原点O为菱形ABCD的中心，AD∥x轴，A点坐标为（﹣4，3），则B点坐标为 ．
18．（4分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为 ．
三、解答题（本题有6小题，共58分）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：（2x+1）2﹣9＝0．
20．（8分）如图，点A，B，C是5×5的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）．
（1）在图1中画出一个以A，C为顶点的菱形，使点B在该图形内部（不包括在边界上）．
（2）在图2中画出一个以A，C为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与AB夹角为45°．
21．（8分）如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B，C都在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，点C在AB下方．设点B的横坐标为a（a＜0）．
（1）点A的坐标为 （用含a的代数式表示）．
（2）当∠A＝∠B＝45°时，求a的值．
22．（10分）某毕业班将举办同学会，特为参会同学购买文化衫，据文化衫销售商家介绍，购买不超过10件，每件价格为140元；若超出10件，每超出1件，文化衫单价就降低1元；若购买数量不少于60件时，一律每件80元．
（1）若购买x件（10＜x＜60）文化衫，总费用为 元（用x的代数式表示）；
（2）由于同学会筹备组没有统一协调好，导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件，但不超过40件，且两次购买文化衫一共支付了9200元，求第一次购买的文化衫数量．
23．（12分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4）．动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，设运动时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式．
（2）用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）．
（3）是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为6，E是AD边上一点（不含端点），连结CE，P是D点关于EC的对称点，连结PA，PB，PC，PE．CH平分∠PCB交AB于点H，G为CE中点，连结PH，PG．设ED的长为a．
（1）①求∠HPC的度数．
②当a＝3时，HP＝ ．
（2）如图2，当点P恰好落在线段AG上时，求证：AE2＝AP×AG．
（3）是否存在a的值，使得PG与△HBC的一边平行，若存在，求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年浙江省温州二中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】用b表示a，代入求解即可．
【解答】解：∵＝，
∴a＝b，
即＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单的比例问题，能够熟练掌握．
2．（3分）如图，A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：由于点A是反比例函数y＝图象上一点，则S△AOB＝|k|＝3；
又由于k＞0，则k＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝8
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4，左边化为完全平方式，右边合并，即可得到结果．
【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0，
移项得：x2﹣4x＝6，
配方得：x2﹣4x+4＝10，即（x﹣2）2＝10．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．
4．（3分）如图是根据打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．平均数是6 B．中位数是7 C．众数是7 D．方差是7
【分析】根据图中数据分别求出平均数、众数、中位数及方差即可得出结论．
【解答】解：由题意知，
平均数为：＝7，
不存在众数；
中位数为：7；
方差为：＝8；
故选：B．
【点评】本题主要考查平均数、众数、中位数及方差的概念，熟练掌握平均数、众数、中位数及方差的概念是解题的关键．
5．（3分）如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D．已知∠AEC＝∠BED，AC＝10cm，BD＝15cm，CD＝20cm，若球手恰好能击中B球，则DE的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．cm
【分析】由AC⊥CD，BD⊥CD证明∠ACE＝∠BDE＝90°，又有∠AEC＝∠BED，即可证明△AEC∽△BED，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求出DE的长．
【解答】解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACE＝∠BDE＝90°，
∵∠AEC＝∠BED，
∴△AEC∽△BED，
∴＝，
∵AC＝10cm，BD＝15cm，
∴＝，
∴DE＝12（cm），
∴DE的长为12cm，
故选：C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，找到相似三角形对应角并通过证明补全三角形相似的条件是解题的关键．
6．（3分）已知直角三角形有两条边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则该直角三角形的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或8 D．10或
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，可求出方程x2﹣14x+48＝0的两个根，再利用勾股定理可求出另一边的长，此题得解．
【解答】解：∵x2﹣14x+48＝0，即（x﹣6）（x﹣8）＝0，
∴x1＝6，x2＝8．
当6，8为直角边长时，该直角三角形的斜边长是＝10；
当8为斜边长时，该直角三角形的另一直角边长为＝2．
∴该直角三角形的斜边长是10或8．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及勾股定理，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．
7．（3分）如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．65°
【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A，又由平角的定义，根据∠AMF＝50°，求得∠DMF的度数，然后可求得∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，
∴AB∥CD∥MN，
∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，
∵∠AMF＝50°，
∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，
∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质，注意数形结合思想的应用以及折叠中的对应关系，难度适中．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECD的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．
【解答】解：如图：
过点C作CF⊥BD于F．
∵矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，
∴∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝4，∠AEB＝∠CFD＝90°．
∴△ABE≌△CDF．
∴AE＝CF．
∴S△AED＝ED•AE，S△ECD＝ED•CF
∴S△AED＝S△CDE
∵AE＝2，DE＝2，
∴△ECD的面积是2．
故选：A．
【点评】此题考查了学生的识图能力，解题的关键是要注意问题的转化．此题还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
9．（3分）用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
【分析】设AB的长为x米，则AD的长为米，根据矩形的面积公式列出面积S关系x的函数解析式，再根据函数的性质求最值时x的值．
【解答】解：设AB的长为x米，则AD的长为米，
由矩形面积公式得：S矩形ABCD＝AD•AB＝x×＝﹣2x2+24x＝﹣2（x﹣6）2+72，
∵48﹣4x＞0，
∴x＜12，
∴0＜x＜12，
∵﹣2＜0，
∴当x＝6时，矩形的面积有最大值，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，表示出所需长度是解题基础，列出函数关系式是关键．
10．（3分）由四个正方形相框拼成的照片墙如图1所示，图2是其平面几何图，其中正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4分米2，4分米2，16分米2，则正方形AGHI的面积为（ ）
A．5分米2 B．6分米2 C．6.25分米2 D．8分米2
【分析】根据题意，可以得到BI、BA、DG的长，设AG＝2x，然后根据锐角三角函数可以用含x的式子表示出NI，BN，再根据勾股定理，可以得到x2的值，从而可以得到正方形AGHI的面积．
【解答】解：作DM⊥AG于点M，作IN⊥BA交BA的延长线于点N，
∵正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4平方分米，4平方分米，16平方分米，
∴AD＝2，DG＝2，BI＝4，∠IAG＝∠BAD＝90°，
∴∠IAB+∠MAD＝180°，
又∵∠IAB+∠IAN＝180°，
∴∠IAN＝∠MAD，
设AG＝2x，
∵DA＝DG＝2，DM⊥AG，
∴cos∠MAD＝＝，
∵cos∠IAN＝＝，
∴＝，
∴AN＝x2，
∴NI2＝AI2﹣AN2＝（2x）2﹣（x2）2＝4x2﹣x4，
∵BI＝4，BN＝BA+AN＝2+x2，∠BNI＝90°，
∴42＝（2+x2）2+4x2﹣x4，
解得，x2＝，
∴正方形AGHI的面积为：（2x）2＝4x2＝4×＝6，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≤ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，3﹣4x≥0，
解得，x≤，
故答案为：x≤．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为 6 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出＝＝，再根据DF＝BF×代入计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
∵BF＝10，
∴DF＝10×＝6；
故答案为；6．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．
13．（4分）三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是 24 ．
【分析】已知三角形三条中位线的长，从而可求得三角形三条边的长，从而不难求得其周长的值．
【解答】解：∵三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，
∴三角形的三条边的长分别是6，8，10，
∴这个三角形的周长＝6+8+10＝24．
【点评】此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14．（4分）已知一组数据50，60，70，80，90，则这组数据的方差是 200 ．
【分析】根据题意得出这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数是（50+60+70+80+90）÷5＝70，
∴这组数据的方差＝×[（50﹣70）2+（60﹣70）2+（70﹣70）2+（80﹣70）2+（90﹣70）2]＝200．
故答案为：200．
【点评】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．（4分）如图，∠AED＝∠B，EC＝1，AD＝2，AE＝3，则DB的长为 4 ．
【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AED∽△ABC，即可根据相似三角形的对应边成比例求出AB的长，再求出BD的长，得到问题的答案．
【解答】解：∵EC＝1，AD＝2，AE＝3，
∴AC＝AE+EC＝3+1＝4，
∴∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
∴AB＝＝＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4，
∴DB的长为4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应角和对应边是解题的关键．
16．（4分）函数y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的图象如图所示，则以下4个结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③直线x＝1与y1，y2依次交于C，B两点，则BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质解题即可．
【解答】解：①∵两个函数图象的交点为A，令y1＝y2，
∴x＝，
∴x＝2，代入y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）得：y＝2，
∴A（2，2），故本选项正确；
②当x＞2时，y1＞2，y2＜2，故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝1，y2＝4，
∴BC＝y2﹣y1＝4﹣1＝3，故本选项正确；
④根据图象可知，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项正确．
所以①③④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了反比例和正比例函数的性质．对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
17．（4分）如图，坐标原点O为菱形ABCD的中心，AD∥x轴，A点坐标为（﹣4，3），则B点坐标为 （﹣，﹣3） ．
【分析】由菱形的性质可得OA⊥OD，由勾股定理可求DE的长，即可求点D坐标，即可求解．
【解答】解：如图，连接OA，OD，
∵菱形ABCD的对称中心为坐标原点，
∴OA⊥OD，
设AD与y轴交点为E，DE＝x，则AD＝4+x，
在Rt△ODE中，OD2＝OE2+ED2＝32+x2，
在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2＝32+42＝25，
在Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，
即25+32+x2＝（x+4）2，
解得x＝，
∴点D（，3），
∴点B（﹣，﹣3），
故答案为：（﹣，﹣3）．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
18．（4分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为 ．
【分析】先根据已知可得：AD＝EM，设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，由勾股定理列方程可得：b＝a，延长BF交CD于N，根据平行线分线段成比例定理可得＝＝＝＝（也可以利用面积法得出，设PN＝x，则BG＝4x，证明△BFG≌△DEP（AAS），则PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，同理列方程可得a的值，从而得结论．
【解答】解：∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴＝，
∴AD＝EM，
设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴b2+（a+b）2＝（a）2，
∴b2+2ab﹣4a2＝0，
（b﹣a）（b+2a）＝0，
∵b+2a≠0，
∴b﹣a＝0，
∴b＝a，
∴AE＝DM＝a，
如图，延长BF交CD于N，
∵BN∥DE，CF＝FM，
∴DN＝CN，
∴EN＝DM＝a，
∵PN∥BG，
∴＝＝＝＝，
设PN＝x，则BG＝4x，
∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，
∴△BFG≌△DEP（AAS），
∴PD＝BG＝4x，
同理得：EG＝FP，
∴DN＝3x＝CN，
∴PC＝2x，
∵CP∥BG，
∴＝，即＝，
∴PH＝PG＝，
∵＝，
∴EF＝a＝GP＝，
∴a＝，
∴AD＝a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题有6小题，共58分）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：（2x+1）2﹣9＝0．
【分析】（1）先化简，然后根据平方差公式计算即可；
（2）先移项，然后根据直接开平方法，可以求得x的值．
【解答】解：（1）
＝（3﹣2）（3+2）
＝18﹣12
＝6；
（2）∵（2x+1）2﹣9＝0，
∴（2x+1）2＝9，
∴2x+1＝±3，
∴2x+1＝3或2x+1＝﹣3，
解得x1＝1，x2＝﹣2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是是明确二次根式混合运算的运算法则和解一元二次方程的方法．
20．（8分）如图，点A，B，C是5×5的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）．
（1）在图1中画出一个以A，C为顶点的菱形，使点B在该图形内部（不包括在边界上）．
（2）在图2中画出一个以A，C为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与AB夹角为45°．
【分析】（1）根据网格即可在图1中画出一个以A，C为顶点的菱形，使点B在该图形内部；
（2）根据网格即可在图2中画出一个以A，C为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与AB夹角为45°．
【解答】解：（1）如图1，即为以A，C为顶点的菱形；
（2）如图2，即为以A，C为顶点的平行四边形．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解决本题的关键是掌握菱形和平行四边形的判定方法．
21．（8分）如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B，C都在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，点C在AB下方．设点B的横坐标为a（a＜0）．
（1）点A的坐标为 （2a，﹣） （用含a的代数式表示）．
（2）当∠A＝∠B＝45°时，求a的值．
【分析】（1）先求得点B的坐标，进而利用y＝﹣（x＜0）即可求得点A的坐标；
（2）利用等腰直角三角形的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵点B的横坐标为a（a＜0），
∴B（a，﹣），
∵AB∥x轴，
∴A点的纵坐标为﹣，
代入y＝﹣（x＜0）得﹣＝﹣，
∴x＝2a，
∴点A的坐标为（2a，﹣），
故答案为：（2a，﹣）；
（2）∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴C（a，﹣+a），
∵点C在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴a（﹣+a）＝﹣2，
解得a＝﹣或a＝（舍去），
a的值为﹣．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
22．（10分）某毕业班将举办同学会，特为参会同学购买文化衫，据文化衫销售商家介绍，购买不超过10件，每件价格为140元；若超出10件，每超出1件，文化衫单价就降低1元；若购买数量不少于60件时，一律每件80元．
（1）若购买x件（10＜x＜60）文化衫，总费用为 （﹣x2+150x） 元（用x的代数式表示）；
（2）由于同学会筹备组没有统一协调好，导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件，但不超过40件，且两次购买文化衫一共支付了9200元，求第一次购买的文化衫数量．
【分析】（1）由题意得单价为（150﹣x）元，利用单价乘以数量即可表示出总费用；
（2）设第一次购买了x（30＜x≤40）件，则第二次购买（100﹣x）件，由题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：x[140﹣（x﹣10）]＝x（150﹣x）＝﹣x2+150x，
故答案为：（﹣x2+150x）；
（2）设第一次购买了x（30＜x≤40）件，则第二次购买（100﹣x）件，
由题意得：x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，
解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40，
答：第一次购买了40件文化衫．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解决问题的关键．
23．（12分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4）．动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，设运动时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式．
（2）用含t的代数式表示P的坐标 （3﹣t，t） （直接写出答案）．
（3）是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）通过证明△APG∽△ACO，可得PG＝t，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，
∴AO∥BC，OC∥AB，
∵点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4），
∴点C（0，4），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）延长NP，交OA于点G，可得出PG⊥OA，
∵动点运动t秒后，
∴BN＝OM＝t，
∴CN＝3﹣t，
∵点A，C的坐标分别为（3，0），（0，4），
∴OA＝3，OC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵PG∥OC，
∴△APG∽△ACO，
∴＝，
∴＝，
则PG＝t，AP＝t，
∴P点的坐标为 （3﹣t，t），
故答案为：（3﹣t，t）；
（3）当∠AMP＝∠AOC＝90°时，且∠CAO＝∠PAM，则△APM∽△ACO，
∴，
∴，
∴t＝，
当∠APM＝∠AOC＝90°时，且∠CAO＝∠PAM，则△APM∽△AOC，
∴，
∴，
∴t＝，
综上所述：t＝或．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为6，E是AD边上一点（不含端点），连结CE，P是D点关于EC的对称点，连结PA，PB，PC，PE．CH平分∠PCB交AB于点H，G为CE中点，连结PH，PG．设ED的长为a．
（1）①求∠HPC的度数．
②当a＝3时，HP＝ 2 ．
（2）如图2，当点P恰好落在线段AG上时，求证：AE2＝AP×AG．
（3）是否存在a的值，使得PG与△HBC的一边平行，若存在，求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由对称性质可得△PEC≌△DEC，再证明△BCH≌△PCH，即可解答；
②在①两对三角形全等的基础上，可得点H、P、E在同一条直线上，设HP＝HB＝x，AH＝6﹣x，HE＝3+x，在Rt△AHE中，由勾股定理得AH2+AE2＝EH2，解方程即可解答；
（2）证明两角相等．得到△EAP∽△GAE，即可证明结论；
（3）分三种情况讨论求解，分别是：①当PG∥HC时，ED＝PE＝BH＝PH＝a，AE＝AH＝6﹣a，HE＝2a，易得Rt△AHE是等腰直角三角形，所以＝sin45°，即＝，即可得a的值；②当PG∥BC时，可得∠GPC＝∠GCP＝∠DCE＝∠BCP，所以∠GCP+∠DCE+∠BCP＝90°，即∠DCE＝30°，在Rt△DCE中，根据30°锐角的正切三角函数即可求出a的值；③当PG∥BH时，易得PG∥CD，最后证明出∠PCG＝∠DCE＝60°，即∠PCG+∠DCE＝120°＞∠DCB，故此种情况不成立．
【解答】（1）解：①∵P是D点关于EC的对称点，
∴△PEC≌△DEC，
∴PC＝DC＝BC，
∵CH平分∠PCB，
∴∠BCH＝∠PCH，
在△BCH和△PCH中，
，
∴△BCH≌△PCH（SAS），
∴∠HPC＝∠HBC＝90°，
即∠HPC＝90°；
②由①得△PEC≌△DEC，△BCH≌△PCH，
∴∠EPC＝∠D＝90°，ED＝PE＝3，AE＝3，
∴∠HPE＝∠EPC+∠HPC＝180°，即点H、P、E在同一条直线上，
设HP＝x，
∵△BCH≌△PCH，
∴HP＝HB＝x，AH＝6﹣x，HE＝3+x，
在Rt△AHE中，AH2+AE2＝EH2，
即（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得：x＝2，
即HP＝2，
故答案为：2；
（2）证明：∵G为CE中点，∠EPC＝90°，
∴PG＝GC＝EG，
∴∠2＝∠3＝∠1，
∵四边形EPCD中，∠PED+∠1+∠2＝360°﹣∠D﹣∠EPC＝180°，
∠PED+∠5＝180°，
∴∠5＝∠1+∠2，
∵∠4＝∠2+∠3＝∠2+∠1，
∴∠5＝∠4，
又∵∠EAP＝∠GAE，
∴△EAP∽△GAE，
∴＝，
∴AE2＝AP×AG；
（3）解：存在，a＝6﹣6或2，理由：
①如图：当PG∥HC时：
∵EG＝GC，
∴EP＝PH，
又∵ED＝PE，BH＝PH，
∴ED＝PE＝BH＝PH＝a，AE＝AH＝6﹣a，HE＝2a，
∴Rt△AHE是等腰直角三角形，
＝sin45°，即＝，
解得：a＝6﹣6；
②如图：当PG∥BC时：
∴∠GPC＝∠PCB，
∵PG＝GC，∠PCG＝∠DCE，
∴∠GPC＝∠GCP＝∠DCE＝∠BCP，
∵∠GCP+∠DCE+∠BCP＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∵tan∠DCE＝，
∴ED＝DC×tan30°＝6×＝2，即a＝2；
③当PG∥AB时：
∵AB∥CD，当PG∥AB时，
则PG∥CD，
∴∠DCE＝∠PGC，
∵∠PCG＝∠DCE，∠GPC＝∠GCP，
∴∠PCG＝∠GPC＝∠PGC＝60°，
∴∠PCG＝∠DCE＝60°，即∠PCG+∠DCE＝120°＞∠DCB，
故此种情况不成立．
综上所述，存在a的值即当a＝6﹣6或2，使得PG与△HBC的一边平行．
【点评】本题是一个综合探究题，主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、正方形的性质及勾股定理是解题的关键
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